Die technische Umsetzung von Addierern

Die technische Umsetzung von Addierern
Wie addiert man im Rechner? Mit Binärzahlen natürlich.
Man denkt, diese Art der Addition sei schwierig, da wir es nicht gewohnt sind, nur mit Nullen
und Einsen zu rechnen – dabei funktioniert diese Addition wie die mit Dezimalzahlen.
Beispiel: 10 1 1 (dezimal: 11)
+ 00 1 1 (dezimal: 3)
11 1 1 1 0 (dezimal: 14; Die Rechnung stimmt also.)
Um das auch technisch umzusetzen, benötigt man den Halbaddierer (auch Halfadder oder HA
genannt). Rein logisch berechnet er lediglich Folgendes:
A B Summe Übertrag (Carry)
0 0 0 0
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1
Er kann also lediglich einstellige Dualzahlen addieren.
Man kann die Ergebnisse Summe und Übertrag auch folgendermaßen darstellen:
Summe := A XOR B (wird also nur 1, wenn A und B beide verschieden sind)
Carry := A AND B (wird nur 1, wenn A und B gleichzeitig 1 sind)
Doch wie wird das Addieren nun technisch umgesetzt?
Die Größen A und B sind Signale. Die 0 bedeutet, grob gesagt, es gibt keinen Stromfluss, bei
der 1 gibt es solchen. In einem Takt, also zu einem bestimmten Zeitpunkt, fließt also
entweder Strom oder nicht.
Für die Operatoren XOR und AND gibt es in der Technik Schaltungen, sogenannte Gatter.
Diese haben mehrere Eingänge, an denen jeweils Strom anliegt oder nicht. Ein OR-Gatter
erzeugt das Ergebnis der logischen OR-Funktion, das AND-Gatter das der AND-Funktion.
Für den Halbaddierer benötigt man ein AND- und ein XOR-Gatter. Beide benutzen A und B
als Eingangssignale und haben als Ausgangssignal Summe bzw. Carry. In einem Takt werden
die Signale A und B angelegt und das Ausgangssignal wird „berechnet“. Im nächsten Takt hat
man neue Eingangswerte und auch dementsprechend eine neue Ausgabe.
Wir können nun einstellige Binärzahlen addieren. Aber was soll man tun, wenn man nicht nur
so kleine Zahlen addieren will, sondern solche mit mehr als einer Binärstelle?

Um dieses Problem zu lösen, muss man sich zunächst mit dem sogenannten Volladdierer
beschäftigen.
Er setzt folgende Tabelle um:
A B Carry-In Summe Carry-Out
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 1
Carry-Out ist hierbei der bekannt Übertrag.
Die Größe Carry-In ist neu. Carry-In bedeutet einfach „Eingangsübertrag“, ist also der
Übertrag der bei der vorherigen Addition entstanden ist, wenn dort 1 und 1 addiert wurden.
Wie wir oben in der Beispielrechnung gesehen haben, wird der Übertrag in die nächste
Addition mit einbezogen, er wird immer weiter nach vorne gereicht, bis er verschwindet.
Deshalb gibt es folgende Darstellung für die obige Tabelle:
Summe := A XOR B XOR Carry-In (Wenn A und B gleich sind, ist das Ergebnis der ersten
Verknüpfung 0, sonst 1. Ist nun Carry-In gleich dem ersten Ergebnis, wird Summe 0, sonst 1.)
Carry-Out := (A AND B) OR (A AND Carry-In) OR (B AND Carry-In) (Die Ausdrücke in
den Klammern werden 1, wenn beide Eingänge gleichzeitig 1 sind und der gesamte Ausdruck
wird 1, wenn mindestens zwei von den geklammerten Ausdrücken 1 sind, sonst 0.)
Für die technische Umsetzung benötigt man zwei Halbaddierer sowie ein OR-Gatter.
Das Problem aber bleibt: Es können, trotz des Carry-In nur einstellige Binärzahlen addiert
werden.
Das lässt sich nun, da wir den Volladdierer verstehen, mit Hilfe des sogenannten Ripple-
Carry-Addierers lösen. Dabei sind, einfach ausgedrückt, viele Volladdierer aneinander
gehängt. Dabei ist der Eingang A in jedem Addierer eine Stelle des ersten Summanden, B
eine des zweiten (also der erste Volladdierer berechnet die Summe der letzten Stellen der
Summanden, der zweite die der vorletzten usw.). Die Stellen der Summe werden einzeln so
berechnet und ergeben am Ende die Gesamtsumme. Der Carry-In wird benötigt, falls in einem
Volladdierer ein Übertrag, also Carry-Out entsteht. Dieser wir dann an den nächsten
Volladdierer als Carry-In-Signal weitergeleitet und dann in die nächste Addition mit
einbezogen. Der Übertrag (Carry) „rieselt“ (engl.: to ripple) also durch die gesamte Binärzahl,
bis er verschwindet.
Im schlimmsten Fall wird er also vom letzten Element bis zum ersten durchgereicht.

Der Ripple-Carry-Addierer wird vor allem als Rechenwerk in Mikroprozessoren genutzt. Er
ist also eine wichtige technische Entwicklung von großer Bedeutung, ohne die die
Entwicklung der Computer bis zum heutigen Stand kaum möglich gewesen wäre.
Quellen:
Text:
Protokoll zu „Praktische Übungen zu Computertechnik2 – Digitale
Rechenschaltungen“, Kerstin Gößner, FSU Jena, SS 2010
Bilder:
Halbaddierer: http://www.volker-berg.de/QP2/Bilder/ha.gif, 25.01.2011, 15:02
Volladdierer: http://www.volker-berg.de/QP2/Bilder/va.gif, 25.01.2011, 15:07
Ripple-Carry-Adder: http://students.cs.tamu.edu/wanglei/csce350/handout/files/4-
bit_ripple_carry_adder-2.png, 25.01.2011, 15:09
Autor: Kerstin Gößner