MALEKI_Geometrische_Muster (pdf, 20.4 MB) - LIS

Lernfortschritte
Für die Lernumgebung Folgen von geometrischen Mustern lassen sich die Indikatoren für
Lernfortschritte wie folgt konkretisieren:
• Lösung neuer komplexerer Aufgaben
• Elaborierung bisheriger Bearbeitungswege
• Erweiterung des Strategierepertoires
• Transferleistungen
• Entwicklung von Begründungen
• Ausdifferenzierung bisheriger Begründungen
Zur Heterogenität der Lernfortschritte:
Kindern mit einfachen Lösungen...
- wendet verstärkt die Bildungsregel-
Verschiebung an
- Fortsetzung unter Berücksichtigung
von Teilaspekten des Musters
(ein erkanntes Merkmal wird
fortgesetzt)
- wendet bevorzugt eine Strategie
zur Fortsetzung des Musters an
- Beschreibung der Folge nur mit
Teilaspekten des Musters (bevorzugt
die Elemente: Form, Farbe)
- wendet bevorzugt exemplarische
Beschreibungen an
- erfindet einfache Muster (z.B. mit
WHL 2)
Kinder mit anspruchsvollen Lösungen...
- setzt die Folgen nach dem vorgebenen
Muster fort
- wendet effektivere Bearbeitungswege
an,
- erkennt komplexe (verschachtelte)
Muster
- wendet flexibel Strategien bei der
Fortsetzung der Muster an
- beschreibt das Muster unter Berücksichtigung
mehrerer / aller
Aspekte (Bildungsregeln, WHL
und der Elemente in Form, Farbe
und Anordnung)
(Verbesserung der Verbalisierungskompetenz
(vgl. auch Sapiaz
2008, S.58))
- verwendet generalisierende Beschreibungen
- erkennt strukturelle Gemeinsamkeiten
zwischen den Mustern
- nutzt strukturelle Gemeinsamkeiten
für die Lösung
- erfindet komplexe Muster
Was würden wir ändern?
Während der Durchführung der Lernumgebung hatte sich herausgestellt, dass die Begriffe
Grundmuster, Grundelement und Bezug zu den Bildungsregeln für die Kinder nicht klar definiert
waren und unterschiedlich angewendet wurden. Der schnelle Wechsel von den gelb -
schwarzen Quadraten zu den geometrischen Figuren (Dreieck, Kreis, Quadrat) verwirrte die
Kinder. Deshalb haben wir eine geänderte Konzeption entwickelt, die im Folgenden erläutert
wird.
21

Klärung der Begriffe:
Ein Grundmuster besteht aus mehreren Elementen. Ein Element kann z.B. ein schwarzgelbes
Quadrat sein oder eine beliebige geometrische Form. Das Grundmuster wird daraufhin
untersucht, welche Beziehung die Elemente zueinander haben. Entscheidend sind
die Reihenfolge der Elemente und die Bildungsregeln zur Erzeugung des Grundmusters
(Verschiebung, Spiegelung, Drehung). Die Bildungsregeln beziehen sich nur auf die Elemente
innerhalb des Grundmusters. Die Wiederholungslänge eines Musters wird dann
durch die Länge des Grundmusters bestimmt, das sich immer wieder wiederholt und so ein
Bandornament bildet.
Beispiel
1
Grundmuster Elemente Bildungsregel WHL
Quadrat
Drehung
evtl. vertikale Spiegelung
2
2. Quadrat mit einspringender
Ecke
Drehung 3
3. Dreieck, Kreis Spiegelung 4
4. Quadrat mit einspringender
Ecke
5. Quadrat mit einspringender
Ecke
Spiegelung oder
Drehung
evtl. vertikale Spiegelung
Verschiebung + Spiegelung
evtl. vertikale Spiegelung
2
4
Veränderte Lernumgebung
1. Doppelstunde bleibt unverändert
2.Stunde
Nach der Thematisierung der Hausaufgaben mit dem Fokus auf die Wiederholungslänge
werden in der Arbeitsphase weitere Muster mit geometrischen Formen gelegt und gezeichnet.
In der Besprechung werden die Schülerdokumente nach der Wiederholungslänge untersucht
und die Verbindung zwischen Grundmuster, Wiederholungslänge und Verschiebung
erarbeitet.
22

3. Stunde
Der Einstieg in die Stunde erfolgt über das Spiel „Wie kann es weitergehen?“ mit den zwei
Elementen Quadrat und Kreis. Die Ideen der Kinder zu der Frage, welche Möglichkeiten es
gibt diese Elemente fortzusetzen, werden gesammelt. Herausgearbeitet werden sollen die
Bildungsregeln Spiegelung, Verschiebung und evtl. Drehung. Die so gebildeten Muster
werden beschrieben, indem die Anzahl der Elemente, die Bildungsregeln und dann die
Wiederholungslänge genannt werden. Mit den Elementen Dreieck, Kreis und Quadrat wird
genauso verfahren.
In der Arbeitsphase sollen die Kinder mit einer beliebigen Anzahl an Elementen aus geometrischen
Formen entsprechend den Bildungsregeln eigene Muster erfinden. Auf dem Arbeitsblatt
wird das Grundmuster eingekreist, Bildungsregeln, Wiederholungslänge und Anzahl
der Elemente notiert.
In der Reflexionsphase werden eigene erfundene Muster und ihre Beschreibung vorgestellt.
Alle weiteren Stunden erfolgen wie in dem Verlaufplan der Lernumgebung (s.o.) vorgesehen.
23

Lernumgebung „Figurierte Zahlen“
Thema:
Stufe:
Dauer:
Material:
Geometrische und arithmetische Folgen entwickeln und beschreiben
2. und 3. Klasse
6 Unterrichtsstunden
Holzwürfel, Karopapier
Aufgabenstellung
1. Setze das Muster entsprechend der Regel fort.
2. Bestimme die Anzahl der Punkte in dem jeweiligen Muster
3. Finde zwei verschiedene Aufgaben, die zu dem Muster passen
4. Trage die Anzahl der Punkte in die Tabelle ein und setzte diese fort
5. Beschreibe, was du entdeckt hast.
Abb. FZ. 1
24

Worum geht es?
Mathematik wird häufig als Wissenschaft von den Mustern bezeichnet (vgl. z.B. Steinweg
2004, S. 233), denn „Mathematik wird [...] von Mustern gestaltet und durch Muster erschließbar“
(Steinweg 2004, S. 233). Deshalb sollten möglichst viele Arten von Mustern im
Mathematikunterricht thematisiert werden. Folgen figurierter Zahlen sind eine Kategorie von
Mustern.
Figurierte Zahlen sind Zahlen, die sich aus Einheiten (Punkte, Steine) in Form von Polygonen
oder Polyedern darstellen lassen. Legt man eine Ausgangsfigur aus ein oder zwei
Plättchen, kann man durch Anlegen eines Winkels aus Plättchen an die Ausgangsfigur bestimmte
Polygonalzahlen erzeugen (vgl. Steinweg 2001, S. 41). Das Stück, welches man
zu einer Figur hinzufügen muss, um eine größere Figur der gleichen Form zu erhalten, bezeichnet
man als Gnomon (vgl. Conway/Guy 1997, S. 41). Beginnt man mit einer Ausgangsfigur
aus einem Plättchen und legt Gnomone aus dem jeweils folgenden Glied der
Folge der natürlichen Zahlen in zeilenweiser Anordnung an, erhält man eine Folge von Figuren
der Form.
Figurierte Zahlen sind Klassen von Zahlen, die sich auf geometrische Figuren beziehen.
Legt man regelmäßige Figuren aus Spielsteinen und zählt die Steine, erhält man figurierte
Zahlen. Alle Folgen der figurierten Zahlen sind Reihen, da die Folgeglieder immer Summen
von Zahlen einer bestimmten Folge sind. Die Folgen von figurierten Zahlen bilden so genannte
arithmetischen Folgen. Zur Bestimmung der expliziten Formel untersucht man die
Differenzen zwischen benachbarten Folgegliedern, die selber wiederum eine Folge, die
Differenzenfolge, bilden. Ist keine andere Möglichkeit ersichtlich, so lässt sich die explizite
Gesetzmäßigkeit jeder arithmetischen Folge mit dem so genannten Polynomansatz algebraisch
bestimmen. (www.wikipedia.org/wiki/Figurierte_Zahl)
Figurierte Zahlen wurden nach der Anordnung dieser Punkte benannt (vgl. Conway/Guy
1997, S. 49). Zahlen, die in der Punktedarstellung die Form von Quadraten annehmen können,
erhielten zum Beispiel den Namen Quadratzahlen.
Wir haben uns in der Lernumgebung auf die zweidimensionalen figurierten Zahlen beschränkt
und folgende Folgen von figurierten Zahlen in die Lernumgebung eingebaut.
- Quadratzahlen
n
Q n = ∑ (2i - 1) = 1 + 3 + 5 + … (2n - 1) = n 2
i=1
- Dreieckzahl
n
D n = ∑ i = 1 + 2 + 3 + … n =
i=1
n . (n - 1)
2
- Treppe (wie Quadratzahlen, unterscheiden sich in der Anordnung)
- Quadratrand
n
A n =8 + ∑ 4 = 8 + 4 + + 4 + 4 = (n + 2) 2 – n 2
i=2 ( n-1) mal
- Blumenmuster
(es gilt für alle .)
n
B n = ∑ (2i + 3) = 5 + 7 + 9 + … (2n + 3) = (n + 2) 2 - 4
i=1
25

Figurierte Zahlen haben den Vorteil, dass sie sich sowohl konkret als auch zeichnerisch
darstellen lassen und reflexiv handelnd erschlossen werden können (vgl. Steinweg 2002, S.
129). Durch die geordnete Darstellung der Zahlen mithilfe von Würfeln oder Plättchen werden
sowohl der kardinale Aspekt als auch die Eigenschaften der Zahl verdeutlicht (vgl.
Steinweg 2001, S. 35). Je nach Vorliebe können die Kinder sich den figurierten Zahlen zunächst
auf arithmetischer oder auf geometrischer Ebene nähern. So lässt sich mit Hilfe von
figurierten Zahlen sehr gut Zusammenhänge zwischen der Arithmetik und der Geometrie
herstellen und verdeutlichen.
Zur Analyse und Klassifizierung von Schülerarbeiten haben wir uns an den Stufen des Zahlenverständnisses
nach Steinweg (2001) orientiert (s. Lernumgebung „Folgen geometrischer
Figuren“. Tabat sieht die von ihr beschriebenen mathematischen Aktivitäten, Erkennen,
Fortsetzen, Beschreiben und Erfinden als Basis der drei Stufen und hält sie deshalb
für übertragbar (vgl. Tabat 2006 S. 12). Aus diesem Grund haben wir diese Kategorisierung
bei der Analyse der Schülerdokumente übernommen.
Wie kann man vorgehen?
Den Einstieg in die Lernumgebung haben wir über eine einfache geometrische Darstellung
einer Folge von figurierten Zahlen gewählt, damit allen Schülern die Aufgabenstellung und
das Vorgehen in dieser Lernumgebung verständlich werden.
Um den Aufbau der Arbeitsblätter zu erklären wählten wir für das Einstiegsgespräch die
gleiche Abfolge auch als Darstellung an der Tafel. Die ersten drei Muster der Folge figurierter
Zahlen wurden angemalt.
Dabei sollten die Schüler versuchen das Muster zu deuten, Regemäßigkeiten zu finden und
ihre Endeckungen zu verbalisieren. Dann sollten sie entsprechend der gefundenen Regelmäßigkeit
die nächste Form des Musters an die Tafel malen, d.h. das Muster fortsetzen. Als
zweiter Schritt folgte die Anzahlbestimmung der Punkte einer Musterform. Dabei sollte diese
über eine passende Rechenaufgabe stattfinden, die sich auf eine bestimmte Sichtweise
auf das Muster (Struktur des Musters) bezieht und diese verdeutlicht.
Dadurch wird die Sicht sowohl auf das einzelne Muster einer Folge gerichtet als auch auf
das Muster der Reihung (vgl.Böttinger 2007, S.31). Dabei ist besonders bei den Mustern
höherer Ordnung (z.B.10.Muster) eine Verallgemeinerung der Musterbildung bzw. des Rechenverfahrens
notwendig um von einer zählenden Herangehensweise auf eine algebraische,
strukturorientierte Sicht zu kommen. Eine farbliche Markierung in der geometrischen
Darstellung, entsprechend der Rechenaufgabe, macht diese Sichtweise deutlich und somit
die Verbindung zwischen der geometrischen und arithmetischen Struktur.
Die Übertragung der ermittelten Punktmengen in die Tabelle richtet den Blick auf die arithmetische
Ebene der geometrischen Folge und die hier zu entdeckenden Gesetzmäßigkeiten
(Zahlenfolgenstruktur).
Nach dem ausführlichen Unterrichtsgespräch bearbeitete jeder Schüler das erste Arbeitsblatt.
Die Arbeitsblätter sind alle nach dem gleichen Prinzip aufgebaut. Dabei haben wir uns
an den Arbeitsblättern von Böttinger (vgl.Böttinger 2007, S.36). und Hengartner (vgl. Hengartner,
Hirt, Wälti 2007, S. 117, S.127) orientiert.
Mathekonferenz
Jede Unterrichtstunde endet mit einer Mathekonferenz, in der die Schüler ihrer Ergebnisse
vorstellen. Hier können die S. ihre Lösungsstrategien enaktiv, ikonisch oder symbolisch beschreiben
und begründen, mit Hilfe ihrer Darstellungsform erklären, aber auch Lösungen
anderer Kinder kennen lernen und nachvollziehen. Mathekonferenzen eignen sich auch gut
26

um den Einstieg in eine nächste Unterrichtstunde zu gestalten. So können die hier gemachten
Erfahrungen oder Kenntnisse gleich an einer neuen Aufgabe ausprobiert und auf sie
übertragen werden.
Impulse für die Mathekonferenz:
In der Konferenz können folgenden Fragen helfen, die Lösungen eines Kindes genauer zu
beleuchten. Der Blick richtet sich auf:
1. geometrische Struktur
• Versuche das 1., 2. und 3. Muster zu beschreiben.
• Was ist dir dabei aufgefallen?
• Haben die Muster etwas gemeinsam? Was ist es?
• Wodurch unterscheiden sie sich?
• Kannst du aus dem vorigen Muster das nächste Muster herstellen?
• Wie sieht das 4., 5. Muster deiner Meinung nach aus? Warum?
• Wie hast du das 10. Muster herausgefunden?
2. Rechenaufgabe – Verbindung zwischen geometrischer und arithmetischer Struktur
• Warum passt deine Aufgabe zu dem Muster?
• Wo kann man deine Aufgabe in dem Muster sehen? Zeichne sie farblich ein.
• Ähneln sich die Rechenaufgaben aus allen Mustern? Wie?
• Wie sieht die Rechenaufgabe für das 7. und 8 Muster aus? Woher weiß du das?
• Kannst du den Unterschied zwischen den Mustern auch in den Rechenaufgaben sehen?
• Kannst du die Anzahl der Punkte aus dem vorigen Muster auch in der jetzigen Punkteanzahl
sehen? Wie?
3.Tabelle – arithmetische Struktur
• Wie hast du die Anzahl der Punkte auf für das 6., 7., 8., 9.,… Muster bestimmt? Begründe
wie?
• Kannst du eine Regel zwischen den Zahlen entdecken? Welche? Warum gilt sie?
•
4.Begründung
• Worauf bezieht sich deine Begründung? Eher auf die Zeichnung oder auf die Tabelle?
• Was ist dir einfacher gefallen? Warum?
• Was bedeutet z.B.: „immer + 1“?
Eine Alternative für ein Konferenzgespräch bieten zwei Schülerdokumente, die miteinander
verglichen werden. Dabei sollte man den Blick auf nur einen Teil der Lösung richten, um
diesen gut und intensiv zu durchdringen. Dabei sollen sich die Schüler in die Lösungen hineindenken,
versuchen diese zu verstehen und zu interpretieren.
Dabei können folgende Fragen, Impulse helfen
• Was hat … gemacht? Beschreibe den Lösungsweg
• Was hat … gemacht? Beschreibe den Lösungsweg.
• Was haben die Lösungswege gemeinsam?
• Wo gibt es Unterschiede?
• Welchen Weg kannst du besser verstehen?
• Welchen dieser beiden Wege würdest du wählen? Warum?
Alle weiteren Stunden haben nach dem gleichen Unterrichtsaufbau stattgefunden.
27

Dokumente aus der Erprobung
Dokumente aus der Erprobung zum Muster „Quadratrand“ (Blick auf die geometrische und
arithmetische Struktur)
Einfache Lösung
Ru. gelingt es das 4. und
das 5. Muster intuitiv richtig
fortzusetzen. Das 10. Muster
hat die Form eines
„fast“ Quadrates (10x11),
hier orientiert sich Ru.
hauptsächlich nach der
Form des Musters ohne
genaue Analyse der Seitenlänge.
Bei offenen Quadratkästchen
entsteht beim Zeichnen
oft das Problem, dass
eine Seite richtig bestimmt
wird, jedoch beim Anlegen
der nächsten Seite die Ecke
nicht doppelt gezählt wird.
So entstehen die „fast“-
Quadrate.
Die Anzahl der Punkte bis einschließlich 5. Muster bestimmt sie zählend richtig. Beim
10. Muster stimmt die Anzahl in der Zeichnung nicht mit der gezählten Menge überein.
Nach Steinweg befindet sich Ru. auf der Stufe I.
Abb. FZ. 2
Mittlere Lösung
Ra. erkennt die geometrische
Struktur des Musters und setzt
dieses entsprechend der Regelmäßigkeit
fort. Er markiert
einige Quadrate gelb. Jedoch
ist hier keine Struktur zu erkennen.
Ra. versucht teilweise zwei
verschiedene Rechenaufgaben
für ein Muster zu finden. Zu
dem 1. Muster wählt er in der
ersten Zeile, zur Punkteanzahl
eine beliebige Aufgabe ohne
Bezug zur Darstellung. Zu dem
Muster 2, und 4 findet er eine
passende Rechenaufgabe mit
gleicher arithmetischen und
geometrischen Struktur. Er
zählt die Hälfe des Randes und
multipliziert mit 2.
28

Im zweiten Schritt wählt er für alle Muster die gleiche arithmetische Struktur mit Bezuge
auf die gleiche geometrische Struktur. Er verdoppelt den oberen und den unteren
Rand und addiert die Verdopplung aus dem linken und rechten Rand.
Nach Steinweg befindet sich Ra auf der Stufe IIb.
Abb. FZ. 3
Anspruchsvolle Lösung
Abb. FZ. 4
In. erkennt die Regelmäßigkeit
des Musters und setzt
diese fort. Sie erkennt sowohl
die geometrische als auch die
arithmetische Struktur und
kann diese in Verbindung
bringen. Sie erkennt die
Regmäßigkeit der Reihung
und macht dies in der Darstellung
ihres Vorgehens deutlich.
Sie erkennt, dass die
Ordnungszahl (Musternr.)
viermal in der Anzahl der Seitenränder
enthalten ist und
zählt nun noch die 4 Eckpunkte
dazu.
Diese Darstellung macht die
Verbindung zwischen der
geometrischen und arithmetischen
Struktur sichtbar und
die in der Tabelle zu entdeckende
Regelmäßigkeit (immer
+4) deutlich
Nach Steinweg befindet sich
In. auf der Stufe IIb.
29

Anspruchsvolle Lösung
Abb. FZ. 5
Sa. erkennt, die geometrische
und arithmetische
Struktur des Musters und
kann diese in Verbindung
bringen.
Sa. wählt drei verschiedene
Rechenaufgaben um
die Gesetzmäßigkeit der
Reihung der Muster zu
zeigen.
Erste Zeile Anzahl der
Punkte am äußeren Rand
zum Quadrat minus Anzahl
der Punkte am innerer
Rand zum Quadrat.
Zweite Zeile
obere plus rechte plus untere
plus linke Seitenlänge
(ähnlich wie Ra.)
Dritte Zeile
Halber Umfang mit 2 multipliziert
Dadurch zeigt Sarah, dass
sie über eine Vielfalt an
Strategien verfügt um diese
Aufgabe zu lösen.
Nach Steinweg befindet
sich Sa auf der Stufe IIb.
Dokumente aus der Erprobung zum Muster „Blumenmuster“ (Blick auf die arithmetische
Struktur in der Tabelle)
Einfache Lösung
An. nutzt die Tabelle lediglich für den Eintrag der Punktemengen. Die Anzahl der
Punkte hat sie rechnerisch bestimmt. Für die Muster 6. und 7. benötigte sie eine
Zeichnung. Beim 6. Muster hat sie sich um 1 verzählt.
Nach Steinweg befindet sich An. auf der Stufe I.
Abb. FZ. 6
Mittlere Lösung
Ch. bestimmt die Anzahl der Punkte für alle Muster richtig. Ihre arithmetische Strategie
hilft ihr die Anzahl auch für die Muster über 10 zu bestimmen. Leider hat Ch. ihre
Rechnungen wegradiert, so dass ihre Strategie nicht mehr erkennbar geblieben ist.
Nach Steinweg befindet sich Ch. auf der Stufe I.
Abb. FZ. 7
30

Mittlere Lösung
Sh. bestimmt für die ersten acht Muster die Anzahl der Punkte richtig, jedoch verrechnet
er sich beim Übergang zum neunten Muster um 10.Dieser Fehler wirkt sich
auch auf die Anzahlbestimmung des 10. Musters aus. Er macht seine Entdeckungen
bezüglich der Differenz zwischen der Anzahl der benachbarten Punktemengen beispielhaft
an drei Mustern deutlich. Dieses kennzeichnet er mit Hilfe der Pfeile. Darüber
hinaus fällt ihm die Regemäßigkeit(+2) in der Differenzfolge auf.
Nach Steinweg befindet sich Sh. auf der Stufe IIa.
Abb. FZ. 8
Anspruchsvolle Lösung
Ja. bestimmt die Anzahl der Punkt für alle Muster richtig. Er setzt die Tabelle auch für
die Muster über 10 richtig fort. Jan schreibt seine auf der arithmetischen Eben gemachten
Entdeckungen unterhalb der Tabelle auf. Er notiert die Differenz zwischen
der Anzahl der Punkte benachbarter Muster und stellt noch einmal die fest, dass die
Differenz immer um zwei anwächst.
Nach Steinweg befindet sich Ja. auf der Stufe IIb.
Abb. FZ 9
Dokumente aus der Erprobung zum Muster „Blumenmuster“ (Blick auf die Begründung)
Einfache Lösung
Be. Begründung bezieht sich auf die arithmetische Struktur des Musters. Er erkennt
in der Differenz zwischen den Folgen immer einen Zuwachs um 2 (immer +2). Seine
Beschreibung ist kurz, einfach, noch unpräzise und noch nicht vollständig. Zunächst
versucht er eine generalisierende Beschreibung zu verschriftlichen, anschließend
beginnt er seinen ersten Schritt zu beschreiben.
Nach Steinweg befindet sich Be. auf der Stufe IIa.
Abb. FZ. 10
31

Einfache Lösung
Le. Beschreibung bezieht sich auf die geometrische Struktur des Musters. Ihre Formulierungen
sind noch ungenau, so dass ihre elegante Strategie noch schwer zu
erkennen ist (4 Ecken im Blumenmuster dazuzählen, die Anzahl des entstanden
Quadrates bestimmen, 4 Ecken wieder abziehen).
Einerseits verwendet sie generalisierende Beschreibungen („immer 4 ecken da zu“)
und benötigt dennoch exemplarische Beispiele (49 - 4) um ihre Entdeckungen zu
verdeutlichen. Die wesentliche Beziehung zwischen Muster und Seitenlänge des
Quadrates wird nicht erwähnt.
Nach Steinweg befindet sich Le. auf der Stufe IIa.
Abb. FZ. 11
Mittlere Lösung
Sa. Beschreibung bezieht sich auf die geometrische Struktur des Musters. Ihre Lösungsstrategie
verdeutlicht sie im Muster durch farbliche Kennzeichnungen und versucht
diese exemplarisch an dem 5. Muster zu erklären. Dabei beschreibt sie zwei
Lösungsstrategien.
Nach Steinweg befindet sich Sa. auf der Stufe IIa.
Abb. FZ. 12
Anspruchsvolle Lösung
(„man muss immer die Zahl der aufgabe x (mit sich selber mal-) nehmen und noch
mal 4 mal das Muster und dan hat man das Ergebnis“)
Ch. wählt eine generalisierende Beschreibung ihrer Entdeckungen und bezieht sich
dabei auf die geometrische Struktur des Musters.
Nach Steinweg befindet sich Ch. auf der Stufe IIb.
Abb. FZ. 13
32

Zur Heterogenität
Kinder mit einfachen Lösungen
• wählen vorrangig ein Vorgehen
auf der enaktiven oder ikonischen
Ebene
• wenden sich vorrangig den geometrischen
Strukturen zu
• brauchen für Anzahlbestimmung
der Punkte noch die enaktive oder
ikonische Ebene
• intuitives Vorgehen
• bestimmen die Anzahl der Punkte
zählend
• finden zu den Folgen eines Musters
eine beliebige Aufgaben
Kinder mit anspruchsvollen Lösungen
• können das 10. Folgeglied ermitteln
ohne das 6.;7.; 8.; und 9. zu
kennen
• berücksichtigen den figuralen und
kardinalen Aspekt
• finden eine exemplarische oder
generalisierende Beschreibung
• bestimmen Anzahl der Punkte
rechnerisch
• finden zur Struktur des Musters
eine passende Aufgage
• ermitteln zunächst die Folgeglieder
aus dem direkten Vorgänger,
später aufgrund der gefundenen
Struktur
• entwickeln mehrere Lösungsstrategien
für eine Aufgabe
• erkennen Verbindungen zwischen
den Aufgaben (Transferleistungen)
• finden ausführliche Beschreibung
für ihrer Strategie
• finden generalisierende Beschreibung
ihrer Strategie
Schlussfolgerung
Der Fokus der Beobachtung in der Lernumgebung sollte hauptsächlich auf die Vielfalt der
Lösungsstrategie, auf die Herangehensweise bei der Lösungsfindung gerichtet sein, da wir
in der kurzen Zeitdauer der Lernumgebung kaum mit einem größeren Lernzuwachs der
Schüler rechnen konnten.
Jedoch sind Lernfortschritte bei fast allen Kindern zu beobachten. So ist bei einigen Kindern
eine Steigerung der Leistung nach kurzer Zeit sichtbar, bei anderen nur punktuell in
einzelnen Bereichen.
Den kleinsten Lernfortschritt (bzw. kein Lernfortschritt) sind besonders bei den Kindern zu
beobachten, die auf einem hohen Leistungsniveau schon am Anfang der Lernumgebung
waren (vgl. Kollmann, S.52: Heinken, S. 54 ).
Den meisten Kindern ist die Bearbeitung auf der geometrischen Eben einfacher gefallen,
als auf der arithmetischen. Viele haben von Anfang an auf der zeichnerischen Ebene nach
dem intendierten Muster fortgesetzt. Aus diesem Grund war das Potenzial der Strukturerkennung
auf der arithmetischen Ebene höher und damit auch der Lernzuwachs.
Einige Kinder haben erst mit der Bearbeitung der Tabelle begonnen und Gesetzmäßigkeiten
auf der arithmetischen Ebene entdeckt. Diese Kinder wählten zu der Punktmenge beliebige
Rechenaufgaben ohne einen Bezug zu einer geometrischen Darstellung. Die Verbindung
zwischen arithmetischer und geometrischer Struktur ist ihnen nicht gelungen.
Da immer mehr Kinder die Strukturen der Muster erkannt haben ist auch das Repertoire der
Strategien bei der Bearbeitung gestiegen. Unterschiede sind bei den Kindern besonders in
33

der Strategievielfalt bei komplexen Mustern zu verzeichnen. Beschreibungen ihres Vorgehens
bzw. Begründungen ihrer Entdeckungen sind besonders leistungsstärkeren Kindern
gelungen.
Was könnte man ändern?
- Arbeitsblatt – Notation (statt 1. Muster, 2.Muster, … - 1. Form, 2. Form…)/ statt Höhe
– Form Nr.
- genügend Zeit zur Bearbeitung einräumen
- mehrere einfache Aufgaben für die schwächeren Schüler bereitstellen
- komplexere Aufgaben für die leistungsstarken Schüler bereitstellen
z.B. verschachtelte Zahlenfolgen (Kombinationen aus Quadrat- und Dreieckszahlen)
- Zahlenraumerweiterung- z.B.: Welche Anzahl hat die 100. Lösung
34

Lernumgebung „Kombinatorik“
Worum geht es?
In der Kombinatorik wird zwischen den zwei Grundtypen Variation und Kombination unterschieden.
Bei Variationen ist die Reihenfolge der Elemente von Bedeutung, bei Kombinationen
hingegen nicht (vgl. Selter; Spiegel 2007, S. 291). Die Permutation, ein Spezialfall
der Variation, stellt einen dritten Typ in der Kombinatorik dar, bei dem jede Anordnung aus
allen n Elementen einer Menge besteht (vgl. Kütting 1994, S. 113). Bei allen drei Typen
wird zwischen Anordnungen mit oder ohne Wiederholung der Elemente unterschieden.
Die drei Aufgabentypen werden in der Reihenfolge Permutation, Variation, Kombination
eingeführt. Die Erfahrungen aus der Praxis haben gezeigt, dass Kinder es so besonders
gut schaffen mit den unterschiedlichen Typen umzugehen. Da Kinder bei der Kombination
eher Probleme haben die Struktur zu erkennen (vgl. Fast, Maria 2008, S. 12), ist es sinnvoll
diesen Aufgabentyp als letzten der drei zu thematisieren.
Kinder sollten sich bereits in der Grundschule mit Kombinatorik auseinandersetzen um später
ein besseres inhaltliches Verständnis zu erzielen (vgl. Neubert 2001, S. 52).
Kombinatorische Aufgaben sind besonders gut für heterogene Kindergruppen geeignet,
weil:
- für ihre Lösung kein Vorwissen nötig ist
- sie handlungsorientiert gelöst werden können
- sie in unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden gestellt werden können
- sie es ermöglichen die Lösung auf unterschiedlichen Wegen zu ermitteln
(vgl. Hoffmann 2004, S. 3)
Mit ihrer 2003 veröffentlichten Dissertation „Elementare Bausteine der kombinatorischen
Problemlösefähigkeit“ hat Antje Hoffmann in standardisierten Interviews die Handlungsmuster
aufgezeigt, mit denen Grund- und Sekundarstufenschüler/innen Kombinatorikaufgaben
kindgerecht (mit Material) lösen können. Sie rekonstruierte dazu verschiedene sogenannte
Mikro- und Makrostrategien. Mikrostrategien sind Handlungsmuster, mit denen man die folgende
oder die folgenden Kombinationen oder zumindest Teile von ihnen erzeugen kann.
Makrostrategien dagegen sind Vorgehensweisen, die das Finden aller Lösungen ermöglichen.
Beispiele für Strategien von Kindern:
Die Mikrostrategie Treppenbildung:
Drei oder vier Kombinationen bilden zusammen eine
Treppe. Dabei ist sowohl eine Einertreppe als auch
vollständige Treppe möglich.
eine
Die Mikrostrategie Gegenpaarbildung:
Auf allen Ebenen wird die Farbe/das Element getauscht.
35

Die Makrostrategie Vollständige Gegenpaarbildung:
Alle Kombinationen werden mit
Gegenpaaren ermittelt. Dabei muss eine
Verbindung zwischen allen Gegenpaaren
hergestellt werden, um sicherstellen zu
können, dass alle Möglichkeiten gefunden
wurden.
Vollständige Gegenpaarbildung verbunden
mit Positionsprinzip
Vorgehensweise:
Zu jedem der drei Aufgabentypen gibt es eine Lernumgebung mit einem Umfang von ca.
acht Stunden.
Die Stunden finden im ein- oder zweiwöchigen Rhythmus statt. Um den Kindern eine
selbstständige Auseinandersetzung zu ermöglichen, wird nur eine Aufgabe pro Unterrichtsstunde
gestellt (vgl. Rasch 2001). Die Kinder können selbst entscheiden ob sie die Aufgabe
mit oder ohne Material, auf der zeichnerischen oder symbolischen Ebene lösen. Dabei stellte
es sich heraus, dass gerade in der ersten Lernumgebung das Material sehr wichtige
Funktionen hatte. Es diente dem spielerischen Finden erster Lösungen, der Sortierung der
Lösungen und damit dem Erkennen von Mustern und der Entwicklung von Strategien zur
Lösungsfindung.
Die Kinder dokumentieren ihre Lösungen in einem Blanko-Heft. Dieses „Kombinatorik-
Heft“ ermöglicht es den Kindern eigene Lösungswege und eigene Dokumentationsformen
zu finden. Sie werden außerdem dazu angeregt in diesem Heft Begründungen zu ihren Lösungen
aufzuschreiben. Bei den so genannten „Mathekonferenzen“ sollen die Kinder sich
ihre Lösungswege gegenseitig vorstellen und diese begründen.
Aspekte für Mathekonferenzen:
- Kinder mit einfachen Lösungen stellen ihre Ergebnisse zuerst vor, damit alle die Möglichkeit
haben etwas beizutragen
- Erklären und Verstehen von unterschiedlichen Lösungen
- Thematisierung von Mikrostrategien, die sich zu Makrostrategien ausbauen lassen
- Ordnen von Lösungsmöglichkeiten
- Begründungen sammeln (warum bist du dir sicher, dass das alle Möglichkeiten sind?)
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Lernumgebung „Kombinatorik I: Permutation“
Thema: Permutationsaufgaben mit drei und vier Elementen
Stufe: Klasse 1 (bzw. 2)
Dauer: ca. 8 Unterrichtsstunden
Aufgabentyp: Permutation ohne Wiederholung
Aufgabe 1 – Zahlen (3)
Ein Zahlenschloss mit den Ziffern 1, 3 und 5 soll geknackt werden.
Welche Möglichkeiten der Anordnung gibt es?
Aufgabe 2 – Häuser (3)
Baue aus einem Dreieck, einem großen und einem kleinen Quadrat
ein Haus mit einer Tür. Die Dreiecke und die Quadrate sind
rot, blau und gelb. Eine Farbe kommt am Haus nur einmal vor.
Wie viele unterschiedliche Häuser kannst du bauen?
Aufgabe 3 – Schaukel (3) und (4)
a) Die Kinder Ali, Uli und Isa schaukeln auf dem Waldspielplatz.
Zwischendurch tauschen sie die Plätze. Auf wie viele verschiedene
Weisen können sie tauschen?
b) Else kommt hinzu. Wie viele Möglichkeiten gibt es jetzt bei
vier Schaukeln?
Aufgabe 4 – Süßigkeiten (3) und (4)
a) Lena hat drei Süßigkeiten geschenkt bekommen. In welcher
Reihenfolge könnte sie die Süßigkeiten essen? Wie viele
verschiedene Möglichkeiten gibt es?
b) Lena bekommt noch eine vierte Süßigkeit dazu. Wie viele
Möglichkeiten hat sie nun?
Aufgabe 5 –Türme (3) und (4)
a) Baue einen Turm aus drei Steinen. Die Farben sind rot, blau,
gelb. In einem Turm darf eine Farbe nur einmal vorkommen.
Wie viele verschiedene Türme kannst du bauen?
b) Baue einen Turm aus vier Steinen. Die Farben sind rot, blau,
gelb und grün (bzw. schwarz). In einem Turm darf eine Farbe
nur einmal vorkommen. Wie viele verschiedene Türme
kannst du jetzt bauen?
Aufgabe 6 – Zahlen (4)
Das Zahlenschloss eines Koffers wird mit den Zahlen 1, 2, 4 und
8 verschlossen. Welche Zahlenkombinationen sind mit diesen
Zahlen möglich?
Aufgabe 7
Erfinde eine (zu den bisher bearbeiteten Aufgaben) ähnliche
Aufgabe.
Material
Kinder
evtl. Ziffernkarten
Dreiecke
und Vierecke
in den
entsprechenden
Farben
Kärtchen mit
Kindernamen
evtl. Kärtchen
mit
Abbildungen
der Süßigkeiten
Legosteine
oder Steckwürfel
in
den entsprechenden
Farben
Besprechung
Ziffernkarten
Dreiecke und
Vierecke in
den entsprechenden
Farben
Kärtchen mit
Kindernamen
Kärtchen mit
Abbildungen
der Süßigkeiten
Legosteine
oder Steckwürfel
in den
entsprechenden
Farben
Tafel oder
leeres Blatt
37

Worum geht es?
Als Permutation ohne Wiederholung bezeichnet man jede Anordnung aller n Elemente einer
Menge in einer beliebigen Reihenfolge (vgl. Kütting 1994, S. 113). Dabei gibt es P n
Möglichkeiten die n unterscheidbaren Elemente in einer Reihe anzuordnen. An der ersten
Stelle der Reihe stehen n Elemente zur Auswahl, an der zweiten Stelle n-1 Elemente und
so weiter fort, bis an der letzten Stelle nur noch eine Möglichkeit zur Verfügung steht. Nach
der Produktregel kann man die Anzahl aller Möglichkeiten wie folgt berechnen: Pn = n! = n•
(n-1) • (n-2) •… •3•2•1.
Beispiel: Es gibt 3! = 3•2•1 = 6 Möglichkeiten drei verschiedenfarbige Legosteine unterschiedlich
anzuordnen
Schülerdokumente aus der Erprobung:
Einfache Lösungen:
Dieses Kind findet drei
Lösungen, wobei jedes
Element einmal an erster
Stelle steht. Gefunden
hat es die zweite Möglichkeit
indem es das
hinterste Element nach
vorne geholt hat (Rotation
3 ).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Bei den Kombinationen 1/2, 3/4, 5/6, 9/10, 11/12 und 13/14 hält dieses Kind zwei
Farben konstant und tauscht die anderen zwei miteinander (2-Konstantenprinzip).
Bei den Möglichkeiten 7/8 werden alle vier Farben jeweils mit einem Partner getauscht
(Gegenpaarbildung). Doppelte Möglichkeiten tauchen auf.
Die Farben „wandern“
gleichmäßig durch
die Ebenen (Treppenbildung).
Doppelte Möglichkeiten
tauchen auf.
3 Alle kursiv gedruckten Begriffe dieser Tabelle bezeichnen einen Strategietyp
38

Anspruchsvollere Lösungen:
Die Farben werden so lange auf den Ebenen festgehalten (hier weiß) bis auf den
anderen Ebenen alle Farbmöglichkeiten durchgespielt wurden (Tachometerzählprinzip).
Das Kind ist noch nicht in der Lage eine Erklärung abzugeben.
Das Element wird so lange auf der ersten und zweiten Ebene festgehalten, bis alle
Möglichkeiten auf den anderen Ebenen gefunden wurden (Tachometerzählprinzip).
Das Kind beschreibt die Ordnung in seiner Lösung.
Das Element wird so lange auf der ersten und zweiten Ebene festgehalten, bis alle
Möglichkeiten auf den anderen Ebenen gefunden wurden (Tachometerzählprinzip).
Das Kind begründet seine Lösung.
39

Was hat sich bewährt? Was könnte man ändern?
Es hat sich bewährt mit dem Typ Permutation in die Kombinatorik einzusteigen. Die Kinder
konnten sich gut mit den Aufgaben auseinandersetzen und schon Erstklässler waren in der
Lage alle möglichen Anordnungen zu finden.
Die Schaukelaufgabe sollte eventuell durch eine andere Aufgabe ersetzt werden, da einige
Kinder hier zu sehr auf den Kontext fixiert waren und so die mathematische Struktur schwerer
erkennen konnten.
40

Lernumgebung „Kombinatorik II: Variation“
Thema: Variationsaufgaben mit zwei Elementen und drei oder vier Ebenen
Stufe: Klasse 2 (bzw. 3)
Dauer: ca. 8 Unterrichtsstunden
Aufgabentyp: Variation mit Wiederholung
Aufgabe 1 – Türme (3) und (4))
a) Baue mit blauen und roten Legosteinen Türme mit drei Etagen.
Wie viele unterschiedliche Türme kannst du finden?
b) Wie viele Türme kannst du finden, wenn sie vier Etagen haben?
Aufgabe 2 – Münze (2), (3) und (4)
a) Lege ein Quadrat oder einen Kreis auf verschiedene Weisen
auf zwei benachbarte Felder. Wie viele verschiedene Möglichkeiten
gibt es?
b) Wie viele Möglichkeiten gibt es bei drei benachbarten Feldern?
c) Wie viele Möglichkeiten gibt es bei vier benachbarten Feldern?
Aufgabe 4 – Kreis (4)
Die vier Viertel eine Kreises können schwarz und weiß gefärbt
sein. Wie viele Möglichkeiten gibt es den Kreis anzumalen?
Material
Kinder
farbige Legosteine
oder
Steckwürfel
a) Auf zwei benachbarte Felder werden gleiche Münzen gelegt.
Auf wie viele verschiedende Weisen kannst du die Münzen
legen?
b) Auf wie viele unterschiedliche Weisen kannst du die Münzen
auf drei benachbarte Felder legen?
c) Wie viele Möglichkeiten gibt es bei vier benachbarten Feldern?
Aufgabe 3 – Formen (2), (3) und (4)
Centstücke
(Vorderund
Rückseite
einer
Münze)
Quadrate
und Kreise
Besprechung
farbige Legosteine
oder Steckwürfel
kopierte,
vergrößerte
Centstücke
(Vorder- und
Rückseite)
Quadrate
und Kreise
Kreise und
Kreisviertel
(schwarz/weiß
)
Worum geht es?
Bei einer Variation werden aus einer Menge mit n Elementen k Elemente ausgewählt, wobei
die Reihenfolge der Elemente beachtet wird. Eine Variation mit Wiederholung kann als
k-stufiger Entscheidungsprozess bezeichnet werden, bei dem auf jeder Stufe die Auswahl
aller n Elemente möglich ist (vgl. Selter; Spiegel 2007, S. 293). So gibt es, nach dem fundamentalen
Zählprinzip insgesamt n k Möglichkeiten k Elemente anzuordnen:
n • n • n • ... • n
k Faktoren
41
= n k
k

Beispiel: Es gibt 2 3 = 2•2•2 = 8 Möglichkeiten zwei verschiedenfarbige Legosteine an drei
Stellen unterschiedlich anzuordnen
Schülerdokumente aus der Erprobung:
Einfache Lösungen:
Zwischen den Kombinationen
1/2, 3/4, 5/6 und 7/8
wurden die beiden Farben
in den Ebenen gegeneinander
getauscht (Gegenpaarbildung
1 ).
1 2 3 4 5 6 7 8
Die Farben der Ebenen
wurden gegeneinander
getauscht (Gegenpaarbildung).
Zusammengehörige
Gegenpaare wurden
markiert. Die Erklärung ist
nicht aussagekräftig.
Anspruchsvollere Lösungen:
Mit Hilfe der Gegenpaarbildung
und unter Beachtung
der Anzahl der farbigen Steine
und ihrer Position (Positionsprinzip)
konnte dieses
Kind alle möglichen Lösungen
finden (vollständige Gegenpaarbildung).
42

Mit Gegenpaaren (Kombination 1/2)
und Treppenbildung (Kombinationen
3-5 und 6-8) konnten alle Möglichkeiten
ermittelt werden. In mehreren
Phasen konnten alle Möglichkeiten
ermittelt werden (Lösungssuche in
Phasen). Das Vorgehen wird von dem
Kind beschrieben.
Die Gruppen stellen mehrere Phasen
da, in denen hauptsächlich durch
Treppenbildung alle Lösungen ermittelt
werden konnten (Lösungssuche in
Phasen). Die Begründung erklärt, warum
nicht mehr Möglichkeiten in die
unterschiedlichen Gruppen passen.
Was hat sich bewährt? Was könnte man ändern?
Da bei der Kreisaufgabe von den Kindern die Strategie der Treppenbildung besonders häufig
angewendet wurde, bei den übrigen Aufgaben hingegen sehr selten, würde es Sinn machen
diese Aufgabe schon früher zu stellen, um das Strategierepertoire der Kinder zu erweitern
und ihnen die Möglichkeit zu geben diese Strategie auch bei anderen Aufgabenstellungen
auszuprobieren. Die Münzaufgabe hingegen war für die Kinder recht schwierig zu
erfassen, weshalb in Betracht gezogen werden sollte diese Aufgabe erst zu einem späteren
Zeitpunkt zu stellen.
43

Lernumgebung „Kombinatorik III: Kombinationen ohne / mit Wiederholung“
Thema: Kombinationsaufgaben
Stufe: Klasse 3 (bzw. 4)
Dauer: ca. 8 Unterrichtsstunden
Material
Aufgabe 1 – Gummibärchen
Von den fünf verschieden farbigen Gummibärchen darfst du dir je
eins nehmen. Tue immer zwei Gummibärchen zu einem Paar
zusammen. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Aufgabentyp: Kombination ohne / mit Wiederholung Kinder Besprechung
Gummibärchen
in fünf
verschiedenen
Farben
Aufgabe 2 – Würfel
a) Wenn du mit zwei Würfeln würfelst, wie viele unterschiedliche
Würfelpaare kann es geben?
b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn du mehr Würfel
nimmst?
Aufgabe 3 – Händeschütteln
a) Drei Personen treffen sich. Jede schüttelt mit den zwei anderen
die Hand. Wie oft werden bei diesem Treffen die Hände
geschüttelt?
b) Wie oft werden Hände geschüttelt, wenn sich 5, 10 oder 100
Personen begrüßen?
Aufgabe 4 – Diagonalen in einem Vieleck
a) Wie viele Diagonalen hat ein Dreieck, Viereck, Fünfeck, ... ?
b) Wie viele Diagonalen hat ein Hunderteck
(Diese Aufgabe erfordert mehrere Unterrichtsstunden, zuvor
müssen die verschiedenen Vielecke erarbeitet werden.)
Aufgabe 5 –Glücksrad
a) Ein Glücksrad soll mit zwei Farben angemalt werden. Dafür
stehen sechs Farben zur Auswahl: rot, blau, grün, gelb, lila
und schwarz. Wie viele Möglichkeiten gibt es das Glücksrad
unterschiedlich anzumalen?
b) Wie viele Möglichkeiten gibt es das Glücksrad in drei oder
vier Farben anzumalen?
Aufgabe 6
Denk dir eine eigene Kombinatorikaufgabe aus.
Kopierte,
vergrößerte
Gummibärchenbilder
Würfelbilder
oder Quadrate
zum
Einzeichnen
Tafel oder
weißes Blatt
Würfel
Schablonen
der Vielecke
(bis
Achteck)
Schablonen
der Vielecke
(bis Achteck),
Tafel
Kreise und
farbige Halbkreise
44

Worum geht es?
Bei der Kombination werden aus einer Menge mit n Elementen k Elemente ausgewählt,
wobei die Reihenfolge der Elemente nicht beachtet wird. Das bedeutet, dass Zusammenstellungen
als gleich angesehen werden, die dieselben Elemente in verschiedener Anordnung
enthalten (vgl. Kütting 1994, S. 115). Bei der Kombination ohne Wiederholung gibt es
n!
k! • (n-k)!
mögliche Anordnungen.
Beispiel: Es gibt
5!
2! • (5-2)!
Gummibärchen zwei auszuwählen.
= 10 Möglichkeiten aus fünf verschiedenfarbigen
Bei einer Kombination mit Wiederholung der Elemente gibt es
Elemente anzuordnen.
(n+k-1)!
k! • (n-1)!
Möglichkeiten die k
Beispiel: Es gibt
(6+2-1)!
2! • (6-1)!
Ergebnisse zu würfeln.
= 21 Möglichkeiten mit zwei Würfeln unterschiedliche
Schülerdokumente aus der Erprobung:
Einfache Lösungen:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Durch das Konstanthalten einer Ebene (Kombinationen 1/2 und 7/8/9) aber auch durch probieren
kann dieses Kind schon viele Lösungen finden.
Anspruchsvollere Lösungen:
Jede Farbe wird so lange
konstant gehalten, bis sie
mit jeder anderen Farbe
kombiniert wurde (Tachometerzählprinzip
1 ).
Dieses Kind beachtet
dabei die Reihenfolge.
45

Jede Farbe wird mit allen
anderen Farben kombiniert.
Die Reihenfolge
wird nicht beachtet (Tachometerzählprinzip
unter
Aussortierung der
Doppelten). Das Kind
erklärt, dass eine Farbe,
wenn sie mit allen kombiniert
wurde, nicht mehr
gebraucht wird.
Jede Farbe wird mit allen anderen Farben kombiniert. Die Reihenfolge wird nicht beachtet
(Tachometerzählprinzip unter Aussortierung der Doppelten). Das Kind erklärt, warum die
Reihenfolge bei dieser Aufgabe nicht von Bedeutung ist und stellt eine Rechnung auf um die
Anzahl der Möglichkeiten zu ermitteln.
Aspekte für Mathekonferenzen:
Besonderheit der Aufgaben, die „nicht Beachtung der Reihenfolge“ thematisieren
Was hat sich bewährt? Was könnte man ändern?
Die Gummibärchen-Aufgabe hat sich bewährt um die Beachtung der Reihenfolge mit den
Kindern zu thematisieren, da ein Teil der Kinder die Reihenfolge für relevant hielt.
Die Aufgabe mit dem Glücksrad sollte vor den Aufgaben „Händeschütteln“ und „Diagonalen
in einem Vieleck“ gestellt werden, da die Struktur dieser Ausgabe den ersten beiden Aufgaben
mehr ähnelt und ein Zusammenhang für die Kinder leichter zu erschließen ist.
46

Lernfortschritte:
Für die Lernumgebung zur Kombinatorik lassen sich die Indikatoren für Lernfortschritte wie
folgt konkretisieren:
- Zunahme richtiger Lösungen
- Elaborierung bisheriger Bearbeitungswege (systematischeres Vorgehen)
- Erweiterung des Strategierepertoires
- Transferleistungen (Erkennen struktureller Gemeinsamkeiten, Nutzen struktureller
Gemeinsamkeiten)
- Entwickeln von Begründungen
- Ausdifferenzierung bisheriger Begründungen
Zur Heterogenität der Lernfortschritte:
Kindern mit einfachen Lösungen...
- finden zunehmend mehr richtige
Lösungen
- lernen es immer systematischer
vorzugehen
- lernen unterschiedliche Herangehensweisen
kennen und erweitern
ihr Strategierepertoire
- erbringen teilweise Transferleistungen
- beginnen ihre Lösungen zu verbalisieren,
beschreiben eher als zu
begründen
- entwickeln eigene Aufgaben mit
Lösungen zu einem der drei Aufgabentypen
Kinder mit anspruchsvollen Lösungen...
- finden schnell alle Lösungen
- Lösen sich schnell vom Material
- lernen es ihr Vorgehen immer weiter
zu systematisieren
- festigen den Umgang mit einer für
sie erfolgreichen Strategie und /
oder probieren verschiedene Strategien
aus
- erbringen schnell eindeutige
Transferleistungen (erkennen
strukturelle Gemeinsamkeiten innerhalb
von Aufgaben und zwischen
unterschiedlichen Aufgaben)
- entwickeln ihre Begründungen
weiter und können zum Teil gute
Erklärungen zum Finden aller
Möglichkeiten abgeben
- entwickeln gezielt eigene Aufgaben
mit Lösungen zu den unterschiedlichen
Aufgabentypen
Zusammenfassung / Ausblick
Es hat sich gezeigt, dass bei den Kombinatorikaufgaben alle Kinder die Möglichkeit haben
Lösungen zu finden. Beim Lösen der Aufgaben entwickeln sich alle weiter. Das Ausmaß
der Fortschritte ist allerdings sehr unterschiedlich. Schwächere Kinder finden vor allem immer
mehr Lösungen mit Hilfe des Materials und gehen langsam strategischer vor, während
stärkere Kinder, die schon schnell alle Möglichkeiten finden, Strategien effizienter nutzen,
sich dabei schnell vom Material lösen und Begründungen ausformulieren.
Es hat sich gezeigt, dass neue Aufgabentypen eine Herausforderung darstellen, da andere
Strategien naheliegend und sinnvoll sind als bei anderen Typen. Auch deshalb war es für
alle Kinder förderlich mehrere strukturgleiche Aufgaben zu stellen. Schwächere Kinder ha-
47

en insbesondere davon profitiert, da sie nur so sinnvolle Strategien entdecken und festigen
konnten. Stärkere Kinder hatten hingegen die Möglichkeit die Struktur der Aufgaben
genauer zu erkunden, Entdeckungen daran zu machen und Begründungen zu entwickeln.
Die Kombinatorik-Lernumgebung wurde in drei Klassen mit unterschiedlichem Einzugsgebiet
innerhalb von drei Jahren durchgeführt. Zwei Klassen begannen als zweite Klasse und
eine als erste. Bei allen Kindern ließen sich Lernfortschritte beobachten. Das bedeutet,
dass das Einzugsgebiet oder die Klassenstufe nicht entscheidend für den Erfolg der Kinder
ist. Die Unterschiede zwischen den Kindern einer Klasse waren gemeinhin größer als die
zwischen den Klassen der unterschiedlichen Schulen.
Mit gemischten Aufgabentypen könnte die Kombinatorik wieder aufgegriffen werden, um
festzustellen wie sehr sich der Umgang mit den Aufgaben gefestigt hat. Die Lösung durch
ein Baumdiagramm könnte den Kindern aufgrund ihrer umfangreichen Vorerfahrung eventuell
besser vermittelt werden.
48

Lernumgebung „Würfel und Würfelnetze“
Thema:
Klasse:
Dauer:
Material:
Würfel und Würfelnetze (Raumvorstellung)
3. bis 4. Schuljahr
je 8 Unterrichtsstunden
Behrens (2008); bunte Plastikquadrate zum Zusammenstecken
Worum geht es?
Um das räumliche Vorstellungsvermögen der Schüler gezielt zu fördern, haben wir den
Würfel als Repräsentanten für die geometrischen Körper aus folgenden Gründen gewählt:
Der Bremer Rahmenplan (vgl. 2004, S. 29) fordert im Themenbereich Form und Veränderung
für die Klassenstufen 3 und 4 den handelnden Umgang mit dem Würfel als einem Repräsentanten
der geometrischen Körper. Der Körper und sein Netz sollen begrifflich und
inhaltlich erschlossen werden.
Der Würfel ist den Kindern in ihrer Umwelt als Spielwürfel schon häufig begegnet, so dass
sie schon einige Vorerfahrungen sammeln konnten, an denen sich anknüpfen lässt. Räumliche
Veränderungen, die zum räumlichen Vorstellungsvermögen gehören, lassen sich an
einem regelmäßigen Körper leichter durchführen als an einem unregelmäßigen.
Wechselbezüge zwischen Zwei- und Dreidimensionalität lassen sich am Würfel und am
Würfelnetz sehr gut herstellen. Dadurch „eignet sich die Thematik [...] in besonderem Maße
zur Schulung des räumlichen Vorstellungsvermögens“ (Behrens 1993, S. 31).
Unter einem geometrischen Körper wird die Menge aller Punkte, Geraden und Ebenen des
dreidimensionalen Raumes verstanden, die innerhalb eines vollständig abgeschlossenen
Teils dieses Raumes liegen (vgl. Gellert 1972, S. 218).
Der Würfel gehört zu den regelmäßigen Polyedern und ist eine Sonderform des Quaders 4 .
Der Würfel hat sechs kongruente quadratische Seitenflächen und zwölf gleich lange Kanten,
von denen immer 4 parallel zueinander verlaufen. An jeder der acht Ecken stoßen drei Kanten
und drei Flächen zusammen. Jede der Seitenflächen wird von 4 Kanten und 4 Ecken
begrenzt und steht senkrecht zu jeder ihrer vier Nachbarflächen (vgl. Franke 2000, S. 135).
Für die Herstellung von Würfeln gibt es im Wesentlichen drei verschiedene Varianten: Das
Vollkörpermodell, das Kantenmodell und das Flächenmodell. Die Modelle bieten unterschiedliche
Möglichkeiten die Merkmale eines Würfels kennenzulernen. So lässt sich am
Vollkörpermodell die Kongruenz der sechs Seitenflächen und die jeweils rechten Winkel der
Kanten thematisieren. Am Kantenmodell können gut die Anzahl der Ecken, die Anzahl der
Kanten und die Länge der Kanten entdeckt werden. Dadurch wird dem Betrachter bewusster,
dass jeweils drei Kanten eine Ecke bilden, dies ist hilfreich für den Umgang mit Würfelnetzen.
Das Flächenmodell veranschaulicht das Würfelnetz und kann durch Auseinander-
4 Ein Quader, bei dem alle Begrenzungsflächen kongruent sind, ist ein Würfel.
49

klappen oder Abrollen eines Würfels oder durch Zusammensetzen und Falten von kongruenten
Quadraten hergestellt werden (vgl. ebd., S. 153 ff).
Werden die Flächen des Würfels an ihren Kanten getrennt, sodass jedes Quadrat mit mindestens
einem weiteren Quadrat verbunden bleibt, erhält man eine Abwicklung des Würfels.
Diese ebene Fläche wird als Würfelnetz bezeichnet und besteht aus einem einzigen zusammenhängenden
Stück (vgl. Radatz/ Schipper 1999, S. 162).
Würfelnetze (im Weiteren auch WN) können auch durch Zusammensetzen und Falten von
kongruenten Quadraten gefunden werden. Es gibt 35 verschiedene Arten, die 6 kongruenten
Quadrate korrekt zu Hexaminos („Sechslinge“) zu verbinden. Lediglich 11 von ihnen
ergeben aber durch Falten einen Würfel und lassen sich nicht durch Drehungen und/ oder
Spiegelungen aufeinander abbilden. Die Würfelnetze können nach der Anzahl der Quadrate
in einer Reihe unterschieden werden. Es gibt sechs Würfelnetze mit vier Quadraten in
einer Reihe (Nr. 1-6), vier Würfelnetze mit drei Quadraten in einer Reihe (Nr. 7-10) und ein
Würfelnetz mit zwei Quadraten in einer Reihe (Nr. 11) (vgl. ebd.).
Die 11 Würfelnetze:
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11
Einige der Würfelnetze haben in der Literatur, aber auch durch die Verwendung im Unterricht
„Namen“ zur eindeutigen Identifikation erhalten. So wird Würfelnetz 4 als „Z“ oder „Z-
Form“, Würfelnetz 1 als „T“ oder „T-Form“, Würfelnetz 5 als „Kreuz“, Würfelnetz 8 als „Ente“
oder Würfelnetz 11 als „Treppe“ benannt.
Räumliches Vorstellungsvermögen als Teil der Raumvorstellung
Räumliches Vorstellungsvermögen ist ein entscheidender Bestandteil der Raumvorstellung
und hat als solcher lebenspraktische Bedeutung (vgl. Maier 1999a, S. 4ff.). Die Raumvorstellung
ist nach Thurstone zudem ein wichtiger Faktor der menschlichen Intelligenz (vgl.
Franke 2000, S. 29). Die von Thurstone entwickelte Drei-Faktoren-Hypothese strukturiert
die komplexe Raumvorstellung durch die Einteilung in die drei Teilfaktoren räumliche Beziehung,
räumliches Vorstellungsvermögen und räumliche Orientierung (vgl. Maier 1999b,
S. 38-41).
Von zentraler Bedeutung für die Lernumgebung ist das räumliche Vorstellungsvermögen.
Es umfasst die Fähigkeit sich räumliche Bewegungen von Objekten oder Teilen von ihnen
gedanklich vorstellen zu können, ohne dabei anschauliche Hilfen zu verwenden. Als Bewegungen
werden Rotationen um eine Horizontal-, Vertikal- oder Schrägachse, räumliche
Verschiebungen und Faltungen und Kombinationen davon angesehen. Diese Bewegungen
können am Würfel, am Würfelnetz oder Teilen von ihm handelnd durchgeführt werden (vgl.
50

Franke 2000, S. 134 – 149). Gerade bei Würfelnetzen muss man sich meist das Zusammenfalten,
also die Veränderung der zu sehenden Figur zu einem Würfel vorstellen und auf
bestimmte Eigenschaften wie etwa die gegenüberliegenden Flächen untersuchen. Auch der
Wechsel zwischen zwei-und dreidimensionalen Abbildungen oder Vorstellungsbildern ist
bei dieser Komponente ein wichtiger Aspekt und findet auch seine Bedeutung bei den Würfelnetzen,
etwa beim Übertragen eines dreidimensionalen Würfelmusters in ein zweidimensionales
Würfelnetz. Zusätzlich müssen bei den Würfelnetzen einzelne Flächen, also Teile
des Objektes, mit Hilfe von Bewegungen wie Drehungen oder Faltungen in ihrer Position
verändert werden.
Das räumliche Vorstellungsvermögen kann bei jedem Menschen durch geeignete Anregungen
und Hilfen gefördert werden (vgl. Besuden 1984, S. 56, Maier 1999a S.9). Dies trifft
besonders auf Kinder im Alter zwischen 7 und 13 Jahren zu, da die Entwicklungsmöglichkeiten
zu diesem Zeitpunkt besonders günstig sind (vgl. Maier 1999b, S. 116). Das bedeutet,
dass eine Anregung und gezielte Förderung des räumlichen Vorstellungsvermögens in
diesem Zeitraum am notwendigsten und in der Regel am erfolgreichsten ist. Genau dieser
Forderung wollen wir mit der Unterrichtseinheit „Würfel und Würfelnetze“ nachkommen.
Die Lernumgebung stellt unter anderem folgende Herausforderungen:
• grundlegende Eigenschaften des Würfels kennen
• das Würfelnetz als erstes Körpernetz kennen lernen
• WN erkennen
• deckungsgleiche WN erkennen
• gegenüberliegende Flächen am Würfel und WN erkennen
• zusammentreffende Kanten und Ecken im WN erkennen
• Rückschlüsse von der Ebene auf den Raum ziehen (Netz Körper) und umgekehrt
• Raumvorstellungsvermögen entwickeln
• räumliche Beziehungen erkennen
Strategien der Kinder für die Würfelnetzaufgaben
In ihren Studien zum Bereich der Raumvorstellung haben Merschweyer- Brüwer (2001) und
vor allem Grüßing (2002) Strategien herausgearbeitet, die wir für unsere Strategien als grobe
Orientierung sehen. Die dort vorgestellten Strategien sind allerdings sehr generell gehalten,
umfassen im Wesentlichen alle Komponenten der Raumvorstellung und wurden zur
Analyse anderer Aufgabentypen als denen der Würfelnetze angewandt. Die folgenden für
unsere Arbeit verwendeten Strategien beziehen sich in erster Linie auf die Beobachtung
der Vorgehensweisen der Kinder im Bearbeitungsprozess von Würfelnetzaufgaben, welche
von uns Lehrerinnen und Sandra Langendorf (2009) in ihrer Masterarbeit erfasst werden
konnten:
1) Voll-geometrische-Strategie: Bezieht sich auf das vollständige mentale Zusammenfalten
des Würfelnetzes zum ganzen Würfel.
2) Teil-geometrische-Strategie: Bezieht sich auf das mentale Zusammenfalten einzelner
Teile des Würfelnetzes.
3) Transfer-Strategie: Hiermit ist die Transferleistung gemeint, bei der eigene Erfahrungen,
Erkenntnisse oder auch Wissen aus dem Unterricht korrekt auf die zu bearbeitende
Aufgabenstellung übertragen und angewandt werden.
51

4) Ausschluss-Strategie: Damit ist eine Art Ausschlussverfahren gemeint, bei dem das
Kind einzelne Teile des Würfelnetzes z.B. Flächen, Kanten oder Ecken als Lösungsmöglichkeit
ausschließt, dadurch die Möglichkeiten eingrenzt und so zu einer
Lösung kommt.
5) Analytische Strategie: Diese Strategie beschreibt ein rein analytisches Vorgehen, bei
dem logisch schlussfolgernd die Lösung ausschließlich verbal artikuliert wird und ohne
jegliche Raumvorstellung auskommt.
Strategien, die Kinder zu bestimmten Inhalten der Lernumgebung entwickelt haben sind in
folgender Auflistung zu finden:
Zum Bestimmen einander gegenüberliegender Flächen:
• Die einander gegenüberliegenden Flächen können weder eine gemeinsame Kante
noch eine gemeinsame Ecke haben (Ausschlussverfahren).
• Zwei Flächen liegen sich gegenüber, wenn zwischen diesen Flächen ein Quadrat
oder eine Reihe von Quadraten senkrecht dazu liegt.
Zum Bestimmen zusammengehöriger Kanten:
• wenn sie Außenseiten des WN sind, an einer Ecke zusammenstoßen und senkrecht
zueinander sind.
• wenn sie die äußeren Endkanten einer Viererreihe sind.
• wenn sie am Würfel parallel zueinander liegen (parallele Kanten liegen im Würfelnetz
an der Außenkante im 90° - Winkel oder in einer Reihe parallel zueinander).
• wenn sie nicht zu einer Fläche gehören (Ausschlussverfahren)
• wenn die eine Kante nicht auf derselben Geraden liegen (Ausschlussverfahren)
• wenn sie als einzige übrig bleiben.
Zum Bestimmen der drei zusammentreffenden Ecken:
• wenn sie zusammen liegen.
• wenn sie äußere Ecken sind und ihre zugehörigen Außenkanten einen rechten Winkel
bilden.
• wenn sie keine gemeinsame Kante haben (Ausschlussverfahren).
• wenn sie nicht an gegenüberliegenden Flächen liegen (Ausschlussverfahren).
Wie kann man vorgehen?
Teilaspekt der Einheit
Würfel und WN kennen lernen
1.
2.
Sequenz
Würfelmodelle herstellen
Vollkörpermodell, Flächenmodell,
Kantenmodell
Würfelnetze
verschiedene WN mit Plastikquadraten
herstellen
Vertiefung im Spiel und durch
Forscheraufgaben
wichtigste Teilziele
Eigenschaften des Würfels und Begriffe
(Kante, Ecke, Fläche) anhand
der Modelle kennen lernen
Würfelnetz (WN) - als erstes Körpernetz
kennen lernen
deckungsgleiche WN (gedrehte
und/oder gespiegelte) erkennen
Anzahl
Stunden
2
3 bis 4
52

3.
4.
Gegenüberliegende Flächen
Kanten und Ecken
am Würfel und im Würfelnetz
einfärben
die gegenüberliegenden Flächen am
Würfel und im WN suchen;
erste Regel zur Erkennung finden
die zusammentreffenden Kanten und
Ecken am Modell und im WN suchen;
erste Regel zur Erkennung finden
1
2
Räumliches Vorstellungsvermögen fördern
5. Spiele zur Förderung des räumlichen Vorstellungsvermögen 2
6.
Angebote zur Förderung des räumlichen Vorstellungsvermögens in
Form eines Stationenlernens
5 bis 6
Die Unterrichtseinheit ist so konzipiert, dass den Schülern für alle neuen Arbeitsaufträge
zunächst konkretes Material zur Verfügung steht. So werden im ersten Teil die Eigenschaften
des Würfels anhand zuvor selbst hergestellter Flächen-, Kanten-und Vollkörpermodelle
des Würfels thematisiert, was schließlich zu dem Hauptgegenstand der Lernumgebung,
den Würfelnetzen, überleitet. Die konkreten Handlungen des Erstellens von Würfelnetzen
wurden in der Sequenz 2 von allen Schülern ausgeführt. Bei der Suche nach allen möglichen
Würfelnetzen werden Regeln zur Eindeutigkeit der gefundenen Netze erarbeitet, wie
beispielsweise die Übereinstimmung bei Spiegelungen oder Drehungen. Um die Ablösung
vom Material zu fördern, wurden darauf aufbauend gezielt Forscheraufträge (z.B. „Nicht-
Würfelnetze“ finden) gegeben, die auf Zeichnungen aufbauen (ikonische Darstellungsweise)
und schriftliche und sprachliche Vermutungen (symbolische Darstellungsweise) erfordern.
Des Weiteren wurden in dritter Sequenz gegenüberliegende und benachbarte Flächen,
später zusammentreffende Kanten und Ecken am Würfel und im Würfelnetz auf der enaktiven
Ebene eingeführt. Damit waren die Grundlagen für das Verständnis der Arbeitsanweisungen
im zweiten Teil der Lernumgebung (Spielen und Stationen) gelegt.
Im zweiten Teil kommen die Kinder zum gedanklichen Operieren mit den Würfelnetzen,
welches durch die Bereitstellung von Material begleitet wird. So gibt es verschiedene Spiele
und mehrere Stationen, die jeweils bestimmte Aspekte der Arbeit mit den Würfelnetzen vertiefen.
Bei den Spielen geht es beispielsweise um das
• schnelle Identifizierung von Würfelnetzen oder „Nicht-Würfelnetzen“,
• Erkennen von gleichen Würfelnetzen beim Memory oder „Blitzsehen“
• Bestimmen von gegenüberliegenden Flächen mit Hilfe von Farben oder Augenzahlen
des Spielwürfels.
• Bestimmen von zusammentreffenden Kanten und Ecken
Die Stationsarbeit bildet den letzten Teil der Einheit und besteht aus insgesamt acht verschiedenen
Stationen. Die Stationen beinhalten folgende Aspekte (s. Tab. W1).
Die einzelnen Aufgaben an den Stationen sind mindestens in zwei bis drei Schwierigkeitsstufen
konzipiert, so dass jedes Kind an jeder Station zumindest die Anfangsaufgabe schaffen
könnte. Die weiteren Aufgaben an der Station stellen immer größere Ansprüche an das
räumliche Vorstellungsvermögen.
An den einzelnen Stationen befinden sich Arbeitsanweisungen bzw. Arbeitsblätter, die
möglichst kurz und verständlich formuliert sind, um selbstständiges Arbeiten zu ermöglichen.
Die Kinder dürfen selbstständig entscheiden mit welcher Station sie arbeiten oder in
welcher Reihenfolge sie die Stationen aussuchen. Zusätzlich zu den Arbeitsaufträgen werden
Spiele zu den Würfelnetzen angeboten, die von zwei bis vier Schülern sowohl mit als
auch ohne Material gespielt werden können. Hier werden die Schüler verstärkt zu sprachli-
53

chen Begründungen angeregt, wenn sie unterschiedlicher Ansicht sind. Dadurch verbalisieren
sie ihre Vorstellung (symbolische Ebene) oder nutzen das Material (enaktive Ebene)
zur Begründung. Weil die Schüler gerne schneller sein wollen als ihre Partner, werden sie
motiviert auch ohne Material zum Ziel zu kommen. In der gesamten Lernumgebung können
die Kinder die Sozialform frei wählen.
Auf einem Übersichtsplan sind alle Aufträge und Namen der Kinder tabellarisch aufgelistet.
Hier kreuzen die Kinder erledigte Aufträge an, damit sie eine Übersicht über ihre Arbeit haben
und die Lehrperson eine Kontrolle über den Arbeitsverlauf der Kinder.
Da sich räumliches Vorstellungsvermögen nur langsam und schrittweise von den konkreten
Handlungen aus entwickeln kann, wird an jeder Station Material als Hilfe bzw. als Selbstkontrolle
angeboten. Das soll den Kindern Sicherheit geben. Gleichzeitig werden die Kinder
durch die Aufgabenstellungen und durch individuelle Fragen immer dazu angehalten, vorab
ihre Vermutungen bezüglich des Ergebnisses (oder eines Teilergebnisses) zu äußern, diese
zu begründen und selbstständig zu überprüfen. Außerdem sollen die Kinder lernen, ihre
Handlungen gezielt zu beobachten. Diese Überlegungen sind in der Strukturierung der Aufgabenstellungen
bei den Arbeitsblättern und in die Spiele integriert.
Neben dem Material begleiteten die Kinder mathematische Gespräche, sogenannte Konferenzen,
in denen mit einer Gruppe von Kindern oder der ganzen Klasse meist zu Beginn
oder zum Ende einer Stunde neue Aspekte eingeführt, Ergebnisse vorgestellt oder Strategien
ausgetauscht und diskutiert wurden.
Beispiel für eine Mathekonferenz:
Ein mögliches Thema für eine Konferenz ist die Strategiebesprechung zur Förderung des
Erkennens von gegenüberliegenden und benachbarten Flächen in den Würfelnetzen 5 . Ziel
dieser Übung ist es, die Erkenntnisse der Kinder zu Strategien zusammenzutragen, zu verbalisieren
und schwächeren Kindern durch Anschauung verfügbar zu machen. Diese Strategien
bzw. Regeln sollen den Kindern helfen gegenüberliegende Flächen in allen WN systematisch
zu finden. Dafür wird ein schwieriges WN (Nummer 8, s. S. 2) aus großen blauen
Quadraten in der Mitte des Kreises gelegt. Die folgende Frage wird diskutiert: Welche
Flächen dieses WN sollen ausgetauscht werden, so dass man aus dem Würfelnetz einen
dreifarbigen Würfel bauen kann, bei dem alle einander gegenüberliegenden Flächen gleiche
Farben haben. Es gibt zwei zusätzliche Quadrate in Grün und zwei in Rot. Zur Visualisierung
zeige ich einen kleinen Würfel aus Plastikquadraten („Lokons“) mit entsprechend
gefärbten Flächen. Diese Übung ist je nach dem gewählten Würfelnetz einfacher oder
schwieriger. Diese Übung soll dazu führen, die Strategien, die schon vorhanden sind, zusammenzutragen.
Ein komplexes Netz wird dabei eher dazu führen, dass mehr unterschiedliche
Strategien thematisiert werden.
Als Impulse während der Bearbeitung können folgende Fragen gestellt werden: Wo würdet
ihr anfangen? Welche zwei Flächen sind leichter zu erkennen? Welche Fläche können wir
ausschließen? Warum können wir diese Fläche ausschließen? Haben die einander gegenüberliegenden
Flächen gemeinsame Ecken oder Kanten? Auch den kleinen farbigen Würfel
kann man als Hilfe immer wieder anwenden. Dabei werden die Begriffe wie Fläche, Kante,
Ecke wiederholt. Außerdem können die Schüler ihre Herangehensweisen bei der Lösung
ähnlicher Aufgaben beschreiben und später evtl. auf andere Aspekte der UE übertragen,
da die Bereiche aufeinander aufbauen. So können z.B. nur benachbarte Flächen zusammenstoßende
Kanten und Ecken haben 2 .
5 Auflistung der Strategien s. Kap. „Worum geht es?“
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Als Erweiterungsaufgabe bei schnellerem Erkennen und Begründen einander gegenüber
liegenden Flächen im WN, kann die Veränderung des WNes durch Umlegen einer Fläche
zu einem anderen WN sein. Die einander gegenüberliegenden Flächen sollen dabei stets
die gleiche Farbe haben. Die besprochenen Strategien werden zur Überprüfung der Zuordnung
der Flächen in diesem neuen WN angewendet werden (Transfer).
Schülerdokumente aus der Erprobung:
Verdeutlichung der verwendeten Strategien
Für das Färben der aneinanderstoßenden Ecken wählt Sven erneut ein Würfelnetz aus,
das er zuvor noch nicht hatte und begründet dies auch damit. Durch Betrachten des Modells
kann er acht Ecken, vier oben und vier unten, am Würfel bestimmen und benennt jeweils
drei als zusammenstoßend, wodurch er eine gute mentale Strukturierung des Würfels
beweist.
Beim Färben beginnt er durch Transferleistung mit den für ihn einfachen Ecken. Danach
wendet er die Teil-geometrische-Strategie für die gelben Ecken, die Transfer-Strategie für
die rosa Ecken, die Voll-geometrische-Strategie für die roten und erneut die Transfer-
Strategie für die schwarzen Ecken an. Für die Färbung der grünen Ecken wendet er die
Ausschluss-Strategie in Bezug auf orange und gelbe Ecken an und die letzten schwarzen
Ecken bestimmt er erneut durch Transferleistung durch die grünen Ecken. Siehe dazu die
unten stehende Abbildung:
Sven beginnt sofort mit dem Färben der
orangenen Ecken und meint: „beim Knicken
sind die schon automatisch zusammen“.
Er meint: „es gibt noch weitere Einfache“
und färbt türkise Ecken. Danach färbt er sofort
gelbe Ecken und erklärt wie einfach das
Klappen dazu ging. Dann färbt er rosa Ecken
und meint, es sei genau wie eben.
Nach kurzer Überlegung und Betonung der
nun schwereren Ecken färbt er rote Ecken
und erklärt mit Handbewegungen, welche
Fläche dabei welche Lage im Würfel hat. Er
färbt schwarze Ecken und erklärt, dass es
das Gleiche wie eben ist.
Sven guckt das WN an, färbt dann grüne
Ecken und erklärt, dass wenn orange und
gelbe Ecken sich berühren, sich dann auch
grüne Ecken berühren.
Sven färbt die letzten Ecken blau und meint
nicht mehr überlegen zu müssen, da er
schon grüne überprüft hat und sie das Gleiche
seien.
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Heterogene Leistungsfähigkeit
Einfache Lösung
Bei der Aufgabe zu der fehlenden Fläche scheint Jan das gefaltete Würfelnetz im Kopf kurz
vor sich zu haben (Voll-geometrische-Strategie) und findet dadurch teilweise auch richtige
Möglichkeiten. Beim Zusammenklappen im Kopf scheint er sich selbst zu verwirren beziehungsweise
fällt ihm das Klappen der letzten Flächen offenbar schwer, weshalb er dann
beim Angucken richtige Möglichkeiten auch als falsch bezeichnet. Im Folgenden ist ein
Ausschnitt seiner Bearbeitung der Aufgabe dargestellt:
Jan dreht das Blatt zurück, überlegt, zeichnet Möglichkeit
(3) ein und dreht das Blatt erneut. Er guckt
das WN wieder an, schüttelt dann den Kopf und
streicht Möglichkeit (3) durch. Auf Nachfrage erklärt
er, dass die beiden einzelnen Flächen aufeinander
treffen (auch bei der Erklärung des Klappvorgangs
mit Fingern bestätigt er dies).
Jan dreht das Blatt zurück und zeichnet Möglichkeit
(4) ein. Jan dreht das Blatt erneut, guckt WN
(und auch noch mal Möglichkeit (3)) an und dreht
das Blatt dann wieder zurück. Jan bejaht, dass
diese Lösung geht.
An dieser Bearbeitung ist ein räumlich-visueller
Lösungsansatz zu sehen, welcher aber noch
schwer fällt. Durch die Drehung des Blattes versucht
er sich offenbar eine geeignetere Ansicht für
den mentalen Klappvorgang zu schaffen, da er in
der Raumvorstellung noch nicht so weit ist, dass er
dies aus jeder Perspektive kann.
Eine starke Fixierung auf das Material zeigt Clara:
Auf Nachfrage, ob es weitere Möglichkeiten gibt,
zuckt sie mit den Schultern. Sie sagt, sie glaube
nicht. Clara probiert durch Bauen weiter, da sie
meint es auf dem Papier wegen der Striche nicht so
gut zu sehen.
Sie probiert nacheinander Möglichkeiten (2), (3) und
(4) aus. Bei den ersten beiden stellt sie fest, dass es
nicht geht und zeigt am Material warum. Bei Möglichkeit
(4) stellt sie fest es geht und zeichnet diese
ein.
Durch Bauen probiert sie weiter und stellt fest, dass
auch Möglichkeit (5) nicht geht.
Sie baut dann mit Quadraten weiter (ohne Bezug zur
Aufgabe).Die Frage, ob es nur diese beiden Möglichkeiten
gibt, bejaht sie.
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Mittlere Lösung
Sven zeichnet sofort alle vier richtigen Lösungen und begründet diese:
Sven erklärt mit Zeigen des Fingers, dass
bei Möglichkeiten (5) und (6) ja nichts auf
der (oberen) Seite ist und bei Möglichkeit (7)
zwei auf der einen Seite sind (und auf der
anderen Seite keiner). Bei Möglichkeit (8)
wäre es ein Viereck und ein Viereck kann
man nicht zu einem Würfel klappen.
Auf Nachfrage warum es nur vier Möglichkeiten
gibt, erklärt er, dass hier (zeigt auf Reihe
oberhalb der Viererreihe) nichts ist und dort
etwas hin muss.
Anspruchsvolle Lösung
Die fehlenden Flächen bei dem ersten Würfelnetz zeichnet Inga sofort alle vier richtig ein
und begründet dies wie folgt:
Als Erläuterung für ihre vier Möglichkeiten
erklärt sie, dass das Fünfer-Netz zusammen
geklappt ein Loch lässt und es vier Seiten
neben dem Loch gibt und man dann auf vier
verschiedenen Seiten klappen kann.
Weiter erklärt Inga, dass diese Aufgabe ähnlich
sei zum Finden aller WNe aus dem Unterricht.
Dort wurde im Unterrichtsgespräch
geklärt, wo bei einem solchen Fünfling eine
weitere Seite angefügt werden kann. Inga
konnte dieses Wissen auf diese Aufgabe
übertragen (Transfer).
Beim Demonstrieren ihres Lösungsweges an der Aufgabe stellt sie jedoch fest, dass beim
Verschieben der einen Fläche auch gleiche Würfelnetze entstehen, die sie bereits hat. Diese
Fähigkeit der schnellen Überprüfung setzt ein extrem gutes räumliches Vorstellungsvermögen
voraus, da zum Überprüfen die mental entstandenen Würfelnetze nicht nur verglichen,
sondern vorher dazu noch gedreht oder gespiegelt werden müssen.
Individuelle Lernentwicklungsindikatoren
Die individuelle Lernentwicklung lässt sich über den gesamten Zeitraum der Lernumgebung sehen,
wobei verschiedene Aspekte herangezogen wurden an denen Lernfortschritte festmacht wurden,
wie die folgende Auflistung zeigt:
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Individuelle Lernfortschritte bezogen auf
(1) die Anzahl richtiger Lösungen,
(2) die Art der Lösungen bzw. die Verwendung verschiedener Strategien (z.B. raumgeometrisch
oder analytisch)
(3) die Fähigkeit zur Vorstellung im Kopf bzw. die Fähigkeit zur Ablösung vom Material
(4) die Bearbeitungsgeschwindigkeit der Aufgabenstellungen
(5) die Transferleistung und
(6) die Entwicklung und Ausdifferenzierung der Erklärungs- bzw. Verbalisierungskompetenz.
Zur Heterogenität
Kinder mit einfachen Lösungen
- wählen einfache WN
- benötigen zur Lösungsfindung Handlungsmaterial
- brauchen für die Bearbeitung der
Aufgaben mehr Zeit
- lernen Fachvokabular bei ihren Erklärungen
zu gebrauchen. Häufig
findet die Erklärung durch Demonstration
am Material statt und wird
durch Handbewegungen unterstützt.
- lernen unterschiedliche Herangehensweisen
kennen und erweitern ihr
Strategierepertoire
- erbringen teilweise Transferleistungen
Kinder mit anspruchsvollen Lösungen
- wählen komplizierte WN
- lösen sich schnell vom Material, verwenden
Handlungsmaterial nur teilweise
zur Überprüfung der bereits
gefundenen Lösung
- finden schnell die Lösungen (kurze
Bearbeitungszeit)
- haben keine oder kaum fehlerhafte
Lösungen, welche in Einzelfällen sogar
selbstständig und ohne Hinweis
korrigiert werden
- entwickeln ihre Begründungen weiter
und können zum Teil gut verständliche
Erklärungen liefern
- festigen den Umgang mit einer für sie
erfolgreichen Strategie und / oder
probieren verschiedene Strategien
aus
- erbringen schnell eindeutige Transferleistungen
(erkennen strukturelle
Gemeinsamkeiten innerhalb von Aufgaben
und zwischen unterschiedlichen
Aufgaben)
Es hat sich gezeigt, dass alle Kinder sich beim Lösen der Aufgaben weiterentwickeln. Das
Ausmaß der Fortschritte ist allerdings sehr unterschiedlich. Durch die Auswertung ist zu
sehen, dass die Kinder mit eher schwachem räumlichem Vorstellungsvermögen oft auf das
Handlungsmaterial zurückgreifen. Sie benutzen zur Lösung der Aufgaben größtenteils Vollgeometrische-Strategien
und können durch vermehrten Gebrauch dieser Strategien ihr
Raumvorstellungsvermögen allmählich gut weiterentwickeln. Wir konnten darüber hinaus
feststellen, dass generell die erste Strategie zum Aufbau der Raumvorstellung die Vollgeometrische-Strategie
darstellt, mit der man zunächst alle Teile des Objektes mental faltet
um ein Gesamtbild und ein übergreifendes Verständnis zu bekommen. Kinder mit schwachem
räumlichem Vorstellungsvermögen, die anfangs bereits auf die Teil-geometrische-
Strategie zurückgreifen, haben meist Probleme mit dem Ausführen des kompletten Faltvorgangs
im Kopf und vernachlässigen daher einzelne Teile des Objektes. Dies kann gerade
in der anfänglichen Entwicklungsphase der Raumvorstellung zu fehlerhaften Lösungen führen,
da ihnen der Gesamtüberblick noch fehlt und somit beispielsweise eventuelle Überlappungen
einzelner Flächen nicht gesehen werden können. Anders ist es mit der Teil-
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geometrischen-Strategie bei Kindern mit bereits gut ausgebildetem räumlichem Vorstellungsvermögen,
da dort bewusst auf die mentale Faltung einzelner Objektteile verzichtet
wird. Dabei fehlt ihnen meist nicht der Gesamtüberblick und einzelne Bereiche werden vernachlässigt,
um schneller und effektiver zur Aufgabenlösung zu kommen.
Kinder des unteren Leistungsniveaus greifen auf räumlich-visuelle Strategien neben dem
Handlungsmaterial zur Bearbeitung von Würfelnetzaufgaben vermehrt zurück. Die analytische
Strategie ist von Kindern des unteren Leistungsniveaus so gut wie gar nicht verwendet
worden, da diese Strategie für die Lösung der Aufgabe eine verinnerlichte Raumvorstellung
voraussetzt, die ein Anwenden voll- oder teilgeometrischer Strategien überflüssig
macht.
Die Kinder mit gutem Raumvorstellungsvermögen zeichnen sich einerseits durch sehr viel
mehr Routine aus, da sie in kürzerer Zeit im Unterricht eine größere Anzahl an Aufgaben
bearbeiten und konnten andererseits durch den bewussten Verzicht auf das Material auch
ihr Raumvorstellungsvermögen besser weiterentwickeln. Sie konnten ihr Wissen meist
recht sicher auch auf veränderte Aufgabentypen übertragen (Transfer-Strategien) und teilweise
eigene Strategien überlegen mit denen sie weiterarbeiten konnten.
Außerdem war bei den eher leistungsstarken Kindern zu beobachten, dass sie im Verlauf
der Würfelnetzeinheit sehr viel kritischer mit ihren eigenen Lösungen umgehen und durch
ein hohes Niveau des räumlichen Vorstellungsvermögens diese sehr schnell und sicher
selber im Kopf überprüfen und korrigieren können.
Was hat sich bewährt? Was könnte man ändern?
Die zwei Teile der Lernumgebung sollten zeitlich getrennt angeboten werden (z.B. Würfeleigenschaften
Ende Klasse 2, Würfelnetze Klasse 3 und Ende Klasse 3 oder Anfang Klasse
4 die Spiele und Stationen dazu).
Für leistungsstarke Kinder empfiehlt sich die Erweiterung der Stationen mit anspruchsvolleren
Aufgaben, z.B. Bänder um einen Würfel (Behrens, 2008: 28ff).
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