P1.5.3.3 Freie Drehschwingungen - LD DIDACTIC

YS 2013-05
Mechanik
Schwingungslehre
Drehpendel nach Pohl
LD
Handblätter
Physik
P1.5.3.3
Freie Drehschwingungen
Aufzeichnung und Auswertung mit CASSY
Versuchsziele
Aufnahme der Amplitude eines Drehpendels in Abhängigkeit von der Zeit.
Bestimmung der Dämpfungskonstanten.
Untersuchung des Übergangs vom schwach gedämpften Fall zum aperiodischen Grenzfall und zum Kriechfall.
Grundlagen
Schwingungen und Wellen sind sowohl in Natur als auch in
der Technik von großer Bedeutung. Die Untersuchung der
damit verbundenen Phänomene ist deswegen von der experimentellen
und der theoretischen Seite notwendig. Es ergibt
sich dadurch der Zugang zum Verständnis der fundamentalen
Modelle und Gesetze der Physik.
Drehschwingungen stellen einen Spezialfall der mechanischen
Schwingungen dar. An ihnen lassen sich aber alle
Untersuchungen der wichtigen Phänomene durchführen.
Im vorliegenden Versuch werden freie Drehschwingungen bei
unterschiedlich starken Dämpfungen untersucht.
Die physikalische Größe, die den Zustand des Systems zum
gegebenen Zeitpunkt t vollständig beschreibt ist der Auslenkwinkel
aus der Ruhelage (bei ).
Die Wirkung der Spiralfeder auf das Drehpendel ist durch das
Hookesche Gesetz gegeben:
( )
Dabei ist D die Federkonstante und das durch die Feder
verursachte Drehmoment auf das Drehpendel.
Zusätzlich wird durch die Wirbelstrombremse ein Drehmoment
auf das Pendel ausgeübt:
̇ .
Dabei ist k die Reibungskonstante und ̇ die erste zeitliche
Ableitung des Auslenkwinkels, also die Winkelgeschwindigkeit.
Abb. 1: Versuchsaufbau zu freien Drehschwingungen mit Dämpfung
1

̇
̇
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Geräte
1 Drehpendel ................................................. 346 00
1 DC-Netzgerät 0...16 V/0...5 A ..................... 521 545
1 Sensor-CASSY 2 ........................................ 524 013
1 Drehbewegungssensor S ........................... 524 082
1 CASSY Lab 2 ............................................. 524 220
1 Vielfach-Messgerät LDanalog 20 ................ 531 120
1 Experimentierkabel, 100 cm, blau .............. 500 442
1 Experimentierkabel, 100 cm, rot/blau, Paar 501 46
1 PC mit Windows XP/Vista/7/8
Sicherheitshinweis
Maximale Stromstärke am Elektromagneten für die
Wirbelstrombremse beachten:
I max = 1 A (kurzzeitig 2 A)
Sowohl mathematisch als auch physikalisch werden folgende
drei Fälle unterschieden:
Schwingfall
Die Dämpfung ist gering. In diesem Fall lautet die allgemeine
Lösung der Gleichung (1)
( ) ( )
Die Konstanten A und B werden durch die Vorgabe des Wertes
für den Startwinkel ( ) sowie für die Startwinkelgeschwindigkeit
̇ ( ) ̇ festgelegt und ergeben sich dann zu
Aus Gleichung (2) folgt,
dass die Amplitude zeitlich um den Faktor
-
[
]
abnimmt, d.h.
sie halbiert sich nach der Halbwertszeit
und dass das Dämpfungsverhältnis zweier aufeinander folgenden
Amplituden konstant ist
-
Dabei ist die Periodendauer der gedämpften Schwingung.
Der Exponent
Die Summe dieser beiden Drehmomente ergibt (da entgegengesetzt)
das negative Gesamtdrehmoment
für das nach Newton gilt:
Dabei ist I das Trägheitsmoment des Drehpendels und ̈
die Winkelbeschleunigung.
Daraus folgt:
̈ ( )
̈ ̇ ( ) ( )
Gleichung (1) ist die Bewegungsgleichung, die die freie, gedämpfte
Schwingung beschreibt. Dabei handelt es sich um
eine gewöhnliche, homogene lineare Differentialgleichung
zweiter Ordnung, deren Lösung eindeutig und wohl bekannt
ist.
Um die Formeln übersichtlicher zu gestalten, werden folgende
Größen eingeführt:
Dämpfungskonstante
Eigenfrequenz des ungedämpften Drehpendels
Frequenz des gedämpften Drehpendels
√
wird als logarithmisches Dämpfungsdekrement bezeichnet.
Aperiodischer Grenzfall
Im Fall einer genügend großen Dämpfung bewegt sich das
Pendel schnell in die Position der Ruhelage aus dem ausgelenkten
Zustand ohne die Position der Ruhelage zu passieren.
In diesem Fall lautet die Lösung der Gleichung (1)
mit den Konstanten
( ) ( )
Es handelt sich hierbei nicht mehr um einen periodischen
Vorgang, damit erscheint die Kreisfrequenz nicht in der
Lösung (3) (daher der Bezeichnung „aperiodisch“). Von allen
aperiodischen Fällen (einschließlich Kriechfällen, s.u.)
braucht das Pendel bei geringster Dämpfung die kürzeste
Zeit zum Erreichen der Ruhelage (daher die Bezeichnung
„Grenzfall“ .
Kriechfall
Bei sehr großen Dämpfungen nähert sich das Pendel asymptotisch
und langsam der Ruhelage. In diesem Fall lautet die
allgemeine Lösung von (1)
mit √ - .
( ) ( )
√
(existiert nur für ).
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Versuchsaufbau
Versuch gemäß Abb. 1 aufbauen.
Stativstange in den Drehbewegungssensor einschrauben.
Vorsichtig die Welle des Drehbewegungssensors S in die
dafür vorgesehene Buchse des Pendelkörpers stecken (s.
Abb. 2, links). Dabei den Pendelkörper nicht halten, um
eine dadurch mögliche Unwucht zu vermeiden. Zur
schlupffreien Verbindung der beiden Achsen soll der O-
Ring auf der Achse des Drehbewegungssensors S ganz
eingesteckt sein (Abb. 2 rechts).
Den Drehbewegungssensor S an das Sensor-CASSY 2
anschließen.
Netzgerät und Messgerät an den Elektromagneten für
Wirbelstrombremse gemäß in Abb.4 anschließen.
Netzgerät noch nicht einschalten!
Drehpendel so einstellen, dass die Zeiger für Phasenlage
des Erregers und des Pendelskörpers aufeinander zeigen.
Dazu ggf. das Antriebsrad des Erregermotors etwas
drehen.
Abb. 2: Anbringen des Drehbewegungssensors S an das Drehpendel
Die Stativstange des Drehbewegungssensors S vorsichtig
so auf den Tisch legen (s. Abb. 3), dass sich die beiden
Achsen ohne mechanische Belastung in gerader Verlängerung
befinden.
Abb. 4: Anschluss der Wirbelstrombremse
Abb. 3: Drehbewegungssensors S am Drehpendel
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Versuchsdurchführung
Sicherheitshinweis
Maximale Stromstärke am Elektromagneten für die Wirbelstrombremse
beachten:
I max = 1 A (kurzzeitig 2 A)
a) Schwingfall / Bestimmung der Dämpfungskonstanten
Einstellungen in CASSY Lab 2 laden. Die Messung noch
nicht starten!
Das Netzgerät einschalten.
Die Stromstärke auf dem Messgerät beobachten. Eine
Stromstärke von ca. 0,3 A einstellen und notieren.
Wenn der Pendelkörper in Ruhe ist, in CASSY Lab 2 den
Auslenkwinkel mit → 0 ← kalibrieren.
Messung in CASSY Lab 2 mit starten.
Den Pendelkörper bis zum Anschlag auslenken. Darauf
achten, dass der Zeiger für die Auslenkung nicht die Begrenzungsfeder
berührt. Pendelkörper festhalten!
Hinweis: Der Pendelkörper soll zum Start stets auf die Seite
mit positiven Auslenkwinkels ausgelenkt werden!
Pendelkörper schwingen lassen bis er zur Ruhe kommt.
Wenn der Pendelkörper wieder in Ruhe ist, Messung in
CASSY Lab 2 mit
stoppen.
Die Messung mit größeren Stromstärken (bis ca. 1,4 A)
wiederholen.
b) Untersuchung des Übergangs vom Schwingfall über
den aperiodischen Grenzfall zum Kriechfall
Aperiodischer Grenzfall
Die Stromstärke auf ca. 1,5 A stellen.
Den Pendelkörper bis zum Anschlag auslenken und los
lassen. Der Pendelkörper soll sich möglichst schnell der
Ruhelage nähern ohne die Ruhelage zu passieren.
Ggf. – d.h. im Schwingfall - die Stromstärke etwas erhöhen.
Nachdem die Stromstärke eingestellt ist, diese notieren.
Die Messung wie oben beschrieben wiederholen.
Hinweis: Nach Aufnahme der Kurve das Netzgerät ausschalten,
um den Elektromagneten für die Wirbelstrombremse
abkühlen zu lassen.
Kriechfall
Das Netzgerät einschalten und die Stromstärke auf
ca. 2 A einstellen.
Die Messung wie oben beschrieben wiederholen.
Nach Aufnahme der Kurve das Netzgerät sofort ausschalten,
um eine Überhitzung des Eelektromagneten für die
Wirbelstrombremse zu vermeiden.
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Messsbeispiel
Schwingfall
In den Abbildungen 5 bis 7 sind Messbeispiele für den
Schwingfall dargestellt. Die Abszissenachsen (Zeitachse)
sind unterschiedlich skaliert.
Die Messwerte werden mit einer Anpassung gemäß Gleichung
(2) angefittet:
( ) ( )
Die entsprechende Stromstärken sowie Fitparameter sind in
folgender Tabelle dargestellt.
Tab. 1: Fitparameter für Schwingfälle.
I A B
A ° °
0,30 0,13 196,4 138,6 -57,3
0,64 0,50 193,7 138,7 -37,4
1,34 2,10 158,0 130,0 26,7
Abb. 3: Schwingfall mit I = 0,3 A.
Aperiodischer Grenzfall:
Abbildung 8 zeigt das Messbeispiel für den aperiodischen
Grenzfall.
Die Messwerte werden mit einer Anpassung gemäß Gleichung
(3) angefittet:
( ) ( )
In diesem Fall gibt es einen Parameter weniger, da die Differenz
( -
) verschwindet.
Tab.2: Fitparameter für den aperiodischen Grenzfall.
I A B
A °
Abb. 4: Schwingfall mit I = 0,64 A.
1,6 4,2 131,5 433,2
Kriechfall
Abb. 9 zeigt ein Messbeispiel für den Kriechfall. Bei einer so
h h Dämp „k ht“ der Pendelkörper aus der Auslenkposition
langsam in die Ruhelage ohne die Ruhelage zu
passieren.
Die Messwerte werden mit einer Anpassung gemäß Gleichung
(4) angefittet:
( ) ( )
ist hier nicht mehr die Dämpfungskonstante. In der Gleichung
gibt es zwei fallende Exponentialfunktionen mit den
Exponenten -( ) und - . Das langsame Kriechen
wird durch den kleineren Exponenten bestimmt.
Abb. 5: Schwingfall mit I = 1,35 A.
Tab.3: Fitparameter für einen Kriechfall.
I A B
A ° °
1,9 1,41 0,16 -145,9 283,2
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Abb. 6: Aperiodischer Grenzfall mit I = 1,6 A Abb. 9: Kriechfall mit I = 1,9 A.
Bemerkungen
In den Tabellen 1 und 2 ist zu sehen, dass die Dämpfungskonstante
eine schnell wachsende Funktion des an den
Elektromagneten der Wirbelstrombremse angelegten Stroms
ist. Der exponentielle Abfall der Amplitude ist eine Folge der
Dämpfung, die der Winkelgeschwindigkeit proportional ist.
Bei sehr langsamer Drehbewegung ist diese Dämpfung von
der Größenordnung der mechanischen Reibung (sehr gering)
und Gleichung (1) bekommt einen zusätlichen Term. Dieser
Effekt wird in der geringen Phasenverschiebung zwischen der
Fitkurve und den Messwerten in Abb. 5 und Abb. 6 bei kleinen
Amplituden (große t-Werte) deutlich.
Abbildungen 8 und 9 haben dieselbe Skalierung der Zeitachse
und können direkt verglichen werden. Der Unterschied
zwischen dem aperiodischen Grenzfall und dem Kriechfall
besteht darin, dass das Pendel eine kleinere Zeit
braucht, bis es wieder in Ruhe, d.h. bis der Auslenkwinkel
wieder 0 ist.
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