Die gleichförmig beschleunigte Bewegung
Die gleichförmig beschleunigte Bewegung
Die gleichförmig beschleunigte Bewegung
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
Kapitel 1<br />
Aufgaben<br />
1.1 <strong>Die</strong> <strong>gleichförmig</strong>e <strong>Bewegung</strong><br />
1. Ein Wagen durchfährt eine 1.6 km lange Strecke in 24 s. Berechnen Sie die Geschwindigkeit<br />
in m/s, km/h und m/min. (Aufgabe 1 S. 15)<br />
2. Zu einer geradlinigen <strong>Bewegung</strong> gehört das folgende Zeit-Weg-Diagramm.<br />
a) Berechnen Sie die Intervallgeschwindigkeiten.<br />
b) Zeichnen Sie das Zeit-Geschwindigkeitsdiagramm. (Aufgabe 3 S. 15)<br />
3. In A startet um 9.00 h ein LKW und fährt mit der Geschwindigkeit v 1 = 50 km/h<br />
zum 80 km entfernten B. 30 Minuten später startet ein zweiter LKW mit der Geschwindigkeit<br />
v 2 = 78 km/h von B nach A.<br />
a) Berechnen Sie Zeit und Ort der Begegnung beider LKW’s.<br />
b) Zeichnen Sie das Zeit-Weg-Diagramm und lösen Sie die Aufgabe auch graphisch.<br />
4. Folgende Diagramme 1.1 geben die zurückgelegte Strecke s in Abhängigkeit von der<br />
Zeit t an. Leiten Sie aus den Diagrammen die jeweilige <strong>Bewegung</strong>sgleichung her.<br />
Geben Sie dabei die gewählten Anfangsbedingungen s 0 und t 0 an.<br />
1
2 KAPITEL 1. AUFGABEN<br />
Abbildung 1.1: t − s-Diagramme zweier <strong>gleichförmig</strong>en <strong>Bewegung</strong>en.<br />
5. Im folgenden t − s-Diagramm 1.2 ist die <strong>Bewegung</strong> zweier Wagen dargestellt.<br />
a) Bestimmen Sie aus dem Diagramm die <strong>Bewegung</strong>sgleichung der beiden Wagen.<br />
b) Berechnen Sie aus beiden <strong>Bewegung</strong>sgleichungen den Ort und den Zeitpunkt der<br />
Begegnung.<br />
c) Überprüfen Sie das Ergebnis mit Hilfe des Diagramms.<br />
Abbildung 1.2: t − s-Diagramme zweier Wagen.<br />
6. Will der Kojote sieht den Roadrunner 350 m von seiner Höhle entfernt. Der<br />
Roadrunner hat eine Geschwindigkeit von 35 km/h. Sofort klettert Will auf seine<br />
startbereite Rakete die eine Geschwindigkeit von 180 km/h erreicht.
1.1. DIE GLEICHFÖRMIGE BEWEGUNG 3<br />
a) Zeichnen Sie das t−s-Diagramm für die<br />
beiden.<br />
b) Wann und wo erreicht Will seinen<br />
’Freund’ nach physikalischen Überlegungen?<br />
7. Ein Autofahrer A startet um 08.05 h von Bascharage, um über die Hauptstraße mit<br />
einer Geschwindigkeit von 72 km/h nach Luxemburg zu fahren. Beide Städte sind<br />
19 km voneinander entfernt. Ein zweiter Autofahrer B startet um 08.10 h mit einer<br />
Geschwindigkeit von 60 km/h von Dippach aus nach Luxemburg. Bascharage und<br />
Dippach liegen 7 km voneinander entfernt.<br />
a) Tragen Sie die Anfangsbedingungen in einer einfachen Skizze ein.<br />
b) Wo und wann werden sich beide Autofahrer begegnen?<br />
c) Zeichnen Sie das dazugehörende t − s-Diagramm und überprüfen Sie Ihre Ergebnisse<br />
(siehe Abb. 1.3).<br />
Abbildung 1.3: Straßenkarte der Gegend zwischen Bascharage und Luxemburg.
4 KAPITEL 1. AUFGABEN<br />
Lösungen<br />
1. s = 1.6 km t = 24 s<br />
v = s t = 1600 m<br />
24 s<br />
= 66.67 m/s = 239.98 km/h<br />
2. Intervallgeschwindigkeiten:<br />
v 1 = 10−5 km<br />
2−0 h<br />
v 2 = 15−10 km<br />
3−2 h<br />
v 3 = 15−15<br />
4.35−3 h<br />
v 4 = 10−15<br />
v 5 = 0−10<br />
7−5<br />
km<br />
km<br />
5−4.35 h<br />
km<br />
h<br />
v 1 = 2.5 km h<br />
v 2 = 5 km h<br />
v 3 = 0 km h<br />
v 4 = −7.69 km h<br />
v 5 = −5 km h<br />
3. Anfangsbedingungen:<br />
(1) 09 : 00 h (2) 09 : 30 h<br />
v 1 = 50 km/h<br />
v 2 = −78 km/h<br />
t 0 = 0 h<br />
t 0 = 1/2 h<br />
s 0 = 0 km<br />
s 0 = 80 km<br />
Alle weiteren Angaben erfolgen in den Einheiten km bzw. h.<br />
<strong>Bewegung</strong>sgleichung des ersten LKW’s:<br />
s 1 (t) = v(t − t 0 ) + s 0<br />
s 1 (t) = 50(t − 0) + 0<br />
s 1 (t) = 50t<br />
<strong>Bewegung</strong>sgleichung des zweiten LKW’s:<br />
s 2 (t) = v 2 (t − t 0 ) + s 0<br />
s 2 (t) = −78(t − 0.5) + 80<br />
s 2 (t) = −78t + 119<br />
Zeitpunkt der Begegnung:<br />
s 1 (t) = s 2 (t)<br />
50t = −78t + 119<br />
t = 119<br />
128h = 0.9297 h = 55 min 47 s<br />
Ort der Begegnung:<br />
s 1 (t) = s 2 (t) = 50 · 0.9297 = 46.484 km<br />
Beide Fahrzeuge begegnen sich um 09 : 55 : 47 h in einer Entfernung von etwa<br />
46.5 km vom Punkt A entfernt (in positiver Richtung).
1.1. DIE GLEICHFÖRMIGE BEWEGUNG 5<br />
4. Diagramm 1.1a: Anfangsbedingungen:<br />
s 0 = 12 m<br />
t 0 = 0 s<br />
s 1 = 47 m<br />
t 1 = 10 s<br />
Geschwindigkeit: v = s 1−s 0<br />
t 1 −t 0<br />
<strong>Bewegung</strong>sgleichung:<br />
= 47−12<br />
10−0<br />
m<br />
s<br />
= 3.5 m s<br />
s(t) = v(t − t 0 ) + s 0<br />
s(t) = 3.5(t − 0) + 12<br />
s(t) = 3.5t + 12<br />
Diagramm 1.1b: Anfangsbedingungen:<br />
s 0 = −14.5 m<br />
t 0 = 4 s<br />
s 1 = −24.5 m<br />
t 1 = 16 s<br />
Geschwindigkeit: v = s 1−s 0<br />
t 1 −t 0<br />
<strong>Bewegung</strong>sgleichung:<br />
= −24.5+14.5<br />
16−4<br />
m<br />
s<br />
= −0.83 m s<br />
s(t) = v(t − t 0 ) + s 0<br />
s(t) = −0.83(t − 4) − 14.5<br />
s(t) = −0.83t − 11.17
6 KAPITEL 1. AUFGABEN<br />
5. a) Wagen 1: Anfangsbedingungen:<br />
s 0 = 260 m<br />
t 0 = 10 s<br />
s 1 = −80 m<br />
t 1 = 95 s<br />
Geschwindigkeit: v = s 1−s 0<br />
t 1 −t 0<br />
<strong>Bewegung</strong>sgleichung:<br />
= −80−260<br />
95−10<br />
m<br />
s<br />
= −4 m s<br />
s 1 (t) = v(t − t 0 ) + s 0<br />
s 1 (t) = −4(t − 10) + 260<br />
s 1 (t) = −4t + 300<br />
Wagen 2: Anfangsbedingungen:<br />
s 0 = 50 m<br />
t 0 = 10 s<br />
s 1 = 250 m<br />
t 1 = 95 s<br />
Geschwindigkeit: v = s 1−s 0<br />
t 1 −t 0<br />
<strong>Bewegung</strong>sgleichung:<br />
= 250−50<br />
95−10<br />
m<br />
s<br />
= 2.35 m s<br />
s 2 (t) = v(t − t 0 ) + s 0<br />
s 2 (t) = 2.35(t − 10) + 50<br />
s 2 (t) = 2.35t + 26.5<br />
b) Zeitpunkt der Begegnung:<br />
s 1 (t) = s 2 (t)<br />
−4t + 300 = 2.35t + 26.5<br />
6.35t = 273.5<br />
t = 43.1 s<br />
Ort der Begegnung:<br />
s 1 (43.1) = −4 · 43.1 + 300<br />
s 1 (t) = s 2 (t) = 127.6 m<br />
c) <strong>Die</strong> berechneten Ergebnisse (127.6 m; 43.1 s) stimmen innerhalb der Messgenauigkeit<br />
mit dem Diagramm überein.
1.1. DIE GLEICHFÖRMIGE BEWEGUNG 7<br />
6. a) Alle Einheiten erfolgen in m und s. Anfangsbedingungen:<br />
Will s 0 = 0 m Roadrunner s 0 = 350 m<br />
t 0 = 0 s<br />
t 0 = 0 s<br />
v W = 50 m s<br />
v = 9.72 m s<br />
b) <strong>Bewegung</strong>sgleichung für Will:<br />
s W (t) = v(t − t 0 ) + s 0<br />
s W (t) = 50t<br />
<strong>Bewegung</strong>sgleichung für den Roadrunner:<br />
s R (t) = v(t − t 0 ) + s 0<br />
s R (t) = 9.72(t − 10) + 350<br />
s R (t) = 9.72t + 252.8<br />
Zeitpunkt der Begegnung:<br />
s W (t) = s R (t) 50t = 9.72t + 252.8 t = 6.28 s<br />
Ort der Begegnung:<br />
s W (t) = s R (t) = 50t = 313.8 m<br />
c) Beide müssten sich nach 6.28 s in einer Entfernung von 313.8 m vom Startpunkt<br />
des Koyoten aus treffen. In Wirklichkeit wird dies vermutlich aber nicht zutreffen.<br />
Hat Will den Roadrunner trotz aller Tricks jemals erwischt . . . ?
8 KAPITEL 1. AUFGABEN<br />
7. a) In folgenden Berechnungen werden die Einheiten km und h benutzt.<br />
Anfangsbedingungen für Wagen A:<br />
A 08 : 05 h B 08 : 10 h<br />
t 0 = 0 h t 0 = 1<br />
12 h<br />
s 0 = 0 km<br />
s 0 = 7 km<br />
v A = 72 km h<br />
v B = 60 km h<br />
b) <strong>Bewegung</strong>sgleichung für Wagen A:<br />
s A (t) = v(t − t 0 ) + s 0<br />
s A (t) = 72t<br />
<strong>Bewegung</strong>sgleichung für Wagen B:<br />
s B (t) = 60(t − 1<br />
12 ) + 7<br />
s B (t) = 60t + 2<br />
Zeitpunkt der Begegnung:<br />
s A (t) = s B (t)<br />
72t = 60t + 2<br />
t = 1 6<br />
h = 10 min<br />
Ort der Begegnung:<br />
s A (t) = s B (t) = 72 · 1<br />
6<br />
= 12 km<br />
Beide treffen sich also um 08 : 15 h in einer Entfernung von 12 km von Bascharage<br />
entfernt (in Richtung Luxemburg).<br />
c)
1.2. DIE GLEICHFÖRMIG BESCHLEUNIGTE BEWEGUNG 9<br />
1.2 <strong>Die</strong> <strong>gleichförmig</strong> <strong>beschleunigte</strong> <strong>Bewegung</strong><br />
1. Zu einer bestimmten Zeit t 1 = 3.0 s bewegt sich ein Körper mit der Geschwindigkeit<br />
v 1 = 2.6m/s; zur Zeit t 2 = 8.0 s ist seine Geschwindigkeit v 2 = −1.5m/s. Berechnen<br />
Sie seine mittlere Beschleunigung. (Aufgabe 1 S. 24)<br />
2. Ein Auto wird aus dem Stand in 10.2 s auf eine Geschwindigkeit von 100 km/h<br />
konstant beschleunigt und dann nach einem Bremsweg von 96 m wieder zum Stehen<br />
gebracht. (Aufgabe 2 S. 24)<br />
a) Berechnen Sie die Beschleunigungen.<br />
b) Bestimmen Sie den Weg beim Anfahren und die Zeit beim Bremsen.<br />
3. Ein Körper bewegt sich mit konstanter Beschleunigung a 0 = −3.0m/s 2 . Zu Beginn<br />
hat er die Ausgangslage s 0 = 24 m und die Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 6 m/s.<br />
(Aufgabe 3 S. 24)<br />
a) Stellen Sie die drei <strong>Bewegung</strong>sgleichungen auf.<br />
b) Bestimmen Sie Ort und Zeit, wenn sich die <strong>Bewegung</strong>srichtung des Körpers umkehrt.<br />
c) Wann erreicht er wieder die Ausgangslage?<br />
d) Zeichnen Sie die drei Diagramme der t − s-, der t − v- und der t − a-Funktion.<br />
4. Eine U-Bahn legt zwischen zwei Stationen einen Weg von 3 km zurück. Berechnen<br />
Sie aus der mittleren Anfahr- und Bremsbeschleunigung a = 0.6 m/s 2 und<br />
der Höchstgeschwindigkeit v Max = 90 km/h Anfahrweg, Bremsweg, Wegstrecke der<br />
<strong>gleichförmig</strong>en <strong>Bewegung</strong> und die einzelnen Fahrzeiten. (Aufgabe 4 S. 24)<br />
5. a) Zeichnen Sie das t − v-Diagramm im Intervall von 0 s bis 10 s für folgenden Fall:<br />
s 0 = 10 m v 0 = 2 m/s a = 0.5 m/s 2<br />
b) Wie lässt sich aus diesem Diagramm die Beschleunigung bestimmen? Erklären<br />
und ergänzen Sie unter a).<br />
c) Zeichnen Sie für den Fall a) das t − s-Diagramm.<br />
6. <strong>Die</strong> <strong>Bewegung</strong>sgleichung ist für folgenden Fall bekannt:<br />
s(t) = 25t + 15 − 0.8t 2<br />
Geben Sie die Anfangsbedingungen, sowie die Geschwindigkeit und die Beschleunigung<br />
des Körpers an.<br />
7. Zwei Wagen haben eine jeweilige Beschleunigung von 4.5 m/s 2 und von 3.8 m/s 2<br />
und starten gleichzeitig. Welchen Vorsprung (Strecke) muss der langsamere Wagen<br />
haben, damit beide nach 100 m gemeinsam am Ziel ankommen? (v 0 = 0 m/s)<br />
8. Vor einem Zug, der mit einer Geschwindigkeit v 1 = 120 km/h dahinfährt, taucht<br />
plötzlich aus dem Nebel in 2 km Entfernung ein Güterzug auf, der in entgegengesetzter<br />
Richtung mit v 2 = 40 km/h fährt. Der Bremsweg wäre ohne Hindernis 3.2 km<br />
lang.<br />
a) Berechnen Sie den Ort und den Zeitpunkt des Zusammenstosses.<br />
b) Zeichnen Sie das t − s-Diagramm beider Wagen. Der Ort, bzw. Zeitpunkt des<br />
Zusammenstosses sind einzutragen.
10 KAPITEL 1. AUFGABEN<br />
Lösungen<br />
1. Anfangsbedingungen:<br />
v 0 = 2.6 m/s<br />
t 0 = 3 m<br />
v 1 = −1.5 m/s<br />
t 1 = 8 s<br />
Verzögerung: a = ∆v<br />
∆t = −1.5−2.6<br />
8−3<br />
m<br />
s 2 = −0.82 m s 2<br />
2. Beschleunigung: a = v 1−v 0<br />
t 1 −t 0<br />
= 27.78−0 m<br />
10−0<br />
= 2.72 m s 2 s 2<br />
Zurückgelegte Teilstrecke s 1 :<br />
s 1 = 1 2 at2 = 1 2 · 2.72 · (10.2)2 m = 141.49 m<br />
Im folgenden Schritt wird angenommen, dass bei der erreichten Geschwindigkeit von<br />
100 km/h, sowohl die Zeit als auch die Strecke wieder auf Null gesetzt werden (also<br />
s 1 = 0 m und t 1 = 0 s bei v 1 = 100 km/h).<br />
<strong>Die</strong> im Unterricht gesehene <strong>Bewegung</strong>sgleichung<br />
gilt nur für t 0 = 0 s.<br />
Deshalb wird für die zweite Etappe<br />
der Anfangszeitpunkt erneut auf<br />
Null Sekunden gesetzt.<br />
Dann gilt: s(t) = 1 2 at2 + v 1 t = 1 2 ∆vt + v 1t<br />
s(t) = ( 1 2 ∆v + v 1)t<br />
mit: ∆v = −27.78 m/s und v 0 = 27.78 m/s<br />
Verzögerungszeit: t =<br />
t =<br />
96 m<br />
13.89 m/s = 6.91 s<br />
Verzögerung: a ′ = −27.78<br />
6.91<br />
s<br />
1<br />
2 ∆v+v 0<br />
m<br />
s 2 = −4.02 m s 2
1.2. DIE GLEICHFÖRMIG BESCHLEUNIGTE BEWEGUNG 11<br />
3. a) Anfangsbedingungen:<br />
a = −3 m/s 2 v 0 = 6 m/s 2<br />
s 0 = 24 m<br />
t 0 = 0 s<br />
Zeit-Beschleunigungs-Gesetz:<br />
a(t) = −3 m/s 2 = konst<br />
Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz:<br />
v(t) = a(t − t 0 ) + v 0<br />
v(t) = −3t + 6<br />
Zeit-Weg-Gesetz:<br />
s(t) = 1 2 at2 + v 0 t + s 0<br />
s(t) = − 3 2 t2 + 6t + 24<br />
b) <strong>Die</strong> <strong>Bewegung</strong>srichtung ändert sich, wenn die Geschwindigkeit v(t) das Vorzeichen<br />
ändert.<br />
v(t) = 0, falls: −3t + 6 = 0<br />
t < 2 s v(t) > 0<br />
t = 2 s v(t) = 0<br />
t > 2 s v(t) < 0<br />
Umkehrort:<br />
s(2s) = − 3 24 + 12 + 24 = 30 m<br />
c) Erreichen der Ausgangslage:<br />
s(t) = 0, d.h.: − 3 2 t2 + 6t + 24 = 0<br />
∆ = 36 + 144 = 180 = 6 √ 5<br />
t 1 = −6+6√ 5<br />
−3<br />
t 2 = −6−6√ 5<br />
−3<br />
d)<br />
∼ −2.47 s<br />
∼ 6.47 s<br />
t = 2 s
12 KAPITEL 1. AUFGABEN<br />
4. t − v-Diagramm des gesamten <strong>Bewegung</strong>svorgangs der U-Bahn:<br />
Bekannt: a = 0.6 m s 2 a ′ = −0.6 m s 2 v M = 90 km h = 25 m s<br />
Gesucht: s 1 , s 2 , s 3 t 1 , t 2 , t 3<br />
a) Anfahrzeit:<br />
a = ∆v<br />
∆t = v M<br />
t1<br />
t 1 = v M<br />
a<br />
= 25<br />
0.6 s = 41.67 s<br />
Anfahrweg:<br />
s 1 = 1 2 at2 + v 0 t<br />
s 1 = 1 2 0.6(41.67)2 m = 520.83 m<br />
Bremszeit:<br />
a ′ = ∆v<br />
∆t = 0−v M<br />
t 3 −t 2<br />
t 3 − t 2 = −v M<br />
a ′<br />
Bremsweg:<br />
= −25<br />
−0.6 s = 41.67 s<br />
s 3 = 1 2 a′ t 2 + v M t<br />
s 3 = 1 2 (−0.6)(41.67)2 m + 25 41.67 m = 520.83 m<br />
Verbleibende Strecke:<br />
s = s 1 + s 2 + s 3<br />
s 2 = 3000 m − 520.83 m − 520.83 m<br />
s 2 = 1958.33 m<br />
Zeitintervall ∆t 2 :<br />
∆t 2 = s 2<br />
v m<br />
= 78.33 s<br />
<strong>Die</strong> U-Bahn braucht also 161.67 s um die gesamte Strecke zurückzulegen.
1.2. DIE GLEICHFÖRMIG BESCHLEUNIGTE BEWEGUNG 13<br />
5. a) t − v-Diagramm der <strong>gleichförmig</strong> <strong>beschleunigte</strong>n <strong>Bewegung</strong>:<br />
b) <strong>Die</strong> Beschleunigung a entspricht der Steigung aus dem t−v-Diagramm; so ist z.B.:<br />
a = ∆v<br />
∆t = 7−2 m<br />
10−0<br />
= 0.5 m s 2 s 2<br />
c) Aus den Anfangsbedingungen lässt sich folgende Zeit-Weg-Gleichung herleiten:<br />
s(t) = 1 4 t2 + 2t + 10<br />
t − s-Diagramm der <strong>gleichförmig</strong> <strong>beschleunigte</strong>n <strong>Bewegung</strong>:<br />
6. <strong>Bewegung</strong>sgleichung:<br />
s(t) = −0.8t 2 + 25t + 15<br />
s(t) = 1 2 at2 + v 0 t + s 0<br />
Aus dem Vergleich beider Gleichungen lassen sich folgende Grössen direkt bestimmen:<br />
a = −0.4 m s 2 v 0 = 25 m s<br />
s 0 = 15 m
14 KAPITEL 1. AUFGABEN<br />
7. <strong>Bewegung</strong>sgleichungen beider Wagen:<br />
s 1 (t) = 1 2 a 1t 2 s 2 (t) = 1 2 a 2t 2 + s 0<br />
Beide Wagen sollen zur gleichen Zeit am Ziel sein, d.h.: für:<br />
t = t Ziel gilt: s 1 = s 2 = s = 100 m<br />
Wagen (1): s = 1 2 a 1t 2 Ziel<br />
oder t 2 Ziel = 2s<br />
a 1<br />
= 6.67 s<br />
<strong>Die</strong>ser Zusammenhang wird in die <strong>Bewegung</strong>sgleichung des zweiten Wagens eingesetzt:<br />
s = 1 2 a 2t 2 Ziel + s 0<br />
s = 1 2 a 2 2s<br />
a 1<br />
+ s 0<br />
s 0 = s(1 − a 2<br />
a 1<br />
) s 0 = 100 m(1 − 3.8<br />
4.5 ) s 0 = 15.56 m<br />
Der langsamere Wagen benötigt also einen Vorsprung von etwa 15.6 s, damit beide<br />
gleichzeitig im Ziel ankommen.