Murmeln oder Wellen?

Die Welt der Quanten
Murmeln oder Wellen ?
Max Camenzind
Senioren Uni
Würzburg @ WS2013

• Die Krise des mechanischen Weltbildes und die
Gründerväter der modernen Physik.
• Elektromagnetische Strahlung – Maxwell, Hertz
Feldbegriff als fundamentale Größe.
• Planksches Wirkungsquantum und Photoeffekt;
• Bohrsches Atommodell – genial, aber falsch;
• De Broglie Materiewellen – ein erster Hinweis;
• Die Schrödingergleichung – der Durchbruch;
• Die Schönheit des Wasserstoff-Atoms
Themen I

James Clerk Maxwell
Ludwig Boltzmann
Joseph John Thomson
Die Gründerväter
modernen Physik
Heinrich Hertz
Max Planck
Albert Einstein

Maxwell (1861-1864)

Die klassische Physik des 19. Jahrhunderts
• Mechanik
• Newton
• Einstein
• Newton
• Coulomb
/ Lorentz
dp
F
dt
p
F
m
mm
r
1 2
2
1
1
² / c²
F q( E
B)
• Elektrodynamik
• Maxwell-Gleichungen
div E
1
div B 0
0
B
rot E t
E
1
c²
rot B j
t
0
(so zusammengefasst in Feynman Lectures on Physics; Bd. 2)

Feldbegriff: Elektrisches Dipolfeld
E(x)

Magnetischer Dipol Erde
Feld B(x)

Elektromagnetische Wellen
1
v
c
με
o
o
c 310 8
ms
-1
const.
Wellengleichung:
2 2 2 2
E E B B
μ ε and μ ε
2 o o 2 2 o o
x t x t
2

Wellen transportieren
Energie
Energiedichte
& Poynting-Fluss
1 B
u u εE
2
B E o
2 2μ
2
o
S
1
μ o
EB

Dipolstrahlung
Beschleunigte Ladungen strahlen

Hertzsche Dipolstrahlung

Elektromagnetische Wellen
c 310 8
ms
-1
const.

Das
elektromagnetische
Spektrum Universum
Sonnenstrahlung:
l = 100 nm - 4 mm
Terrestrische
IR-Strahlung:
l = 4 mm - 100 mm

Interferenz – typisch Welle
Doppelspalt-Versuch

Doppelspalt-Experiment Laser/CCD

Laser Beugung und Interferenz

Die Ultraviolett-
Katastrophe –
Krise im 19. Jhahrhundert

Geburt der Quantentheorie
Historische Höhepunkte:
1900 Planck Einführung der „Hilfsgröße“ h ( Wirkungsquantum )
Erklärung des Spektrums der Wärmestrahlung
1905 Einstein Einführung des Lichtquants ( Photon ), E h
Erklärung des Photoeffekts
1907 Einstein Einführung des Gitterschwingungsquants ( Phonon ), E vib h
Erklärung der spezifischen Wärme der Festkörper
1913 Bohr Einführung des Drehimpulsquants, ħ h
Erklärung des Wasserstoffspektrums
1924 de Broglie Postulat der Welle-Teilchen-Dualität, p ħ k
Vorhersage von Materiewellen
1926 1925 Schrödinger Wellen-Quantenmechanik
1925 Heisenberg Matrizen-Quantenmechanik
Geburt der modernen
Quanten(feld)theorie

Der Schwarze Körper
Absorbiert sämtliche Strahlung
Keine Transmission oder Reflexion
Thermische Emission mit bestimmter
Intensität und spektraler Verteilung
Plancksches
Strahlungsgesetz:
Wie sieht die Energie-
Verteilung u(l) aus?
u(l)?

1900: Plancks grundlegende
Annahme Oszillatoren
im Hohlraum nur diskrete Frequ
E
h
Planksche Wirkungsquantum:
h
(6,6256 0,0005) 10
27
Js
Energie Zeit

Plancksches Strahlungsgesetz
• ein schwarzer Körper der Temperatur T
emittiert Strahlung der Frequenz mit der
Intensität
2h
3
1
( )
.
c
2
e
h
/ kT
1
B T
• Max Planck (1900): Energie kann nur
gequantelt abgegeben bzw. aufgenommen
werden (sonst „UV-Katastrophe”).

Plancksches
Strahlungsgesetz
3
2h
1
B
( T)
.
2 h
/ kT
c e 1

Plancksches Strahlungsgesetz
Sonne
Erde

Wiensches Verschiebungsgesetz
• beschreibt die Lage des Maximums der
Schwarzkörperstrahlung
l
max
T
T
Hz
K
max
10
2898 mmK oder 5.8788 10 .
• je heißer der schwarze Körper ist, desto
höher ist die Frequenz und desto kürzer ist
die Wellenlänge der emittierten Strahlung

Stefan-Boltzmann-Gesetz
• Integration des Planckschen
Strahlungsgesetzes über alle Frequenzen
und Raumwinkel in einem Halbraum liefert
0
B ( T) d T .
Gesamtstrahlung eines schwarzen
Körpers (z.B. eines Sterns) hängt nur von
der vierten Potenz der Temperatur ab.
4

Stefan-Boltzmann Konstante
• Stefan-Boltzmann-Konstante kann durch
fundamentale Konstanten h, k und c
ausgedrückt werden:
5 4
2
k
5.6710 8 Wm
-2
K
-4
.
15ch
2 3

Einstein
1905

Photonen
Licht besteht ebenfalls aus Quanten. Es setzt
je nach seiner Wellenlänge mehr oder
weniger Elektronen frei, wobei kurze Wellen
mit höherenergetischen Quanten auch
höherenergetische Elektronen erzeugen.

Photovoltaik-Anlage

Diskrete Emissionslinien
Photonen werden nur in
diskreten Einheiten emittiert

1913 Bohr Quantisierung
Wirkungsintegral
Kräftegleichgewicht:
El. Kraft = Zentrifugal
Bohr Radius

1913 Bohr-Atom Energie
Quantisierung der Energie:
Energiedifferenzen sind diskret!
erklärt Wasserstoff-Spektren: Lyman, Balmer
erklärt nicht He-Spektrum!

1913 Bohr Atom-Modell
Elektronen können nur auf
ganz bestimmten Bahnen
(sog. Schalen) existieren.

Termschema
Wasserstoff
Atom
funktioniert
aber nicht für
kompliziertere
Atome,
wie He, …

1924 - De Broglie-Wellen
Praktisches Beispiel – „langsame“ Elektronen
p
E
l
m
0
2
p
2m
h
p
v
0
h
l
h
2m
0
12.24
l 10
U
E
p
10
Wellenlänge der Elektronen im Elektronenmikroskop
E
m
;
1
2
2m
2m
Elektronen können sich wie Wellen verhalten
U
m
h
0
0
0
in
v
E
eU
2
V

Die Bohrsche Quantisierung
Warum ist das Atom stabil ?
Es passen genau drei Wellen in einen Orbit

Elektronen verhalten
sich auch wie Wellen
1927 Davisson & Germer Experiment

Die Unschärferelation
Werner Heisenberg
p
E
x
t
h / 4
h /
4
h
p
l
h
l
x
2
l
p
h
h
l
2
l
x
2
l
l
Eine weitere Eigenheit der Quantenwelt tritt auf, wenn man
bestimmte Eigenschaften eines Teilchens gleichzeitig misst.
Gewisse physikalische Größen – Ort und Impuls –
lassen sich nicht gleichzeitig exakt angeben,
egal wie genau man auch zu messen trachtet.
Das heißt etwa:
Ist die Position eines Teilchens sehr genau bekannt,
ist seine Geschwindigkeit weitgehend unbestimmt.
Umgekehrt wissen wir kaum etwas von seinem Aufenthaltsort,
wenn wir seine Geschwindigkeit sehr genau kennen.

5. Solvay Konferenz 1927 / Brüssel
Erwin Schrödinger

1926 Schrödinger-Gleichung
E
p
2
2m
V
( x,
t)
E und p
Operatoren
2
2
2m
x
2
V
( x,
t)
i
t

Interpretation Wellenfunktion
Kopenhagener Interpretation
(t,x) kann keine physikalische Welle (Feld)
darstellen, da die Funktion komplex ist.
Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen am Ort
x zur Zeit t im Intervall dx zu finden:
*
( x , t)
(
x,
t)
dx (
x,
t)
dx P(
x,
t)
dx
* t,x) (t,x) : ist reell Wahrscheinlichkeitsdichte
pro Länge (Volumen in 3D).
2

Erwartungswerte physikalisch
x
x
P
x
x
i
i
i
)
(
dx
t
x
x
dx
x
xP
x
x
2
)
,
(
)
(
dx
t
x
x
dx
x
P
x
x
2
2
2
2
)
,
(
)
(
Mittlere Position

Stationäre Zustände (Atom)
Ansatz:
(
x,
t)
( x)
T
( t)
( x)
e
iEt
/
Stationäre Schrödinger-Gleichung: Eigenwert-Glg
2
2m
2
x
2
V
( x)
E
or
Hˆ
E
Wahrscheinlichkeit ist auch zeitunabhängig
2
iEt
/
iEt /
P( x,
t)
(
x,
t)
*( x)
e ( x)
e ( x)
2

Der Harmonische Oszillator
Grundzustand
Nullpunktsenergie

Harmonischer Oszillator
ein Vergleich

Harmonischer Oszillator
klassischer Grenzfall: n sehr gross

Harmonischer Oszillator
Modell für Vibrationen H2 Molekül

Das Wasserstoffatom
in Kugelkoordinaten r, q, f
Separationsansatz:
Coulomb-
Potenzial
hängt nur
von r ab!
Eigenfunktionen:

Das Wasserstoffatom
Eigenwerte Die Quantenzahlen
Interpretation:
n: Hauptquantenzahl Elektronenschale Energie
l: Drehimpulsquantenzahl Unterschale s, p, d, f, g, …
m: magnetische Quantenzahl Drehimpuls L z = m h/2

Drehimpuls
z || B
des
Elektrons
Drehimpuls
ist quantisiert:
L = [l(l+1)] 1/2
h/2
L z = m h/2

Das Wasserstoffatom
Aufenthaltswahrscheinlichkeit Elektronen

Wasserstoffatom
Aufenthaltswahrscheinlichkeit

Radiale
Wellenfunktionen
= 2Zr/na 0

Kein Knoten
s: l = 0
1 Knoten
2 Knoten
Allgemein: n-l-1 Knoten

Aufenthaltswahrscheinlichkeit

Orbitale
Wellenfunktionen

Das Wasserstoffatom
1s, 2s, 2p Wellenfunktionen

Analogie: Stehende Wellen einer Trommel
1s 2s Sphärisch 3s
Frequenz:
2E/h ~ 10 16 Hz
2p 3p Dipole 4p
3d 4d Quadrupole 5d
Grafik: Wikipedia

Wasserstoff Orbitale W´keit
(2,1,0) (2,1,1)

Wasserstoff Orbitale W´keit
(3,1,0) (3,1,1)

Wasserstoff Orbitale W´keit
(3,2,0) (3,2,1)

(5,0,0) (5,1,0) (5,1,1)
(5,3,1)
(5,2,0)
(5,4,0)

Auschließungsprinzip von Pauli
Periodensystem Elemente
Zwei Teilchen mit halbzahligem
Spin (Fermionen) können sich
nie im selben Zustand befinden.
Keine Elektronen in einem
Atom können in allen
Quantenzahlen (n,l,m,s)
übereinstimmen, Schalenbau
salopp: Fermionen sind
Einzelgänger.

Bindungsenergien
Mehrelektronenatom
Wasserstoffatom

Atomarer Schalenaufbau

He-Atom Li-Atom B-Atom
Be-Atom
C-Atom

Schrödingers Katze 1935
Gleichzeitig tot und lebendig?
Zustand der Katze erst bekannt, wenn wir die Kiste öffnen.
Der Zustand kann nicht vorhergesagt werden - ist zufällig!

Die Quantenverschränkung
Ein Photon wird geteilt – beide korreliert

Zusammenfassung
• Planck führt 1900 das Wirkungsquantum h ein und erklärt
damit die Energieverteilung Hohlraumstrahlung.
• Das Atommodell von Niels Bohr (1913) ist noch zu
klassisch und kann vieles nicht erklären.
• Erst die Schrödinger Wellenfunktion bringt Klarheit und
kann die atomaren Strukturen erklären. Dies alles wurde
bereits von Erwin Schrödinger im Jahre 1926 eingeführt
und in seiner Zürcher Zeit in 6 Publikationen
veröffentlicht!
• Die Kopenhagener Interpretation (Wahrscheinlichkeits-
Interpretation) wird von meisten Physikern vertreten.
• Das Ausschließungsprinzip von Pauli erklärt den
Aufbau des Periodensystems der Atome.