Zusammenfassung: Arbeit, kinetische und potentielle Energie ...

Zusammenfassung: Arbeit, kinetische und potentielle Energie, Energiesatz der
Mechanik
Arbeit: Wirkt auf einen Massenpunkt eine Kraft ⃗ F , die eine Verschiebung d⃗r entlang einer
Bahn bewirkt, so definiert man als geleistete Arbeit dW :
dW = ⃗ F d⃗r ⇒ dW = 0 für ⃗ F ⊥d⃗r
Für einen Weg vom Anfangspunkt 1 zum Endpunkt 2 gilt:
Leistung:
W 1→2 =
∫ 2
1
⃗F d⃗r
P = dW dt
= ⃗ F d⃗r
dt = ⃗ F⃗v
Kinetische Energie:
T ≡ m 2 v2
Arbeit-Energie Beziehung:
dW = dT oder W 1→2 = T 2 − T 1
Potentielle Energie:
dU ≡ − ⃗ F d⃗r
− (U 2 − U 1 ) ≡
Die Definition ist nur sinnvoll, wenn das Integral vom Weg 1 → 2 unabhängig ist. Allgemein
nennt man zeitunabhängige Kräfte, bei denen letzteres gilt, konservative Kräfte.
Es werden damit nur die Differenzen der potentiellen Energie bestimmt. Der Nullpunkt
(also der Wert von U(1)) kann beliebig gewählt werden.
Energiesatz der Mechanik:
∫ 2
1
⃗F d⃗r
dT + dU = 0 bzw. T 2 + U 2 = T 1 + U 1 = E
Die totale Energie E ist konstant. Dies gilt, wenn nur konservative Kräfte auftreten. Wenn
zum Beispiel Wärme erzeugt wird, geht mechanische Energie verloren.
Potentielle Energie im Gravitationsfeld:
U(r 2 ) − U(r 1 ) = −ΓMm( 1 r 2
− 1 r 1
)
In der Nähe der Erdoberfläche gilt für die potentielle Energie im Schwerefeld in Funktion
der Höhe z mit U(0) ≡ 0:
F (z) = −mg U(z) = mgz
1

Potentielle Energie einer Feder:
F (x) = −kx U(x) = k 2 x2 = 1 2 mω2 0x 2
Gradientenfelder sind konservativ:
⃗F = −grad U z.B.x − Komponente : F x = − ∂U
∂x
Die folgende Tabelle fasst den Zusammenhang zwischen Kraft und potentieller Energie einserseits
und Feldstärke und Potential andererseits zusammen:
2