Die gleichförmig beschleunigte Bewegung

Kapitel 1
Aufgaben
1.1 Die gleichförmige Bewegung
1. Ein Wagen durchfährt eine 1.6 km lange Strecke in 24 s. Berechnen Sie die Geschwindigkeit
in m/s, km/h und m/min. (Aufgabe 1 S. 15)
2. Zu einer geradlinigen Bewegung gehört das folgende Zeit-Weg-Diagramm.
a) Berechnen Sie die Intervallgeschwindigkeiten.
b) Zeichnen Sie das Zeit-Geschwindigkeitsdiagramm. (Aufgabe 3 S. 15)
3. In A startet um 9.00 h ein LKW und fährt mit der Geschwindigkeit v 1 = 50 km/h
zum 80 km entfernten B. 30 Minuten später startet ein zweiter LKW mit der Geschwindigkeit
v 2 = 78 km/h von B nach A.
a) Berechnen Sie Zeit und Ort der Begegnung beider LKW’s.
b) Zeichnen Sie das Zeit-Weg-Diagramm und lösen Sie die Aufgabe auch graphisch.
4. Folgende Diagramme 1.1 geben die zurückgelegte Strecke s in Abhängigkeit von der
Zeit t an. Leiten Sie aus den Diagrammen die jeweilige Bewegungsgleichung her.
Geben Sie dabei die gewählten Anfangsbedingungen s 0 und t 0 an.
1

2 KAPITEL 1. AUFGABEN
Abbildung 1.1: t − s-Diagramme zweier gleichförmigen Bewegungen.
5. Im folgenden t − s-Diagramm 1.2 ist die Bewegung zweier Wagen dargestellt.
a) Bestimmen Sie aus dem Diagramm die Bewegungsgleichung der beiden Wagen.
b) Berechnen Sie aus beiden Bewegungsgleichungen den Ort und den Zeitpunkt der
Begegnung.
c) Überprüfen Sie das Ergebnis mit Hilfe des Diagramms.
Abbildung 1.2: t − s-Diagramme zweier Wagen.
6. Will der Kojote sieht den Roadrunner 350 m von seiner Höhle entfernt. Der
Roadrunner hat eine Geschwindigkeit von 35 km/h. Sofort klettert Will auf seine
startbereite Rakete die eine Geschwindigkeit von 180 km/h erreicht.

1.1. DIE GLEICHFÖRMIGE BEWEGUNG 3
a) Zeichnen Sie das t−s-Diagramm für die
beiden.
b) Wann und wo erreicht Will seinen
’Freund’ nach physikalischen Überlegungen?
7. Ein Autofahrer A startet um 08.05 h von Bascharage, um über die Hauptstraße mit
einer Geschwindigkeit von 72 km/h nach Luxemburg zu fahren. Beide Städte sind
19 km voneinander entfernt. Ein zweiter Autofahrer B startet um 08.10 h mit einer
Geschwindigkeit von 60 km/h von Dippach aus nach Luxemburg. Bascharage und
Dippach liegen 7 km voneinander entfernt.
a) Tragen Sie die Anfangsbedingungen in einer einfachen Skizze ein.
b) Wo und wann werden sich beide Autofahrer begegnen?
c) Zeichnen Sie das dazugehörende t − s-Diagramm und überprüfen Sie Ihre Ergebnisse
(siehe Abb. 1.3).
Abbildung 1.3: Straßenkarte der Gegend zwischen Bascharage und Luxemburg.

4 KAPITEL 1. AUFGABEN
Lösungen
1. s = 1.6 km t = 24 s
v = s t = 1600 m
24 s
= 66.67 m/s = 239.98 km/h
2. Intervallgeschwindigkeiten:
v 1 = 10−5 km
2−0 h
v 2 = 15−10 km
3−2 h
v 3 = 15−15
4.35−3 h
v 4 = 10−15
v 5 = 0−10
7−5
km
km
5−4.35 h
km
h
v 1 = 2.5 km h
v 2 = 5 km h
v 3 = 0 km h
v 4 = −7.69 km h
v 5 = −5 km h
3. Anfangsbedingungen:
(1) 09 : 00 h (2) 09 : 30 h
v 1 = 50 km/h
v 2 = −78 km/h
t 0 = 0 h
t 0 = 1/2 h
s 0 = 0 km
s 0 = 80 km
Alle weiteren Angaben erfolgen in den Einheiten km bzw. h.
Bewegungsgleichung des ersten LKW’s:
s 1 (t) = v(t − t 0 ) + s 0
s 1 (t) = 50(t − 0) + 0
s 1 (t) = 50t
Bewegungsgleichung des zweiten LKW’s:
s 2 (t) = v 2 (t − t 0 ) + s 0
s 2 (t) = −78(t − 0.5) + 80
s 2 (t) = −78t + 119
Zeitpunkt der Begegnung:
s 1 (t) = s 2 (t)
50t = −78t + 119
t = 119
128h = 0.9297 h = 55 min 47 s
Ort der Begegnung:
s 1 (t) = s 2 (t) = 50 · 0.9297 = 46.484 km
Beide Fahrzeuge begegnen sich um 09 : 55 : 47 h in einer Entfernung von etwa
46.5 km vom Punkt A entfernt (in positiver Richtung).

1.1. DIE GLEICHFÖRMIGE BEWEGUNG 5
4. Diagramm 1.1a: Anfangsbedingungen:
s 0 = 12 m
t 0 = 0 s
s 1 = 47 m
t 1 = 10 s
Geschwindigkeit: v = s 1−s 0
t 1 −t 0
Bewegungsgleichung:
= 47−12
10−0
m
s
= 3.5 m s
s(t) = v(t − t 0 ) + s 0
s(t) = 3.5(t − 0) + 12
s(t) = 3.5t + 12
Diagramm 1.1b: Anfangsbedingungen:
s 0 = −14.5 m
t 0 = 4 s
s 1 = −24.5 m
t 1 = 16 s
Geschwindigkeit: v = s 1−s 0
t 1 −t 0
Bewegungsgleichung:
= −24.5+14.5
16−4
m
s
= −0.83 m s
s(t) = v(t − t 0 ) + s 0
s(t) = −0.83(t − 4) − 14.5
s(t) = −0.83t − 11.17

6 KAPITEL 1. AUFGABEN
5. a) Wagen 1: Anfangsbedingungen:
s 0 = 260 m
t 0 = 10 s
s 1 = −80 m
t 1 = 95 s
Geschwindigkeit: v = s 1−s 0
t 1 −t 0
Bewegungsgleichung:
= −80−260
95−10
m
s
= −4 m s
s 1 (t) = v(t − t 0 ) + s 0
s 1 (t) = −4(t − 10) + 260
s 1 (t) = −4t + 300
Wagen 2: Anfangsbedingungen:
s 0 = 50 m
t 0 = 10 s
s 1 = 250 m
t 1 = 95 s
Geschwindigkeit: v = s 1−s 0
t 1 −t 0
Bewegungsgleichung:
= 250−50
95−10
m
s
= 2.35 m s
s 2 (t) = v(t − t 0 ) + s 0
s 2 (t) = 2.35(t − 10) + 50
s 2 (t) = 2.35t + 26.5
b) Zeitpunkt der Begegnung:
s 1 (t) = s 2 (t)
−4t + 300 = 2.35t + 26.5
6.35t = 273.5
t = 43.1 s
Ort der Begegnung:
s 1 (43.1) = −4 · 43.1 + 300
s 1 (t) = s 2 (t) = 127.6 m
c) Die berechneten Ergebnisse (127.6 m; 43.1 s) stimmen innerhalb der Messgenauigkeit
mit dem Diagramm überein.

1.1. DIE GLEICHFÖRMIGE BEWEGUNG 7
6. a) Alle Einheiten erfolgen in m und s. Anfangsbedingungen:
Will s 0 = 0 m Roadrunner s 0 = 350 m
t 0 = 0 s
t 0 = 0 s
v W = 50 m s
v = 9.72 m s
b) Bewegungsgleichung für Will:
s W (t) = v(t − t 0 ) + s 0
s W (t) = 50t
Bewegungsgleichung für den Roadrunner:
s R (t) = v(t − t 0 ) + s 0
s R (t) = 9.72(t − 10) + 350
s R (t) = 9.72t + 252.8
Zeitpunkt der Begegnung:
s W (t) = s R (t) 50t = 9.72t + 252.8 t = 6.28 s
Ort der Begegnung:
s W (t) = s R (t) = 50t = 313.8 m
c) Beide müssten sich nach 6.28 s in einer Entfernung von 313.8 m vom Startpunkt
des Koyoten aus treffen. In Wirklichkeit wird dies vermutlich aber nicht zutreffen.
Hat Will den Roadrunner trotz aller Tricks jemals erwischt . . . ?

8 KAPITEL 1. AUFGABEN
7. a) In folgenden Berechnungen werden die Einheiten km und h benutzt.
Anfangsbedingungen für Wagen A:
A 08 : 05 h B 08 : 10 h
t 0 = 0 h t 0 = 1
12 h
s 0 = 0 km
s 0 = 7 km
v A = 72 km h
v B = 60 km h
b) Bewegungsgleichung für Wagen A:
s A (t) = v(t − t 0 ) + s 0
s A (t) = 72t
Bewegungsgleichung für Wagen B:
s B (t) = 60(t − 1
12 ) + 7
s B (t) = 60t + 2
Zeitpunkt der Begegnung:
s A (t) = s B (t)
72t = 60t + 2
t = 1 6
h = 10 min
Ort der Begegnung:
s A (t) = s B (t) = 72 · 1
6
= 12 km
Beide treffen sich also um 08 : 15 h in einer Entfernung von 12 km von Bascharage
entfernt (in Richtung Luxemburg).
c)

1.2. DIE GLEICHFÖRMIG BESCHLEUNIGTE BEWEGUNG 9
1.2 Die gleichförmig beschleunigte Bewegung
1. Zu einer bestimmten Zeit t 1 = 3.0 s bewegt sich ein Körper mit der Geschwindigkeit
v 1 = 2.6m/s; zur Zeit t 2 = 8.0 s ist seine Geschwindigkeit v 2 = −1.5m/s. Berechnen
Sie seine mittlere Beschleunigung. (Aufgabe 1 S. 24)
2. Ein Auto wird aus dem Stand in 10.2 s auf eine Geschwindigkeit von 100 km/h
konstant beschleunigt und dann nach einem Bremsweg von 96 m wieder zum Stehen
gebracht. (Aufgabe 2 S. 24)
a) Berechnen Sie die Beschleunigungen.
b) Bestimmen Sie den Weg beim Anfahren und die Zeit beim Bremsen.
3. Ein Körper bewegt sich mit konstanter Beschleunigung a 0 = −3.0m/s 2 . Zu Beginn
hat er die Ausgangslage s 0 = 24 m und die Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 6 m/s.
(Aufgabe 3 S. 24)
a) Stellen Sie die drei Bewegungsgleichungen auf.
b) Bestimmen Sie Ort und Zeit, wenn sich die Bewegungsrichtung des Körpers umkehrt.
c) Wann erreicht er wieder die Ausgangslage?
d) Zeichnen Sie die drei Diagramme der t − s-, der t − v- und der t − a-Funktion.
4. Eine U-Bahn legt zwischen zwei Stationen einen Weg von 3 km zurück. Berechnen
Sie aus der mittleren Anfahr- und Bremsbeschleunigung a = 0.6 m/s 2 und
der Höchstgeschwindigkeit v Max = 90 km/h Anfahrweg, Bremsweg, Wegstrecke der
gleichförmigen Bewegung und die einzelnen Fahrzeiten. (Aufgabe 4 S. 24)
5. a) Zeichnen Sie das t − v-Diagramm im Intervall von 0 s bis 10 s für folgenden Fall:
s 0 = 10 m v 0 = 2 m/s a = 0.5 m/s 2
b) Wie lässt sich aus diesem Diagramm die Beschleunigung bestimmen? Erklären
und ergänzen Sie unter a).
c) Zeichnen Sie für den Fall a) das t − s-Diagramm.
6. Die Bewegungsgleichung ist für folgenden Fall bekannt:
s(t) = 25t + 15 − 0.8t 2
Geben Sie die Anfangsbedingungen, sowie die Geschwindigkeit und die Beschleunigung
des Körpers an.
7. Zwei Wagen haben eine jeweilige Beschleunigung von 4.5 m/s 2 und von 3.8 m/s 2
und starten gleichzeitig. Welchen Vorsprung (Strecke) muss der langsamere Wagen
haben, damit beide nach 100 m gemeinsam am Ziel ankommen? (v 0 = 0 m/s)
8. Vor einem Zug, der mit einer Geschwindigkeit v 1 = 120 km/h dahinfährt, taucht
plötzlich aus dem Nebel in 2 km Entfernung ein Güterzug auf, der in entgegengesetzter
Richtung mit v 2 = 40 km/h fährt. Der Bremsweg wäre ohne Hindernis 3.2 km
lang.
a) Berechnen Sie den Ort und den Zeitpunkt des Zusammenstosses.
b) Zeichnen Sie das t − s-Diagramm beider Wagen. Der Ort, bzw. Zeitpunkt des
Zusammenstosses sind einzutragen.

10 KAPITEL 1. AUFGABEN
Lösungen
1. Anfangsbedingungen:
v 0 = 2.6 m/s
t 0 = 3 m
v 1 = −1.5 m/s
t 1 = 8 s
Verzögerung: a = ∆v
∆t = −1.5−2.6
8−3
m
s 2 = −0.82 m s 2
2. Beschleunigung: a = v 1−v 0
t 1 −t 0
= 27.78−0 m
10−0
= 2.72 m s 2 s 2
Zurückgelegte Teilstrecke s 1 :
s 1 = 1 2 at2 = 1 2 · 2.72 · (10.2)2 m = 141.49 m
Im folgenden Schritt wird angenommen, dass bei der erreichten Geschwindigkeit von
100 km/h, sowohl die Zeit als auch die Strecke wieder auf Null gesetzt werden (also
s 1 = 0 m und t 1 = 0 s bei v 1 = 100 km/h).
Die im Unterricht gesehene Bewegungsgleichung
gilt nur für t 0 = 0 s.
Deshalb wird für die zweite Etappe
der Anfangszeitpunkt erneut auf
Null Sekunden gesetzt.
Dann gilt: s(t) = 1 2 at2 + v 1 t = 1 2 ∆vt + v 1t
s(t) = ( 1 2 ∆v + v 1)t
mit: ∆v = −27.78 m/s und v 0 = 27.78 m/s
Verzögerungszeit: t =
t =
96 m
13.89 m/s = 6.91 s
Verzögerung: a ′ = −27.78
6.91
s
1
2 ∆v+v 0
m
s 2 = −4.02 m s 2

1.2. DIE GLEICHFÖRMIG BESCHLEUNIGTE BEWEGUNG 11
3. a) Anfangsbedingungen:
a = −3 m/s 2 v 0 = 6 m/s 2
s 0 = 24 m
t 0 = 0 s
Zeit-Beschleunigungs-Gesetz:
a(t) = −3 m/s 2 = konst
Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz:
v(t) = a(t − t 0 ) + v 0
v(t) = −3t + 6
Zeit-Weg-Gesetz:
s(t) = 1 2 at2 + v 0 t + s 0
s(t) = − 3 2 t2 + 6t + 24
b) Die Bewegungsrichtung ändert sich, wenn die Geschwindigkeit v(t) das Vorzeichen
ändert.
v(t) = 0, falls: −3t + 6 = 0
t < 2 s v(t) > 0
t = 2 s v(t) = 0
t > 2 s v(t) < 0
Umkehrort:
s(2s) = − 3 24 + 12 + 24 = 30 m
c) Erreichen der Ausgangslage:
s(t) = 0, d.h.: − 3 2 t2 + 6t + 24 = 0
∆ = 36 + 144 = 180 = 6 √ 5
t 1 = −6+6√ 5
−3
t 2 = −6−6√ 5
−3
d)
∼ −2.47 s
∼ 6.47 s
t = 2 s

12 KAPITEL 1. AUFGABEN
4. t − v-Diagramm des gesamten Bewegungsvorgangs der U-Bahn:
Bekannt: a = 0.6 m s 2 a ′ = −0.6 m s 2 v M = 90 km h = 25 m s
Gesucht: s 1 , s 2 , s 3 t 1 , t 2 , t 3
a) Anfahrzeit:
a = ∆v
∆t = v M
t1
t 1 = v M
a
= 25
0.6 s = 41.67 s
Anfahrweg:
s 1 = 1 2 at2 + v 0 t
s 1 = 1 2 0.6(41.67)2 m = 520.83 m
Bremszeit:
a ′ = ∆v
∆t = 0−v M
t 3 −t 2
t 3 − t 2 = −v M
a ′
Bremsweg:
= −25
−0.6 s = 41.67 s
s 3 = 1 2 a′ t 2 + v M t
s 3 = 1 2 (−0.6)(41.67)2 m + 25 41.67 m = 520.83 m
Verbleibende Strecke:
s = s 1 + s 2 + s 3
s 2 = 3000 m − 520.83 m − 520.83 m
s 2 = 1958.33 m
Zeitintervall ∆t 2 :
∆t 2 = s 2
v m
= 78.33 s
Die U-Bahn braucht also 161.67 s um die gesamte Strecke zurückzulegen.

1.2. DIE GLEICHFÖRMIG BESCHLEUNIGTE BEWEGUNG 13
5. a) t − v-Diagramm der gleichförmig beschleunigten Bewegung:
b) Die Beschleunigung a entspricht der Steigung aus dem t−v-Diagramm; so ist z.B.:
a = ∆v
∆t = 7−2 m
10−0
= 0.5 m s 2 s 2
c) Aus den Anfangsbedingungen lässt sich folgende Zeit-Weg-Gleichung herleiten:
s(t) = 1 4 t2 + 2t + 10
t − s-Diagramm der gleichförmig beschleunigten Bewegung:
6. Bewegungsgleichung:
s(t) = −0.8t 2 + 25t + 15
s(t) = 1 2 at2 + v 0 t + s 0
Aus dem Vergleich beider Gleichungen lassen sich folgende Grössen direkt bestimmen:
a = −0.4 m s 2 v 0 = 25 m s
s 0 = 15 m

14 KAPITEL 1. AUFGABEN
7. Bewegungsgleichungen beider Wagen:
s 1 (t) = 1 2 a 1t 2 s 2 (t) = 1 2 a 2t 2 + s 0
Beide Wagen sollen zur gleichen Zeit am Ziel sein, d.h.: für:
t = t Ziel gilt: s 1 = s 2 = s = 100 m
Wagen (1): s = 1 2 a 1t 2 Ziel
oder t 2 Ziel = 2s
a 1
= 6.67 s
Dieser Zusammenhang wird in die Bewegungsgleichung des zweiten Wagens eingesetzt:
s = 1 2 a 2t 2 Ziel + s 0
s = 1 2 a 2 2s
a 1
+ s 0
s 0 = s(1 − a 2
a 1
) s 0 = 100 m(1 − 3.8
4.5 ) s 0 = 15.56 m
Der langsamere Wagen benötigt also einen Vorsprung von etwa 15.6 s, damit beide
gleichzeitig im Ziel ankommen.