Zusammenfassung: Elektrische Felder - Lehrer-Uni-Karlsruhe RAI

LGÖ Ks Ph 11 2-stündig 16.12.2013
Zusammenfassung: Elektrische Felder
Wiederholung: Elektrische Grundschaltungen
siehe Blatt
Runden von Rechenergebnissen:
Üblich: Runde auf 3 geltende Ziffern.
Bsp.: 70, 26 kg ≈ 70,3 kg
70 260 g ≈ 70 300 g
0,070 26 t ≈ 0,070 3 t
Vielfache und Teile von Einheiten:
3
10
6
10
9
10
12
10
Kilo Mega Giga Tera
k M G T
3
10 − 10 −6
10 −9
10 −12
Milli Mikro Nano Pico
m µ n p
Elektrische Ladung
(Elektrische) Ladung: Q
Einheit: 1 C (Coulomb)
Im SI-System ist die Einheit 1 A (Ampere) der Stromstärke eine Grundeinheit, und die Einheit 1 C
ist eine abgeleitete Einheit, nämlich 1 C = 1 A ⋅ s .
Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige Ladungen ziehen sich an.
Ladungen kann man mit einem Elektroskop nachweisen und mit einem Messverstärker messen.
Einen geladenen Körper kann man durch Erdung entladen. Schaltzeichen:
Ladungen treten immer als (positive oder negative) ganzzahlige Vielfache der Elementarladung
−19
e = 1,60 ⋅10 C
auf. Wir besprechen später, wie man das experimentell nachweist.
Die Träger der positiven Ladung sind die Protonen im Atomkern; jedes Proton trägt eine positive
Elementarladung. Die Träger der negativen Ladung sind die Elektronen in der Atomhülle; jedes
Elektron trägt eine negative Elementarladung. In einem (nicht ionisierten) Atom neutralisieren sich
diese Ladungen.
In einem Leiter ist ein Teil der Elektronen frei beweglich.
Ein geladener Körper in der Nähe eines Leiters
bewirkt, dass in dem Leiter Ladungen durch
Influenz getrennt werden.
gel.
Körper
Leiter
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Elektrische Felder und elektrische Feldstärke
Definition: Ein elektrisches Feld ist ein Raumbereich, in dem Ladungen elektrische Kräfte erfahren.
Zum Beispiel ist in der Umgebung einer geladenen Kugel ein elektrisches Feld.
Die Richtung der Kraft in einem elektrischen Feld beschreibt man durch Feldlinien. Eine Probeladung
(d. h. eine kleine Ladung, von der man idealisierend annimmt, dass sie das elektrische Feld
nicht verändert) erfährt eine Kraft tangential zu den Feldlinien. Die Richtung der Feldlinien gibt die
Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung an.
Wichtige elektrische Felder:
• Feld einer kugelförmigen Ladung
• Feld zweier entgegengesetzt geladener Kugeln
• Feld zweier gleichnamig geladener Kugeln
• Feld zwischen zwei entgegengesetzt geladenen parallelen Platten (Kondensatorplatten): Die
Feldlinien verlaufen parallel (vom Randfeld abgesehen).
• Feld im Innern eines Metallrings: Aufgrund von Influenz ist das Innere eines metallischen
Hohlkörpers feldfrei (Faraday’scher Käfig).
In der Elektrostatik (d. h. alle Ladungen ruhen, und alle Felder sind zeitlich konstant)
• beginnen Feldlinien an positiven Ladungen und enden an negativen Ladungen;
• stehen Feldlinien senkrecht auf Metalloberflächen.
Man kann sich anschaulich überlegen, dass die Kraft F, die eine Probeladung q in einem Punkt
eines elektrischen Felds erfährt, proportional zur Ladung q ist. Also ist der Quotient F q
Ladungseinheit“) konstant, d. h. unabhängig von q. Dies ermöglicht folgende
Definition: Die elektrischen Feldstärke E ist eine gerichtete Größe:
1. Der Betrag E der elektrischen Feldstärke ist der Quotient aus dem
Betrag F der Kraft, den eine Probeladung q erfährt, und der Ladung q:
F
E = .
q
N
Einheit: 1
C
q
(„Kraft pro
2. Die Richtung der elektrischen Feldstärke
E ist die Richtung der Kraft F auf eine positive
Probeladung.
Ein elektrisches Feld heißt homogen, wenn die Feldstärke E (nach Betrag und Richtung) überall
gleich ist. Das elektrische Feld zwischen zwei Kondensatorplatten ist (vom Randbereich abgesehen)
homogen.
Vergleich: Elektrisches Feld und Gravitationsfeld
siehe Blatt
Wiederholung: Mechanik
siehe Blatt
F
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Spannung und Potenzial
Eine Ladung q werde von einem Punkt A eines elektrischen Felds zu einem Punkt B des Felds
transportiert. Dabei verrichtet die Feldkraft Arbeit W an der Ladung. Man kann sich überlegen, dass
(„Arbeit pro Ladungs-
diese Arbeit W proportional zur Ladung q ist. Also ist der Quotient W q
einheit“) konstant, d. h. unabhängig von q. Dies ermöglicht folgende
Definition: Die Spannung U zwischen einem Punkt A und einem Punkt B eines elektrischen Felds
ist der Quotient aus der Arbeit W, die die Feldkraft beim Transport einer Ladung q von A nach B an
der Ladung verrichtet, und der Ladung q:
W
U = .
q
J
Einheit: 1 V = 1 (Volt) C
Eine Braun’sche Röhre („Elektronenkanone“)
ist ein evakuierter Glaskolben, in dem die Heizspannung
U
H
die Kathode K zum Glühen
bringt. Dabei treten Elektronen aus der Kathode
aus (glühelektrischer Effekt). Die Anodenspannung
U
A
(z. B. U
A
= 20 kV ) beschleunigt
diese Elektronen zur Anode A hin. Der gegenüber
der Kathode negative Wehneltzylinder W
fokussiert den Elektronenstrahl. Die Elektronen
fliegen durch ein Loch in der Mitte der Anode
zum Leuchtschirm L.
U
H
K
W
U A
A
L
Wenn ein Elektron durch das elektrische Feld zwischen der Kathode und der Anode fliegt, dann
verrichten die Feldkräfte Arbeit W an dem Elektron, indem sie das Elektron beschleunigen. Da das
Innere des Glaskolbens evakuiert ist, hat das Elektron (dessen Anfangsenergie beim Verlassen der
Glühkathode vernachlässigt wird) nach dem Durchlaufen der Beschleunigungsspannung U
A
die
Energie W = U ⋅ q = U A
⋅e in Form von Bewegungsenergie.
In einem Stromkreis verläuft das elektrische Feld hauptsächlich
in den Kabeln. Wenn eine Ladung Q von einem Pol der
Spannungsquelle mit der Spannung U durch den Verbraucher
zum anderen Pol der Spannungsquelle fließt, dann verrichten die
Feldkräfte Arbeit an der Ladung, indem sie die Ladung
beschleunigen. Die Ladung stößt in den Kabeln und
hauptsächlich in der Glühlampe gegen Atome. Dabei wird die
Ladung wieder abgebremst, und die Glühlampe wird warm. Die
Ladung gibt ihre Energie W = U ⋅Q
in der Glühlampe (und ein
wenig auch in den Kabeln) wieder ab.
U
Q
A
B
W
Definition: Das Potenzial ϕ eines Punkts eines elektrischen Felds ist die Spannung zwischen
diesem Punkt und einem fest gewählten Bezugspunkt.
Übliche Bezugspunkte sind der Minuspol einer Spannungsquelle oder die Erde.
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Unterscheide die Spannung zwischen zwei Punkten und das Potenzial in einem Punkt.
Anschaulich stellt man sich das Potenzial eines Punkts
als die Höhe über dem Bezugspunkt vor.
Die Spannung zwischen zwei Punkten ist gleich der
Potenzialdifferenz zwischen diesen Punkten.
Anschaulich stellt man sich die Spannung zwischen
zwei Punkten als die Höhendifferenz zwischen diesen
Punkten vor.
ϕ = 3 V
ϕ = 1, 5 V
ϕ = 0 V
U = 1, 5 V
U = 1, 5 V
In einem homogenen elektrischen Feld der Feldstärke E gilt für die
Spannung U zwischen zwei Punkten, deren Verbindungsstrecke
parallel zu den Feldlinien verläuft und die den Abstand d haben:
W F⋅
d F
U = = = ⋅ d = E⋅d.
q q q
Liegt an zwei Kondensatorplatten mit dem Plattenabstand d die
Spannung U, dann beträgt die Feldstärke im (homogenen) Feld
zwischen den Kondensatorplatten also
U
E = .
d
q
F
U
d
E
Daraus ergibt sich die übliche Einheit der elektrischen Feldstärke
V
1 .
m
Beim Millikan-Versuch bringt man mit einem Zerstäuber geladene
Öltröpfchen zwischen zwei waagrechte Kondensatorplatten. Einige der
Tröpfchen sind (positiv oder negativ) geladen; im Bild ist ein negativ
geladenes Tröpfchen der Ladung q und der Masse m gezeichnet.
Im Schwebezustand gilt F = G
el
qE = mg
mg mg mgd
q = = =
E U U
d
Damit kann man im Prinzip die Ladung q des Tröpfchens bestimmen. Tatsächlich ist die
Versuchsdurchführung schwieriger, weil man die Masse des Tröpfchens nicht kennt.
Ergebnis: Alle Ladungen sind (positive oder negative) Vielfache der Elementarladung
−19
e = 1,60 ⋅10 C .
U
F
G el
d
Kondensatoren und Kapazität
Legt man an zwei Kondensatorplatten eine Spannung U, dann werden die Platten
mit den Ladungen + Q bzw. −Q
geladen. Man weist experimentell nach, dass
Q
die Ladung Q proportional zur Spannung U ist. Also ist der Quotient
U
(„Ladung pro Spannungseinheit“) konstant, d. h. unabhängig von U. Dies
ermöglicht folgende
U
+ Q −Q
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Definition: Die Kapazität (Fassungsvermögen) C eines Kondensators ist der Quotient aus der
Ladung Q und der Spannung U:
Q
C = .
Einheit:
C
1 F = 1 (Farad) V
U
Man weist experimentell nach, dass die Kapazität C eines Kondensators im Vakuum
• proportional zur Plattenfläche A ist (das ist auch anschaulicht klar);
• umgekehrt proportional zum Plattenabstand d ist.
Also ist C proportional zu A , d. h. es gilt
d Proportionalitätsfaktor A
C = ⋅ .
d
Definition: Dieser Proportionalitätsfaktor heißt elektrische Feldkonstante ε
0
; es ist
−12
F
ε0
= 8,85⋅ 10 . m
Bestimmung der elektrischen Feldkonstanten ε
0
:
Schließe einen Kondensator mit der Plattenfläche A und dem Plattenabstand d an ein Netzgerät an
und miss die Spannung U. Trenne den Kondensator von dem Netzgerät und miss seine Ladung Q
Q
mit einem Messverstärker. Berechne die Kapazität C = des Kondensators.
U
A Cd
Es ist C = ε
0
, also ε
0
= .
d
A
Füllt man den Plattenzwischenraum eines Kondensators mit einem Isolator (Dielektrikum), dann
vergrößert sich die Kapazität. Warum ein Dielektrikum die Kapazität erhöht, wird bei „Für
Experten“ erklärt.
Wie stark sich die Kapazität vergrößert, hängt vom Stoff ab.
Definition: Die Dielektrizitätszahl ε
r
eines Stoffes gibt an, auf das Wievielfache sich die Kapazität
im Vergleich zu Vakuum vergrößert.
In Luft gilt εr ≈ 1.
Also hat ein Kondensator mit der Plattenfläche A und dem Plattenabstand d, dessen
Plattenzwischenraum mit einem Stoff der Dielektrizitätszahl ε
r
gefüllt ist, die
Kapazität
A
C = ε0ε
r .
d
A
ε
r
d
Schaltzeichen eines Kondensators:
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Standardaufgabe: Wie ändern sich die elektrischen Größen eines Kondensators, wenn man
a) nach dem Abtrennen von der Spannungsquelle;
b) bei angeschlossener Spannungsquelle
den Plattenabstand verändert oder ein Dielektrikum zwischen die Kondensatorplatten bringt?
Lösungsidee:
a) Die Ladung bleibt gleich: Q′ = Q.
b) Die Spannung bleibt gleich: U′ = U .
Die Energie eines Kondensators der Kapazität C, der auf die Spannung U aufgeladen ist, beträgt
1 2
Wel
= CU .
2
Herleitung: Siehe „Für Experten“.
Die Energie ist im elektrischen Feld zwischen den Kondensatorplatten gespeichert.
Die (durchschnittliche) Leistung P ist der Quotient aus der übertragenen Energie W und der Zeit t:
W
P = .
t
J
Einheit: 1 W = 1 (Watt) s
Anschaulich: Die Leistung gibt die pro Zeiteinheit übertragene Energie an.
Wird mechanische Energie übertragen, dann wird Arbeit verrichtet, und man merkt sich: „Leistung
ist Arbeit pro Zeit“.
Für Experten
Relativistische Massenzunahme:
Bei der Beschleunigung geladener Teilchen (z. B. Elektronen) erreicht man problemlos hohe
Geschwindigkeiten. Dabei macht sich die relativistische Massenzunahme bemerkbar: Nach der
Relativitätstheorie hat ein Körper mit der Ruhemasse hat bei der Geschwindigkeit v die Masse
Dabei ist
die Lichtgeschwindigkeit.
m =
m
0
v
1−
c
m 0
8 m km
c = 3,00 ⋅ 10 = 300 000
s
s
Bei zunehmender Geschwindigkeit des Teilchens wird die
Masse des Teilchens größer. Bei kleinen Geschwindigkeiten ist
die Massenzunahme vernachlässigbar; nähert sich die
Geschwindigkeit aber der Lichtgeschwindigkeit, dann wächst
die Masse über alle Grenzen. m0
2
2
.
m
c
v
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Wirkungsweise eines Dielektrikums:
In einem Dielektrikum, das von einem elektrischen Feld durchsetzt wird, tritt Polarisation auf:
1. In jedem Dielektrikum tritt Verschiebungspolarisation auf: Die Elektronen in den Atomhüllen
verschieben sich ein wenig.
2. Enthält das Dielektrikum Moleküle mit einer unsymmetrischen Ladungsverteilung, dann tritt
zusätzlich Orientierungspolarisation auf: Die Moleküle richten sich (teilweise) aus.
In dem Dielektrikum entsteht ein elektrisches Gegenfeld.
Dadurch wird das elektrische Feld im Dielektrikum geschwächt.
Das ist wie bei Influenz, nur dass bei Influenz das ursprüngliche
Feld komplett neutralisiert wird.
Also sinkt die elektrische Feldstärke E in dem Dielektrikum. Aus
sinkt auch die Spannung U.
U
E = folgt U = E ⋅d
. Also
d
Betrachte einen geladenen und von der Spannungsquelle getrennten Kondensator. Die Ladung Q
des Kondensators bleibt gleich, wenn man ein Dielektrikum einbringt. Da die Spannung U sinkt,
Q
steigt die Kapazität C = . U
Energie (des elektrischen Felds) eines geladenen Kondensators:
Wir wollen die Energie W berechnen, die nötig ist, um einen Kondensator auf die Spannung U
W
aufzuladen. Im Prinzip ist U = , also W = U ⋅ Q. Da sich die Spannung U während des
Q
Aufladens ändert, können wir diese Formel aber nicht direkt verwenden.
Wenn U konstant wäre, dann wäre
W = U ⋅ Q.
Das ist die im Bild gefärbte Rechtecksfläche.
U
U
U
Q
Q
U 3
Wenn U abschnittsweise konstant wäre, dann wäre
W = U ⋅ Q + U ⋅ Q − Q + U ⋅ Q − Q .
( ) ( )
1 1 2 2 1 3 3 2
Das ist die im Bild gefärbte Summe der Rechtecksflächen.
U 2
U 1
Q1
Q2
Q3
Q
Allgemein gilt: Die Energie W ist die Fläche zwischen dem U( Q)
-Schaubild und der Q-Achse.
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Damit können wir die Energie berechnen, die nötig ist, U
um einen Kondensator auf die Spannung U aufzuladen:
U
Q Q 1
Aus C = folgt U = U C
= C
⋅ Q, und das U( Q)
-
Schaubild ist eine Ursprungsgerade.
Die Energie W ist die Dreiecksfläche:
1
W = ⋅Q⋅ U .
2
Q
Aus C = folgt Q = CU , und Einsetzen ergibt
U
1 1 1 2
W = ⋅Q⋅ U = ⋅CU ⋅ U = CU .
2 2 2
Q
Q
Vergleiche die Herleitung des Weg-Zeit-Gesetzes einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung:
Wir wollen die Wegstrecke berechnen, die ein zunächst ruhender Körper zurücklegt, der während
s
der Zeit t die Beschleunigung a erfährt. Im Prinzip ist v = , also s = v⋅ t. Da sich die
t
Geschwindigkeit während der Beschleunigung ändert, können wir diese Formel aber nicht direkt
verwenden.
v
Wenn v konstant wäre, dann wäre
v
s = v⋅t.
Das ist die im Bild gefärbte Rechtecksfläche.
v
t
t
v 3
Wenn v abschnittsweise konstant wäre, dann wäre
s = v ⋅ t + v ⋅ t − t + v ⋅ t − t
( ) ( )
1 1 2 2 1 3 3 2
Das ist die im Bild gefärbte Summe der Rechtecksflächen.
v 2
v 1
t1
t2
t3
t
Allgemein gilt: Die Wegstrecke s ist die Fläche zwischen dem v( t)
-Schaubild und der t-Achse.
Damit können wir die Wegstrecke berechnen, die ein
zunächst ruhender Körper zurücklegt, der während der
Zeit t die Beschleunigung a erfährt:
Dann ist v = a ⋅ t , und das v()
t -Schaubild ist eine
Ursprungsgerade.
Die Wegstrecke s ist die Dreiecksfläche:
1 1 1 2
s = ⋅t ⋅ v = ⋅t ⋅ at = at .
2 2 2
v
v
t
t
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