Das quantisierte elektromagnetische Feld und seine ...

Kapitel 2
Das quantisierte
elektromagnetische Feld und
seine Wechselwirkung mit
Atomen
Ziel dieses Kapitels ist die Erklärung des spontanen Zerfalls von angeregten
Atomen (Kernen, . ..) sowie einfacher Streuprozesse von Licht und Materie.
Dafür quantisieren wir das elektromagentische Feld (Photonfeld) auf
elementare Weise. Später werden wir ein allgemeineres, insbesondere vom
relativistischen Standpunkt befriedigenderes Verfahren kennenlernen.
Die Notwendigkeit, das elektromagnetische Feld zu quantisieren, ergibt sich
theoretisch aus der Forderung, dass die Unschärferelation
∆x · ∆p ≥
für ein Elektron auch gelten soll, wenn dieses mit dem elektromagnetischen
Feld wechselwirkt (vgl. QM I, S.65). Andernfalls könnte man den Aufenthaltsort
eines Elektrons, das sich in einem Impulseigenzustand befindet, beliebig
genau bestimmen: man müsste nur kurzwelliges Licht (λ ∼ ∆x) verwenden,
und den Impulsübertrag an das Elektron beliebig klein halten, was
möglich ist, wenn Licht nicht ebenfalls quantisiert ist.
27

2.1 Elektromagnetisches Feld und Photonen
2.1.1 Wiederholung: freie Elektronen
Dieser Abschnitt fasst die Beschreibung freier Elektronen im Besetzungszahlformalismus
zusammen. Er ist für das weitere Verständnis nicht wesentlich,
erleichtert aber den heuristischen Zugang zu Photonen in Abs. 2.1.3.
Ein Elektron ist durch gewisse unveränderliche Eigenschaften charakterisiert,
die es von anderen Teilchensorten unterscheiden. Dazu gehören
– die Masse m e
– der Spin S = 1 2
– die elektrische Ladung −e (e ist der Betrag der Elementarladung, also
positiv)
– weitere Eigenschaften (schwache Ladung, Leptonflavour, ...), die jedoch
in der klassischen Elektrodynamik keine Rolle spielen.
Als Basis für die Beschreibung des Zustands eines Elektrons, d.h. seiner
veränderlichen Eigenschaften, wählen wir die Eigenzustände zu einem vollständigen
System kommutierender Observabler. Eines dieser Systeme besteht
aus
– den drei Komponenten des Impulsoperators ⃗ P
– der z-Komponente des Spinoperators, S z
Die Basiszustände |⃗p,s〉 sollen Eigenzustände zu obigem Observablensystem
sein, also
P i |⃗p,s〉 = p i |⃗p,s〉 und S z |⃗p,s〉 = s|⃗p,s〉 (2.1)
mit s = ± 1 2
erfüllen, und wie folgt normiert sein:
〈⃗p,s|⃗p ′ ,s ′ 〉 = (2π) 3 δ (3) (⃗p − ⃗p ′ )δ ss ′ (2.2)
Zur Vereinfachung der Notation verwenden wir in diesem und späteren Kapiteln
die Bezeichnung s anstatt m s für die Spineinstellungen. Für den Spinbetrag
wird S verwendet. In der Ortsdarstellung entsprechen diese Basiszustände
zweikomponentigen Wellenfunktionen ϕ ⃗p,±1/2 = 〈⃗x, ± 1 2
|⃗p,s〉, die
ebene Wellen beschreiben:
ϕ ⃗p,s (⃗x) = ξ s e i ⃗p·⃗x (2.3)
28

ξ s ist der Basisspinor zum Eigenwert s von S z :
( ) ( )
1 0
ξ1 = und ξ
2 0 −
1 =
2 1
(2.4)
Ein beliebiger Elektronenzustand lässt sich stets als Linearkombination der
Basiszustände schreiben:
|ψ〉 = ∑ ∫
d 3 ⃗p
3
|⃗p,s〉c(⃗p,s) (2.5)
s
(2π)
mit quadratintegrablen, komplexwertigen Funktionen c(⃗p,s).
Der Hamiltonoperator für ein freies Elektron lautet
Er bestimmt in der Schrödingergleichung
H = ⃗ P 2
2m . (2.6)
i ∂ |⃗p,s;t〉 = H|⃗p,s;t〉 (2.7)
∂t
die Zeitentwicklung des Zustands. Da die Basiszustände |⃗p,s;t〉 offensichtlich
Eigenzustände von H zum Eigenwert E = ⃗p 2 /(2m) sind, folgt sofort
ϕ ⃗p,s (⃗x,t) = ξ s e i ⃗p·⃗x e − i Et . (2.8)
Daraus läßt sich der Zusammenhang zwischen Impuls und Wellenzahl bzw.
Energie und Kreisfrequenz ablesen, nämlich die de-Broglie-Relationen
⃗p = ⃗ k und E = 2 ⃗ k
2
2m . (2.9)
Der Zusammenhang zwischen E und ⃗p ist der nichtrelativistische Ausdruck für die Elektronenenergie
E. Er ergibt sich aus der relativistischen Formel
q
E = (mc 2 ) 2 + (pc) 2
durch Entwicklung nach Potenzen der (inversen) Ruheenergie mc 2 und Subtraktion derselben:
E − mc 2 =
q
(mc 2 ) 2 + (pc) 2 − mc 2 = mc 2 · 1 (pc) 2
2 (mc 2 ) + · · ·
= p2
2m + · · · . 29

Vielelekronensysteme
Der Hamiltonoperator für N freie, nicht wechselwirkende Elektronen lautet
H =
N∑
i=1
⃗P 2
i
2m , ⃗ Pi = Impulsoperator für Elektron i (2.10)
Da Elektronen Fermionen sind, sind die Basiszustände des N-Elektronen-
Hilbertraums antisymmetrisierte (Tensor-)Produkte von Einteilchenzuständen.
Da der Hamiltonoperator mit dem Impulsoperator kommutiert, ist es
günstig, die Impulseigenzustände zu verwenden. Wir schreiben zunächst für
einen N-Teilchenzustand
|⃗p i1 ,s i1 ;...;⃗p ik ,s ik ;... ; ⃗p iN ,s iN 〉 Ortsdarstellung
≃
ξ si1 e i ⃗p i 1·⃗x 1
⊗ · · · ⊗ ξ sik e i ⃗p i k ·⃗x k
⊗ · · · ⊗ ξ siN e i ⃗p i N ·⃗x N
(2.11)
Mit Hilfe des Projektors S − = 1 √
N!
∑σ (−1)|σ| P σ (P σ ist der Permutationsoperator)
auf den antisymmetrischen Teilraum erzeugt man daraus die
N-Teilchen-Basiszustände
S − |⃗p i1 ,s i1 ;... ; ⃗p ik ,s ik ;...;⃗p iN ,s iN 〉
Bei dieser Konstruktion wird zunächst eine feste Teilchenzahl N vorausgesetzt.
Entsprechend liegen im N-Elektronen-Hilbertraum auch nur die
Zustände, die ein System von genau N Elektronen beschreiben und dem
Pauli-Prinzip (Antisymmetrisierung) genügen. Von der Einschränkung fester
der Teilchenzahl befreit man sich durch Einführung des Fockraums, der
direkten Summe der N-Teilchen-Räume zu beliebiger, fester Teilchenzahl.
Als Basis in diesem Raum verwendet die Besetzungszahlzustände. Ein Basiszustand
wird durch die Anzahl der Teilchen gekennzeichnet, die sich in
den Einteilchenzuständen befinden. Da hier Fermionen betrachtet werden,
können die Besetzungszahlen nur 0 (nicht besetzt) oder 1 (besetzt) sein.
(Man beachte: besetzt bedeutet, dass sich unter den Elektronen eines befindet,
das in dem entsprechenden Einteilchenzustand ist. Die Frage “Welches
dieser Elektronen?” ergibt wegen der Ununterscheidbarkeit keinen Sinn.)
Man gibt nur diejenigen Besetzungszahlen an, die von 0 veschieden sind
und schreibt zum Beispiel für einen 2-Elektronen-Zustand
|1(⃗p 1 ,s 1 ) ;1(⃗p 2 ,s 2 )〉 = S − |⃗p 1 ,s 1 ; ⃗p 2 ,s 2 〉
= 1 √
2
(|⃗p 1 ,s 1 〉 ⊗ |⃗p 2 ,s 2 〉 − |⃗p 2 ,s 2 〉 ⊗ |⃗p 1 ,s 1 〉) . (2.12)
30

Die Gesamtheit aller solcher Vektoren bildet eine Basis des Fockraums.
Ein besonderer Zustand im so konstruierten Fockraum ist der Zustand |0〉,
in dem gar keine Elektronen vorhanden sind (“Vakuumzustand”). Durch
Anwendung der Erzeugungsoperatoren a † (⃗p,s) und Superposition lassen sich
aus ihm alle Fockraumzustände erzeugen. Die Erzeugungsoperatoren sind
durch ihre Wirkung
a † (⃗p,s)|n(⃗p 1 ,s 1 );... ;n(⃗p,s);...〉 =
(1 − n(⃗p,s))(−1) P |n(⃗p 1 ,s 1 );... ;n(⃗p,s) + 1;...〉 (2.13)
auf den Basiszuständen definiert. P ist die Summe aller n(⃗p i ,s i ), die links
von n(⃗p,s) stehen. Diese Operatoren erfüllen die Antivertauschungsrelationen
{
}
a † (⃗p,s),a † (⃗p ′ ,s ′ ) = 0
{ }
a(⃗p,s),a(⃗p ′ ,s ′ ) = 0 (2.14)
{
}
a(⃗p,s),a † (⃗p ′ ,s ′ ) = (2π) 3 δ (3) (⃗p − ⃗p ′ )δ ss ′
Dabei ist a(⃗p,s) der zu a † (⃗p,s) hermitesch adjungierte Operator. a † (⃗p,s) erzeugt
ein Elektron mit Impuls ⃗p und Spineinstellung s und sorgt automatisch
für die korrekte Antisymmetrisierung, die in der Definition der Fockzustände
berücksichtigt ist.
Der Feldoperator ψ † s(⃗x) erzeugt ein Elektron mit Spineinstellung s in einem
Ortseigenzustand. Der Wechsel von der Impuls- zur Ortsdarstellung
entspricht dem Basiswechsel
ψ † s (⃗x) = ∫
d 3 ⃗p
(2π) 3 e− i ⃗p·⃗x a † (⃗p,s) (2.15)
Der Feldoperator genügt den Antivertauschungsregeln
{ }
ψ s † (⃗x),ψ† s
(⃗x ′ ) = 0
{
′ }
ψ s (⃗x),ψ s ′(⃗x ′ ) = 0 (2.16)
{ }
ψ s (⃗x),ψ † s
(⃗x ′ ) = δ (3) (⃗x − ⃗x ′ )δ ′ ss ′
31

Elektron:
klassischer Massenpunkt; ⃗x, ⃗p
❄
Quantisierung: ⃗x, ⃗p werden zu
Operatoren;
Einteilchen-Hamiltonoperator
❄
Einteilchenzustände
❄
Fockraum, Konstruktion von
Feldoperatoren für ein Vielteilchensystem
Licht:
klassische, elektromagnetische
Felder: ⃗ E, ⃗ B
❄
Quantisierung des klassischen
Feldes liefert Feldoperator für
ein Vielteilchensystem
❄
Identifikation der Einteilchenzustände
und Fockraum der
Schwingungsmoden des Felds
(Photonen)
Der Hamiltonoperator nimmt die folgende Form an:
H =
N∑
i=1
= ∑
s=± 1 2
⃗P i
2
2m = ∑
∫
s=± 1 2
∫
)
d 3 ⃗x ψ s(⃗x)
(− † 2
∇
2m ⃗ 2 ψ s (⃗x)
d 3 ⃗p ⃗p 2
(2π) 3 2m a† (⃗p,s)a(⃗p,s) (2.17)
Man beachte, dass nach Übergang zum Fockraum und zu Feldoperatoren jede
explizite Abhängigkeit von der Teilchenzahl verschwindet. Deshalb eignet
sich dieser Formalismus besonders für eine relativistische Beschreibung, bei
der die Teilchenzahl nicht mehr erhalten ist, da Paarerzeugung stattfinden
kann.
Die obige Wiederholung der Beschreibung eines nicht wechselwirkenden Vielelektronensystems
soll auf eine im folgenden Abschnitt deutlich werdende
weitgehende Analogie der Beschreibung von Materie und Licht aufmerksam
32

machen, die besteht, obwohl der klassische Ausgangspunkt verschieden zu
sein scheint. Dieser und das Vorgehen bei der Quantisierung sind in obigem
Kasten dargestellt. Wir werden sehen, dass die quanten(feld)theoretische
Beschreibung von (relativistischen) Elektronen und Photonen sehr ähnlich
ist. Von diesem Standpunkt ergibt sich der in der klassischen Physik so offensichtliche
Unterschied zwischen Punktteilchen und elektromagnetischen Feldern
daraus, dass jene massive, nicht-relativistische Objekte sind, während
es sich bei diesen um masselose, relativistische Teilchen handelt. Im folgenden
Abschnitt soll unter anderem geklärt werden:
- wie der Hamiltonoperator des elektromagnetischen Felds aussieht;
- welche Form die Einteilchenzustände ϕ p,s (⃗x) der Feldquanten (Photonen)
besitzen;
- ob Photonen Bosonen oder Fermionen sind und welchen Spin sie besitzen.
2.1.2 Das klassische elektromagnetische Feld
Die Maxwellschen Gleichungen lauten
⃗∇ · ⃗E = k 1 ρ ∇ ⃗ × (k2B) ⃗
k 1
⃗j =
c 2 + 1 ∂E
⃗
c 2 ∂t
⃗∇ · ⃗B = 0 ∇ ⃗ × E ⃗
∂(k 2B)
⃗
= −
∂t
(2.18)
Die Konstanten k 1 , k 2 legen die Einheiten für die elektrische Ladung und
das magnetische Feld fest. Im folgenden wird das MKSA (SI) System mit
k 1 = 1/ǫ 0 und k 2 = 1 verwendet (ǫ 0 µ 0 = 1/c 2 ).
Neben dem SI System ist auch das cgs System gebräuchlich, für welches k 1 = 4π und k 2 = 1/c,
oder das rationalisierte cgs System mit k 1 = 1 und k 2 = 1/c. Später verwenden wir “natürliche”
Einheiten c = 1, ǫ 0 = 1. In diesen nehmen die Maxwell-Gleichungen im SI und rationalisierten cgs
System dieselbe Form an (k 1 = k 2 = 1). Mit den oben definierten Konstanten ist die Coulomb-
Kraft zwischen zwei Punktladungen durch |⃗F | = k 1 q 1 q 2 /(4πr 2 ) und die Lorentz-Kraft durch
⃗F = q( ⃗ E + ⃗v × (k 2 ⃗ B)) gegeben.
Die beiden unteren (homogenen) Gleichungen ermöglichen es, ein skalares
Potential φ und ein Vektorpotential A ⃗ einzuführen, aus denen man die Felder
ableiten kann:
⃗E = −∇φ ⃗ − ∂ A ⃗ ⃗B = ∇
∂t
⃗ × A ⃗ (2.19)
33

Die elektromagnetischen Felder ⃗ E und ⃗ B bleiben bei einer Eichtransformation
⃗A → ⃗ A + ⃗ ∇χ
φ → φ − ∂ ∂t χ (2.20)
mit einer skalaren Funktion χ(⃗x,t) unverändert. Setzt man (2.19) in die
inhomogenen Maxwell-Gleichungen ein, erhält man
−∇ ⃗ 2 φ − ∂ ∇
∂t ⃗ · ⃗A = −∇ ⃗ 2 φ + 1 ∂ 2 φ
c 2 ∂t 2 − ∂ ( ) 1 ∂φ
∂t c 2 ∂t + ∇ ⃗ · ⃗A = ρ ε 0
−∇ ⃗ 2 A ⃗
1 ∂ 2 ⃗
( )
A +
c 2 ∂t 2 + ∇ ⃗ 1 ∂φ
c 2 ∂t + ∇ ⃗ · ⃗A = µ 0
⃗j (2.21)
Um die Gleichungen weiter zu vereinfachen, fordern wir, dass die Potentiale
die Lorenz-Bedingung
1 ∂φ
c 2 ∂t + ∇ ⃗ · ⃗A = 0 (2.22)
erfüllen.
Dies kann durch eine geeignete Wahl der Eichfunktion χ in (2.20) immer erreicht werden. Tatsächlich
fixiert die Lorenz-Bedingung die Eichfreiheit nicht vollständig. Eine weitere Eichtransformation
mit einer Funktion χ, die der Wellengleichung
⃗∇ 2 χ − 1 c 2 ∂ 2 χ
∂t 2 = 0 (2.23)
genügt, führt zu Potentialen, die weiterhin die Lorenz-Eichung (2.22) erfüllen.
Die Feldgleichungen in der Lorenz-Eichung lauten dann
(⃗ ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2
)φ
∂t 2 = − ρ ε 0
(⃗ ∇ 2 − 1 ∂ 2 )
⃗A
c 2 ∂t 2 = −µ 0
⃗j (2.24)
Die Lorenz-Eichung ist für eine manifest relativistische Beschreibung geeignet,
da sie sich als Vierervektorgleichung schreiben lässt:
( φ
A µ = A)
c , ⃗ ( ) =⇒ ∂ µ A µ = 1 ∂φ
1 ∂
∂ µ =
c ∂t , ∇ ⃗ c 2 ∂t + ∇ ⃗ · ⃗A = 0 (2.25)
34

In diesem Kapitel legen wir auf eine manifest relativistische Beschreibung des
elektromagnetischen Felds jedoch noch keinen Wert, da die Atome ohnehin
nicht-relativistisch behandelt werden. Es ist dann günstiger, die Coulomb-
Eichung zu wählen:
⃗∇ · ⃗A = 0 (2.26)
In dieser Eichung lauten die Bewegungsgleichungen (2.21):
⃗∇ 2 φ = − ρ ε 0
⃗∇ 2 A ⃗
1 ∂ 2
−
c 2 ∂t ⃗ 2 A = −µ 0
⃗j + 1 c ⃗ 2 ∇ ∂φ
∂t
(2.27)
Die erste Gleichung liefert (bei Abwesenheit von Randbedingungen, was im
folgenden vorausgesetzt wird) das instantane Coulomb-Potential
φ(⃗x,t) = 1
4πε 0
∫
d 3 ⃗y ρ(⃗y,t)
|⃗x − ⃗y | . (2.28)
Die zweite Gleichung spalten wir in einen longitudinalen und einen transversalen
Teil auf, indem wir die Vektorfelder ⃗ A und ⃗j entsprechend zerlegen:
⃗A = ⃗ A ‖ + ⃗ A ⊥
⃗j = ⃗j ‖ +⃗j ⊥
mit
⃗∇ · ⃗A ⊥ = ⃗ ∇ ·⃗j ⊥ = 0
⃗∇ × ⃗ A ‖ = ⃗ ∇ ×⃗j ‖ = 0
(2.29)
Aus der Kontinuitätsgleichung
folgt
∂ρ
∂t + ⃗ ∇ ·⃗j = 0 (2.30)
−µ 0
⃗j ‖ + 1 c 2 ⃗ ∇ ∂φ
∂t
= 0, (2.31)
so dass ⃗ A nur durch den transversalen Stromanteil ⃗j ⊥ bestimmt ist:
⃗∇ 2 ⃗ A −
1
c 2 ∂ 2 ⃗ A
∂t 2 = µ 0 ⃗ j ⊥ (2.32)
⃗A ist also rein transversal im Einklang mit der angenommenen Coulomb-
Eichbedingung ⃗ ∇ · ⃗A = 0.
35

2.1.3 Quantisierung des freien elektromagnetischen Felds
Wir betrachten zunächst das elektromagnetische Feld in Abwesenheit von
Ladungen (ρ = ⃗j = 0). Wir verwenden die Coulomb-Eichung mit ∇ ⃗ · ⃗A =
0. Aus ∇ ⃗ 2 φ = 0 (bzw. (2.28)) folgt mit der Randbedingung φ → 0 für
|⃗x | → ∞, dass φ = 0. Das Vektorpotential A ⃗ ist transversal und erfüllt die
Wellengleichung ( 1 ∂ 2 )
c 2 ∂t 2 − ∇ ⃗ 2 ⃗A = 0 (2.33)
Die allgemeine Lösung ist eine Superposition von ebenen Wellen, die den
zwei unabhängigen Komponenten von ⃗ A entsprechend durch zwei unabhängige
Polarisationen α = 1,2 charakterisiert werden:
⃗A(⃗x,t) =
∑
∫
α=1,2
d 3 ⃗ k
(
(2π) 3 c α ( ⃗ k,t)⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) e i⃗k·⃗x + c ∗ α (⃗ k,t)⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) ∗ ) e −i⃗ k·⃗x
(2.34)
Die Fourier-Koeffizienten c α ( ⃗ k,t) sind komplex und beschreiben zwei linear
unabhängige reelle Lösungen der Wellengleichungen. Durch Hinzfügen des
zweiten komplex konjugierten Terms wird das Vektorpotential reell, wie es
sein muss. Die in der Fourier-Zerlegung auftretenden Polarisationsvektoren
⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) sollen orthonormiert sein,
⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) ·⃗ǫ (β) ( ⃗ k ) ∗ = δ αβ . (2.35)
Die Transversalität des Vektorpotentials impliziert außerdem, dass die Polarisationsvektoren
auf dem Wellenvektor ⃗ k senkrecht stehen:
⃗ k ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) = 0 für α = 1,2. (2.36)
Für jedes ⃗ k bilden die beiden Vektoren eine Basis des zweidimensionalen
Raums, der auf ⃗ k senkrecht steht. Die Vollständigkeitsrelation lautet
∑
α=1,2
⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) ∗ i ⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) j
= δ ij − k ik j
⃗ k 2 . (2.37)
Der zweite Term auf der rechten Seite trägt der Transversalitätseigenschaft
Rechnung. Setzt man die Zerlegung (2.34) in die Bewegungsgleichung (2.33)
ein, so erhält man eine gewöhnliche Differentialgleichung für die Fourier-
Koeffizienten c α ( ⃗ k,t):
∂ 2
∂t 2c α( ⃗ k,t) + ω 2 k c α( ⃗ k,t) = 0 mit ω k ≡ (| ⃗ k|c) 2 (2.38)
36

Die Lösungen dieser Schwingungsgleichung sind
c α ( ⃗ k,t) = c α ( ⃗ k)e −iω kt . (2.39)
Wir vergleichen nun den Ausdruck (2.34) für das klassische elektromagnetische
Feld mit dem Ausdruck für das quantisierte Elektronfeld (vgl. (2.15)),
∫
ψ(⃗x,t) =
womit folgende Korrespondenz auffällt:
d 3 ⃗p
(2π) 3 ei⃗p·⃗x/ ξ s a(⃗p,s;t) (2.40)
ξ s e i⃗p·⃗x/ a(⃗p,s;t) ←→ c α ( ⃗ k,t)⃗ǫ (α) ( ⃗ k )e i⃗ k·⃗x
(2.41)
Der Ausdruck auf der linken Seite stellt das Produkt eines Elektron-Einteilchenzustands
in der Ortsdarstellung mit einem Vernichtungsoperator für
ein Elektron in diesem Zustand dar. Entsprechend versuchen wir nun die
rechte Seite als das Produkt eines Vernichtungsoperators c α ( ⃗ k,t) für ein
Lichtquant (im folgenden als Photon bezeichnet) mit Wellenzahl ⃗ k (bzw.
Impuls ⃗ k) und Polarisation α mit dem Einteilchenzustand ⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) e i⃗ k·⃗x
zu interpretieren. Diese Interpretation wird weiter durch die Beobachtung
untermauert, dass die Zeitabhängigkeit von c α ( ⃗ k,t) mit der von a(⃗p,s;t)
übereinstimmt. Im zweiten Fall ist E = ω k = ⃗p 2 /(2m) durch den nichtrelativistischen
Ausdruck für die kinetische Energie eines freien Elektrons
gegeben. Für das Photon gilt dann
E = ω k = | ⃗ k |c = |⃗p |c. (2.42)
Aus dem Vergleich mit der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung E =
√
(mc 2 ) 2 + (⃗pc) 2 folgt dann, dass Photonen masselose Teilchen sind. Dies
ist im Einklang mit der Erfahrungstatsache, dass sich Licht immer mit der
Lichtgeschwindigkeit c ausbreitet.
Damit c α ( ⃗ k,t) als Vernichtungsoperator interpretiert werden kann, muss der
Hamilton-Operator, d.h. die Energie des freien elektromagnetischen Felds,
in der Form
H = ∑ ∫
d 3 ⃗ k
α
(2π) 3 ω ka † α (⃗ k,t)a α ( ⃗ k,t) (2.43)
darstellbar sein. Für kanonische Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
ist das Produkt a † α( ⃗ k,t)a α ( ⃗ k,t) der Anzahloperator für Photonen mit Wellenzahl
⃗ k und Polarisation α, so dass (2.43) tatsächlich der Energieoperator
37

ist. Wir berechnen deshalb die Feldenenergie
∫
H = d 3 ⃗x ε (
0 ⃗E 2 + c 2 ⃗ )
B
2
2
⎛
= ε ∫ (
0
d 3 ⃗x ⎝
∂ ⃗ ) 2
A
( ⎞
) 2
+ c 2 ∇ ⃗ × A ⃗ ⎠. (2.44)
2 ∂t
Den Term ( ⃗ ∇ × ⃗ A ) 2 kann man wie folgt umformen:
(
⃗∇ × ⃗ A
) 2
= ǫijk ∇ j A k ǫ ilm ∇ l A m
= (δ jl δ km − δ jm δ kl )∇ j A k ∇ l A m
= ∇ l A m ∇ l A m − ∇ m A l ∇ l A m
= −A k ∇ l ∇ l A k + A l ∇ m ∇ l A m
} {{ }
=0 wegen ⃗ ∇· ⃗A=0
= − 1 c 2 ⃗ A ∂2 ⃗ A
∂t 2 . (2.45)
Hier wurde beim Übergang von der dritten zur vierten Zeile verwendet,
dass der Ausdruck unter einer Integration über den ganzen Raum steht, so
dass partiell integriert werden kann. Die letzte Gleichheit folgt dann aus der
Wellengleichung (2.33). Der Hamiltonoperator lautet nun
H = ε 0
2
∫
⎛(
d 3 ⃗x ⎝
∂ ⃗ A
∂t
) ⎞
2
− A ⃗ ∂2 A ⃗
⎠.
∂t 2 (2.46)
Hier setzt man die Fourier-Zerlegung (2.34) für A ⃗ und seine Ableitungen ein
und erhält zunächst
⎛
H = ε ∫ ( ) ⎞
2
0
d 3 ⃗x ⎝
∂ ⃗A
− A
2 ∂t
⃗ ∂2 ⃗A
⎠
∂t 2
= ε ∑
0 d 3 ⃗ k d 3 k ⃗′
2 (2π) 3 (2π) 3 d3 ⃗x
{ (
× − iωk c α ( ⃗ k,t)⃗ǫ (α) ( ⃗ k )e i⃗k·⃗x + iω k c ∗ α (⃗ k,t)⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) ∗ e −i⃗ k·⃗x )
αα ′ ∫
× ( − iω k ′c α ′( ⃗ k ′ ,t)⃗ǫ (α′) ( ⃗ k ′ )e i⃗ k ′·⃗x + iω k ′c ∗ α ′(⃗ k ′ ,t)⃗ǫ (α′) ( ⃗ k ′ ) ∗ e −i⃗ k ′·⃗x )
− ( c α ( ⃗ k,t)⃗ǫ (α) ( ⃗ k )e i⃗ k·⃗x + c ∗ α (⃗ k,t)⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) ∗ e −i⃗ k·⃗x )
× ( − ωk 2 ′c α ′(⃗ k ′ ,t)⃗ǫ (α′) ( k ⃗′ )e i⃗ k ′·⃗x − ωk 2 ′c∗ α ′(⃗ k ′ ,t)⃗ǫ (α′) ( k ⃗′ ) ∗ e −i⃗ )}
k ′·⃗x
38

Die Ortsintegration liefert delta-Funktionen der Form δ (3) ( ⃗ k ± ⃗ k ′ ), womit die
Integration über ⃗ k ′ ausgeführt werden kann. Dies ersetzt ⃗ k ′ in allen Termen
durch ± ⃗ k mit dem Ergebnis
H = ε 0
2
∑
∫
α,α ′
d 3 ⃗ k
{
(2π) 3 (−ω k ω −k + ωk 2 )c α( ⃗ k,t)c α ′(− ⃗ k,t)⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) ·⃗ǫ (α′) (− ⃗ k )
+ (ω 2 k + ω2 k )c α( ⃗ k,t)c ∗ α ′(⃗ k,t)⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) ·⃗ǫ (α′) ( ⃗ k ) ∗
+ (ω 2 k + ω2 k )c∗ α (⃗ k,t)c α ′( ⃗ k,t)⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) ∗ ·⃗ǫ (α′) ( ⃗ k )
+ (−ω k ω −k + ωk 2 )c∗ α (⃗ k,t)c ∗ α ′(−⃗ k,t)⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) ∗ ·⃗ǫ (α′) (− ⃗ k ) ∗}
∑
∫
d 3 ⃗ k
= 2ε 0
(2π) 3 c α( ⃗ k,t)c ∗ α (⃗ k,t) · ωk 2 . (2.47)
α
Um zur letzten Zeile zu gelangen, wurde die Orthonormierung (2.35) der
Polarisationsvektoren und ω −k = ω k verwendet. H nimmt also die geforderte
Gestalt (2.43) an, wenn der Vernichtungsoperator wie folgt definiert wird:
√
a α ( ⃗ 2ε0 ω k
k,t) ≡ c α (
⃗ k,t). (2.48)
Bei obiger Rechnung wurden die Fourier-Koeffizienten nicht als Operatoren aufgefasst, sondern
als komplexwertige Funktionen. Sie konnten deshalb beim Auswerten der Produkte beliebig vertauscht
werden. Erst am Ende der Rechnung wurde (2.47) als Operator interpretiert. Geht man
dagegen von dem unten angegebenen Ausdruck (2.49) für den Feldoperator ⃗ A aus, ergibt sich
ein zusätzlicher Beitrag von den Vertauschungsrelationen, den man mit der Nullpunktsenergie
des elektromagnetischen Felds identifizieren kann. Diese ist formal unendlich groß, da das Feld
unendlich viele Moden enthält. In der Form (2.43) wurde diese Nullpunktsenergie subtrahiert.
Es gilt H|0〉 = 0. Die Anordnung von Vernichtungsoperatoren rechts von Erzeugungsoperatoren
bezeichnet man auch als “Normalordnung”.
Die Vorschrift zur Quantisierung des elektromagnetischen Felds können wir
also wie folgt zusammenfassen:
(a) Der Photon-Feldoperator ist
⃗A (⃗x,t) = ∑ ∫
√
d 3 ⃗ k
(2π) 3 2ε
α=1,2
0 ω k
(
× a α ( ⃗ k,t)⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) e i⃗k·⃗x + a † α (⃗ k,t)⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) ∗ ) e −i⃗ k·⃗x
(2.49)
39

Die Einteilchen-Photon-Zustände in der Ortsdarstellung (Wellenfunktion
eines einzelnen freien Photons) lauten
√
ϕ ⃗k,α (⃗x) = ⃗ǫ (α) (
2ε 0 ω ⃗ k ) e i⃗k·⃗x . (2.50)
k
Für freie Felder verwenden wir in der Regel das Heisenberg-Bild, so
dass die Zustände zeitunabhängig sind. Der Feldoperator erfüllt dann
die Heisenberg-Gleichung
i ∂ A(⃗x,t)
∂t ⃗ [ ]
= ⃗A(⃗x,t),H , (2.51)
wobei H durch (2.43) gegeben ist. Aus dieser Bewegungsgleichung folgt
insbesondere die Zeitentwicklung der Vernichtungsoperatoren
a α ( ⃗ k,t) = a α ( ⃗ k)e −iω kt . (2.52)
(b) Der Operator a † α( ⃗ k) erzeugt ein Photon mit Wellenzahl ⃗ k und Polarisation
⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) ∗ , a α ( ⃗ k) vernichtet ein solches. Photonen sind Bosonen.
Dies folgt daraus, dass Photonen als klassische Lichtwellen in Erscheinung
treten können. In der Quantentheorie werden Zustände mit nahezu
klassischen Eigenschaften durch kohärente Zustände beschrieben,
die aus einer Superposition von Fockzuständen mit beliebig hoher Teilchenzahl
(in einem Zustand) gebildet werden (vgl. harmonischer Oszillator).
In diesen führen die Erwartungswerte klassische Oszillationen
durch. Diese Konstruktion ist offensichtlich nur für Bosonen möglich,
da sich nicht mehr als ein Fermion im selben Einteilchenzustand befinden
kann. Für Fermionen gibt es keinen Grenzfall, in dem sie sich
wie klassische Felder verhalten.
So sind zum Beispiel Neutrinos (fast) masselose Teilchen, jedoch Fermionen. Es gibt für
Neutrinos keine den klassischen Lichtwellen entsprechenden Phänomene.
Für die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren von Photonen fordern
wir also die kanonischen Vertauschungsrelationen (und nicht Antivertauschungsrelationen)
[
a α ( ⃗ k),a α ′( ⃗ ]
k ′ ) = 0
[
a † α (⃗ k),a † α
( ⃗ ]
k ′ ) = 0
[
′ a α ( ⃗ k),a † α
( ⃗ ]
k ′ ) = (2π) 3 δ (3) ( ⃗ k − ⃗ k ′ )δ ′ αα ′ (2.53)
40

(c) Die Photonzustände werden als Superpositionen von total symmetrischen
Fockzuständen gebildet. Als Beispiele seien angeführt:
|0〉 Vakuum
|1( ⃗ k,α)〉 = a † α( ⃗ k)|0〉 Ein-Photon-Zustand
|1( ⃗ k 1 ,α 1 );1( ⃗ k 2 ,α 2 )〉 = a † α 1
( ⃗ k 1 )a † α 2
( ⃗ k 2 )|0〉 Zwei-Photonen-Zustand
|2( ⃗ k,α)〉 = 1 √
2
a † α( ⃗ k) 2 |0〉
Allgemein gilt
Zwei-Photonen-Zustand
a † α i
( ⃗ k i ) |n 1 ( ⃗ k 1 ,α 1 )... n i ( ⃗ k i ,α i )...〉
√
= n i ( ⃗ k i ,α i ) + 1 |n 1 ( ⃗ k 1 ,α 1 )... (n i + 1)( ⃗ k i ,α i )...〉 (2.54)
Die Energie eines Photonzustands mit Besetzungszahlen n i ( ⃗ k i ,α i ) ist
〈...n i ( ⃗ k i ,α i )... | H |...n i ( ⃗ k i ,α i )...〉
= ∑ ∫
d 3 ⃗ k
α
(2π) 3 ω k 〈... n i ( ⃗ k i ,α i )... | a † α( ⃗ k)a α ( ⃗ k) |...n i ( ⃗ k i ,α i )...〉
} {{ }
= ∑ i
∑
α i =1,2
=n i genau dann, wenn ⃗ k= ⃗ k i , sonst =0
n i ( ⃗ k i ,α i ) ω ki . (2.55)
Vereinfacht gesagt verhält sich jede Schwingungsmode des Feldes wie ein
unabhängiger harmonischer Oszillator. Wir notieren die folgenden Unterschiede
zwischen Photonen und Elektronen:
Photon
Elektron
ω k = kc, m = 0 ω k = ⃗ k 2
, m > 0 (für nichtrelativistische
Elektronen mit
2m
p ≪ mc)
Polarisationsvektoren ⃗ǫ (α) ( ⃗ k ),
α = 1,2; ⃗ k ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) = 0
Zweier-Spinoren ξ s
⃗A enthält a und a † und ist hermitesch
ψ ≠ ψ † ist nicht hermitesch
41

In späteren Kapiteln wird klar, dass der letzte Unterschied damit zusammenhängt, dass Elektronen
elektrische Ladung tragen, während Photonen elektrisch neutral sind. Die Komplexität von ψ
erlaubt auch die Definition einer Phasentransformation ψ → e iα ψ, unter der H invariant ist.
Diese Phasensymmetrie führt zur Erhaltung der Teilchenzahl im Einklang mit der Tatsache, dass
in nicht-relativistischen Systemen keine Teilchenerzeugung bzw. -vernichtung stattfindet.
Hier klären wir noch die Frage nach dem Spin (Eigendrehimpuls) des Photons.
Dazu betrachten wir das Transformationsverhalten der Einteilchenzustände
unter Rotationen um die z-Achse. Eine solche Rotation wird durch
die z-Komponente des Gesamtdrehimpulses ⃗ J erzeugt. Wir schreiben also
für eine infinitesimale Drehung (siehe QM I, S.176)
U(R(⃗n z ,δθ)) = 1 − i δθ · J z + ... (2.56)
und wählen als Polarisationsvektoren für links- und rechtszirkular polarisierte
Photonen mit Impuls ⃗ k z in z-Richtung
⎛ ⎞
ε ± = ∓√ 1 1
⎝ ±i ⎠ . (2.57)
2
0
Auf den Polarisationsvektoren werden Drehungen durch die SO(3)-Matrizen
dargestellt. Die Drehachse ist ⃗n = (0,0,1), und die infinitesimale Transformation
hat die Gestalt
R ij = δ ij − δθǫ ijk n k , (2.58)
so dass
δε ±
= Rε ± − ε ± = −δθǫ ijk ε ± j n k
⎛ ⎞
= δθǫ ij3 ε ± j = ± √ 1 ±i
δθ ⎝ −1 ⎠
2
0
= ∓iδθǫ ± . (2.59)
Da die Einteilchenzustände proportional zu ǫ ± sind, ist ihr Transformationsverhalten
also durch
δ(| ⃗ k,ε ± 〉) = − i δθJ z| ⃗ k,ε ± 〉 = ∓iδθ| ⃗ k,ε ± 〉 (2.60)
gegeben, so dass
J z | ⃗ k,ε ± 〉 = ±| ⃗ k,ε ± 〉. (2.61)
42

Folglich handelt es sich um die m = ±1-Zustände eines Teilchens, dessen
Spin man dann natürlicherweise als 1 definiert. Der Zustand mit m = 0
existiert wegen der Transversalität des Vektorfeldes ⃗ A ( ⃗ ∇ · ⃗A = 0 bzw.
⃗ k · ⃗ε = 0) nicht. Diese Bedingung beschränkt die Zahl der unabhängigen
Komponenten von ⃗A ja auch von 3 auf 2.
2.2 Wechselwirkung des elektromagnetischen Feldes
mit Atomen und Elektronen
Wir betrachten ein System von N Punktladungen q i und das elektromagnetische
Feld in der Coulomb-Eichung. Die klassische Hamiltonfunktion lautet
H = ∑ i
(⃗p i − q i
⃗ A(⃗xi )) 2
2m
+ H Feld (2.62)
mit der Hamiltonfunktion des freien elektromagnetischen Feldes
H Feld = ε ∫
0
d 3 ⃗x ( E
2
⃗ 2 + c 2 B ⃗ 2 ). (2.63)
Man beachte, dass in (2.62) der Term ∑ i q iφ(x i ) nicht auftritt. Tatsächlich
hebt sich dieser Term bei der Berechnung der Hamilton-Funktion aus der
Lagrange-Funktion durch Kürzung zwischen Termen von L Feld und L int
(Wechselwirkung von Feld und geladenen Teilchen) heraus. Die Energie der
Punktteilchen im elektrostatischen Potential ist jedoch implizit in H Feld
enthalten, was man wie folgt sieht: In Anwesenheit von Ladungen folgt aus
der Poisson-Gleichung ⃗ ∇ 2 φ = −ρ/ǫ 0 das elektrische Potential
φ(⃗x) = 1 ∑ q i
4πε 0 |⃗x − ⃗x i | . (2.64)
Damit erhält das elektrische Feld einen longitudinalen Anteil ⃗ E ‖ :
i
⃗E = − ⃗ ∇φ
} {{ }
⃗E ‖
− ∂ A ⃗ (2.65)
} {{ ∂t}
⃗E ⊥
Das Vektorpotential ⃗ A ist aufgrund der Coulomb-Eichbedingung weiterhin
rein transversal, so dass der longitudinale Anteil gerade − ⃗ ∇φ beträgt. Mit
43

dieser Zerlegung lässt sich der Anteil des elektrischen Feldes an der Feldenergie
umschreiben, so dass die Coulomb-Energie sichtbar wird:
∫ ∫ ∫
d 3 ⃗x E ⃗ 2 = d 3 ⃗x E ⃗ ‖ 2 + d 3 ⃗x E ⃗ ⊥
2
= 1 ∫ ∫
d 3 ⃗x ρφ + d 3 ⃗x E
ε ⃗ ⊥
2 0
= 1 ∑
∫
q i q j
4πε 2 0
|⃗x
i,j i − ⃗x j | + d 3 ⃗x E ⃗ ⊥ 2 (2.66)
In der ersten Zeile tritt kein gemischter Term auf, denn ⃗ E ‖ · ⃗E ⊥ kann durch
partielle Integration in φ ⃗ ∇ · ⃗E ⊥ = 0 umgeformt werden. In der Doppelsumme
muss die divergente Selbstwechselwirkung durch die Forderung i ≠ j
eliminiert werden. Wir erhalten die Hamiltonfunktion
H = ∑ i
+ 1 2
+ ε 0
2
(⃗p i − q i
⃗ A(⃗xi )) 2
∑
i≠j
∫
2m
q i q j
4πε 0 |⃗x i − ⃗x j |
(Coulomb-Wechselwirkung)
d 3 ⃗x ( ⃗ E 2 ⊥ + c2 ⃗ B 2 ). (2.67)
Man überzeuge sich davon, dass die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen
˙⃗x i = ∂H
∂⃗p i
,
˙⃗pi = − ∂H
∂⃗x i
(2.68)
auf die Lorentz-Kraft auf ein geladenes Teilchen führen und beachte, dass
die erste Gleichung die Beziehung
m ˙⃗x i = ⃗p i − q i
⃗ A (2.69)
zwischen “kinematischem” und “kanonischem” Impuls impliziert. Für die
Quantisierung des Systems werden ⃗x i , ⃗p i zu Operatoren ⃗ X i , ⃗ Pi mit den
kanonischen Vertauschungsrelationen
[(X i ) k ,(P j ) l ] = − i δ ijδ kl . (2.70)
Desweiteren wird ⃗ A zum Feldoperator des elektromagnetischen Feldes wie
in Abschnitt 2.1.3 beschrieben. Wir merken an:
44

(1) Die geladenen Materieteilchen werden hier nicht durch Feldoperatoren,
sondern konventionell durch Orts- und Impulsoperatoren beschrieben.
Dies ist nicht zwangsläufig. Für den Fall von N identischen Teilchen
(z.B. den Elektronen der Atomhülle) könnte man alternativ den Hamiltonoperator
durch den Feldoperator ψ s (⃗x) ausdrücken.
(2) Unter einer Eichtransformation ⃗ A → ⃗ A + ⃗ ∇χ, ⃗ P i → ⃗ P i + q i
⃗ ∇χ bleibt
der kinematische Impuls unverändert. Eine solche Redefinition des kanonischen
Impulsoperators entspricht in der Tat nur einer unitären
Transformation des Hilbertraums und hat keine beobachtbaren physikalischen
Konsequenzen (siehe auch QM I, S.69f).
(3) Elektronen wechselwirken auch mittels ihres Spins mit dem magnetischen
Feld. Diese Wechselwirkung wird durch
H Spin = − ∑ i
(−e)
m ⃗ S i · ⃗B( ⃗ X i ) = − ∑ i
(−e)
2m ⃗σ i · ( ⃗ ∇ × ⃗ A)( ⃗ X i ) (2.71)
beschrieben. Die vollständige relativistische Behandlung liefert weitere
Terme, die in einem späteren Kapitel abgeleitet werden. Diese sowie
die Spinwechselwirkung werden im folgenden vernachlässigt.
Für die Behandlung von Atomen der Kernladung Z erhalten wir dann den
folgenden Hamiltonoperator:
H = H 0 + H int (2.72)
mit
H 0 =
H int =
( )
Z∑ ⃗P 2
i
2m − Ze2
i=1
4πε 0 | X ⃗ + 1 ∑ e 2
i | 2 4πε
i≠j 0 | X ⃗ i − X ⃗ j |
+ ε ∫
0
d 3 ⃗x ( E ⃗ ⊥ 2 + c2 B ⃗ 2 ) (2.73)
2
Z∑
i=1
( e ( ⃗Pi ·
2m
⃗A( X ⃗ i ) + A( ⃗ X ⃗ i ) · ⃗P
) e 2 )
i + A(
2m ⃗ X ⃗ i ) 2
(2.74)
Der Atomkern wird hier als ein statisches Objekt (keine Dynamik) bei ⃗x = 0
behandelt. Der Kern trägt zwar eine elektrische Ladung Ze und wechselwirkt
deshalb ebenfalls mit dem elektromagnetischen Feld. (2.74) zeigt jedoch,
dass diese Wechselwirkung im Vergleich zu der mit den Elektronen
um einen Faktor m e /m Kern kleiner und deshalb vernachlässigbar ist. Der
45

Hamiltonoperator wurde in den Term H 0 aufgespalten, der keine Wechselwirkungsterme
zwischen dem Atom und dem elektromagnetischen Feld
enthält, sowie die Wechselwirkungsterme H int . Man beachte, dass in diesen
⃗A( X ⃗ i ) als Argument die Ortsoperatoren der Elektronen besitzt. Aufgrund
der Eichbedingung ⃗∇ · ⃗A = 0 gilt ∑ k [(P i) k ,A k ( ⃗X i )] = 0, so dass H int auch
zu
Z∑
( )
e
H int = A(
m ⃗ X ⃗ i ) · ⃗P i + e2
A(
2m ⃗ X ⃗ i ) 2 (2.75)
vereinfacht werden kann.
i=1
2.2.1 Spontane Emission und die Lebensdauer von angeregten
Atomzuständen
Wir betrachten Atome in schwachen elektromagnetischen Feldern, so dass
H int als Störung betrachtet werden kann. Formal betrachten wir e ⃗ A als
kleine Größe – H int enthält also Terme der ersten und zweiten Ordnung in
derselben.
Die Eigenzustände von H 0 sind, da H 0 keine Wechselwirkung zwischen dem
Atom und dem elektromagnetischen Feld enthält, die Produktzustände
|A;n 1 ( ⃗ k 1 ,α 1 )...n i ( ⃗ k i ,α i )...〉 = |A〉 ⊗ |n 1 ( ⃗ k 1 ,α 1 )... n i ( ⃗ k i ,α i )...〉, (2.76)
wobei |A〉 der Atom- und |n 1 ( ⃗ k 1 ,α 1 )...n i ( ⃗ k i ,α i )...〉 der Feldzustand seien.
Die Photon-Fockzustände sind die zuvor behandelten ebenen Wellen. Die
Atomzustände sollen Energieeigenzustände sein. Sie lassen sich nicht einfach
angeben, da die Berechnung der Eigenzustände des entsprechenden Anteils
von H 0 für ein Mehrelektronenatom nicht mehr analytisch möglich ist. Wir
behandeln das Problem der Wechselwirkung zwischen Atom und elektromagnetischem
Feld mit Hilfe der zeitabhängigen Störungsrechnung (siehe dazu
QM I, S.138-153). Dabei geht man vom Schrödinger-Bild aus und verlagert
dann die durch H 0 verursachte Zeitabhängigkeit der Zustände in die Operatoren
(Wechselwirkungsbild). Im vorliegenden Fall ist auch eine hybride
Behandlung denkbar, in der das elektromagnetische Feld im Heisenberg-Bild
behandelt wird, und der Übergang vom Schrödinger- zum Wechselwirkungsbild
nur für die Atomzustände durchgeführt wird. Im ersten Fall ist H int
zeitunabhängig (Schrödinger-Bild) und es liegt eine konstante Störung vor.
Im zweiten Fall trägt H int die Zeitabhängigkeit des freien Felds ⃗ A( ⃗ X i ,t) im
Heisenberg-Bild und die Störung wird als periodisch behandelt. Das Endresultat
ist natürlich für beide Vorgehensweisen identisch. Im folgenden ver-
46

wenden wir die erste, d.h. unser Ausgangspunkt ist das Schrödinger-Bild zur
Beschreibung von Atom und elektromagnetischem Feld.
Der Einfachheit halber nehmen wir für die folgenden Betrachtungen an,
dass nur eine Photonmode ( ⃗ k,α) besetzt ist, d.h. die Zustände sind von der
Form |A;n( ⃗ k,α)〉 — die Verallgemeinerung ist offensichtlich. Da A ⃗ linear
in den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren a † und a ist, sind in erster
Ordnung in eA ⃗ nur folgende Matrixelemente von Null verschieden:
〈B;(n − 1)( ⃗ k,α)|H int |A;n( ⃗ k,α)〉 = e ∑
∫
√
d 3⃗ k ′
m (2π) 3 2ε
α ′ 0 ω k ′
Z∑
× 〈B;(n − 1)( ⃗ k,α)|a α ′( ⃗ k ′ )e i⃗ k· ⃗X i
⃗ǫ (α′) ( k ⃗′ ) · ⃗P i |A;n( ⃗ k,α)〉
i=1
√
= e √
n(
m 2ε 0 ω ⃗ Z∑
k,α) 〈A|e i⃗ k· ⃗X iPi ⃗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k )|B〉, (2.77)
k
i=1
Hier wurde
〈B;(n + 1)( ⃗ k,α)|H int |A;n( ⃗ k,α)〉
√
= e √
n(
m 2ε 0 ω ⃗ Z∑
k,α) + 1 〈A|e −i⃗ k· ⃗X iPi ⃗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) ∗ |B〉.(2.78)
k
〈(n − 1)( ⃗ k,α)|a α ′( ⃗ k ′ )|n( ⃗ k,α)〉 =
i=1
√
n( ⃗ k,α) · (2π) 3 δ αα ′δ (3) ( ⃗ k − ⃗ k ′ ) (2.79)
und eine entsprechende Gleichung für das Matrixelement des Erzeugungsoperators
verwendet. (Man beachte, dass die Operatoren zeitunabhängig
sind, da auch das elektromagnetische Feld im Schrödinger-Bild behandelt
wird.) Die Matrixelemente in den Atomzuständen können dagegen ohne genauere
Kenntnis des Atoms nicht explizit berechnet werden.
Der erste Ausdruck (2.77) beschreibt die Absorption A+nγ → B +(n −1)γ
eines Photons mit Wellenzahl ⃗ k und Polarisation α aus dem Feld, wobei das
Atom aus dem Zustand A in den Zustand B übergeht, der zweite Ausdruck
(2.78) die Emission A+nγ → B+(n+1)γ eines Photons mit entsprechender
Wellenlänge und Polarisation. Die Absorption eines Photons ist proportional
zu √ n, d.h. sie findet offensichtlich nur statt, wenn im Feld schon Photonen
vorhanden sind, und die Absorptionswahrscheinlichkeit wächst mit der Zahl
der schon vorhandenen Photonen im absorbierten Zustand. Die Stärke der
Emission wächst ebenfalls mit der Anzahl der Photonen. Dieses Phänomen
47

nennt man stimulierte Emission. Das Matrixelement für die Emission ist
jedoch auch für n( ⃗ k,α) = 0 von Null verschieden. Dies nennt man spontane
Emission. Dieser Effekt tritt bei der Wechselwirkung von Atomen mit dem
klassischen elektromagnetischen Feld nicht auf. Der Zerfall A → B+γ eines
angeregten Atomzustands ist also ein Quanteneffekt des elektromagnetischen
Feldes.
Wir berechnen nun die Lebensdauer des Atomzustands A im Vakuum des
elektromagnetischen Felds (n = 0), d.h. wir berechnen die Übergangsrate
für die spontane Emission A → B + γ. Dazu nehmen wir an, dass H int
im Zeitintervall [−τ,τ] wirkt und führen dann den Grenzübergang τ →
∞ aus. Dies entspricht der Behandlung als konstante Störung (vgl. QM I,
S.144f). In erster Ordnung der Störungstheorie erhält man für den Zerfall
A → B + γ( ⃗ k,α) die Übergangswahrscheinlichkeit
P A→B+γ( ⃗ k,α)
= 1 ∣ ∫
√
∣∣∣ τ
2 dt e i (E B+ω k −E A )t e
−τ
m 2ε 0 ω k
Z∑
× 〈B|e −i⃗ k· ⃗X iPi ⃗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) ∗ 2
|A〉
∣ . (2.80)
i=1
Mit der Definition ω AB = (E A − E B )/ liefert das Zeitintegral
4sin 2 (ω k − ω AB )τ
(ω k − ω AB ) 2 τ→∞
−→ 4πτδ(ω k − ω AB ) (2.81)
Damit findet man für die Übergangsrate, also die Übergangswahrscheinlichkeit
pro Zeiteinheit
R A→B+γ( ⃗ k,α)
= 2π
2 δ(ω k − ω AB ) e2
m 2 2ε 0 ω k
∑
×
∣ 〈B|e −i⃗ k· ⃗X iPi ⃗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) ∗ 2
|A〉
∣ . (2.82)
i
Die delta-Funktion impliziert die Energieerhaltung im Zerfall (Zeittranslationsinvarianz).
Dagegen ist der Impuls nicht erhalten, denn der Hamiltonoperator
ist nicht translationsinvariant. Der unendlich schwere Atomkern (keine
Dynamik) nimmt den Rückstoßimpuls auf, was hier nicht berücksichtgt
wird. Entsprechend sind die Atomzustände keine Impulseigenzustände. Der
Ausdruck (2.82) kann noch weiter vereinfacht werden, da die Wellenlänge
48

λ = 2π/| ⃗ k| des emittierten Photons wesentlich größer als der Atomdurchmesser
ist. Die typischen Energiedifferenzen ω AB sind von der Größenordnung
mc 2 α 2 (für Z = 1) mit der Feinstrukturkonstanten
α ≡
e2
4πǫ 0 c ≈ 1
137 . (2.83)
Damit ist ω k durch die delta-Funktion festgelegt. Der Bohr-Radius a 0 ist
von der Ordnung /(mcα), so dass
| ⃗ k|a 0 ∼ ω ABa 0
∼ α. (2.84)
Der Hauptbeitrag zum Matrixelement kommt also aus dem Bereich | ⃗ k· ⃗X i | ∼
α ≪ 1. Deshalb nähern wir (“elektrische Dipolnäherung”)
e −i⃗ k· ⃗X i
≈ 1 + ... . (2.85)
Da wir an der Übergangsrate des Zustand A nach B interessiert sind, muss
über alle Endzustände, die damit verträglich sind, summiert werden, d.h.
über alle Werte von ⃗ k und α, denn Wellenzahl und Polarisation des emittierten
Photons sollen nicht beobachtet werden. Außerdem befinden sich A
und B im Vakuum, d.h. die magnetischen Unterzustände m J des Gesamtdrehimpuls
sind entartet. Folglich muss auch über m JB summiert werden.
Schließlich befindet sich der Anfangszustand mit gleicher Wahrscheinlichkeit
1/(2J A + 1) in einem der magnetischen Unterzustände, so dass über
die entarteten Anfangszustände mit ihrer Besetzungswahrscheinlichkeit gewichtet
summiert (d.h. gemittelt) werden muss. Diese Annahmen müssten
modifiziert werden, wenn der Zerfall in einem äußeren elektrischen oder magnetischen
Feld stattfände. Man erhält also
R A→B+γ =
1 ∑ ∑ ∑
∫
2J A + 1
m JA m JB α
d 3 ⃗ k
(2π) 3 R A→B+γ( ⃗ k,α) . (2.86)
Im folgenden beschränken wir uns auf das Wasserstoffatom mit nur einem
Elektron, so dass in (2.82) die Summation über i wegfällt. Das benötigte
Matrixelement wird mit Hilfe der Beziehung
wie folgt umgeformt:
i
m ⃗ P =
[
⃗X, ⃗ P 2
2m
]
[ ]
= ⃗X,H0
(2.87)
〈B| ⃗ P ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) ∗ |A〉 = −imω AB 〈B| ⃗ X ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) ∗ |A〉. (2.88)
49

Die Integration über die Wellenzahl der Photonen im Endzustand reduziert
sich aufgrund der Energieerhaltung auf eine Integration über die Emissionsrichtung
des Photons. Dazu verwenden wir d 3 ⃗ k = | ⃗ k| 2 d| ⃗ k|dΩ( ⃗ k) (dΩ( ⃗ k)
bezeichnet die Integration über den Polar- und Azimuthwinkel von ⃗ k), um
∫
d 3 ⃗ k
(2π) 3 δ(|⃗ k|c − ω AB ) = 1 ( ωAB
) 2
∫ dΩ( ⃗ k)
c c (2π) 3 (2.89)
zu erhalten. Die gesuchte Übergangsrate lautet damit
1 ∑ ∑
∫ dΩ( ⃗ k) 2π e 2 ωAB
2 R A→B+γ =
2J A + 1
(2π) 3 2 m 2 2ε
m JA , m JB α
0 ω AB c 3 m 2 ωAB
2
∣
× ∣〈B| X ⃗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) ∗ |A〉 ∣ 2 . (2.90)
Die einzige Abhängigkeit von der Richtung von ⃗ k tritt in den Polarisationsvektoren
auf. Unter Verwendung von (2.37) erhält man
∫
dΩ( ⃗ k) ∑ ∫ (
⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) ∗ i ⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) j
= dΩ( ⃗ k) δ ij − k )
ik j
= 8π ⃗
α
k 2 3 δ ij. (2.91)
Bei der Berechnung von
∫
dΩ( ⃗ k) k ik j
⃗ k 2
= 4π 3 δ ij (2.92)
kann man verwenden, dass das Ergebnis nur proportional zu δ ij sein kann.
Die Proportionalitätskonstante bestimmt man dann am einfachsten durch
Kontraktion der Indizes i und j. Das verbleibende Matrixelement zwischen
den Atomzuständen kürzen wir mir der Bezeichnung
〈x 2 AB〉 ≡
1
2J A + 1
∑
3∑
m JA , m JB i=1
∣ 〈B|Xi |A〉 ∣ ∣ 2 (2.93)
ab. Damit lässt sich das Endergebnis für die Übergangsrate eines elektrischen
Dipolübergangs in erster Ordnung in der Störungsrechnung durch die Formel
R A→B+γ =
e2
4πε 0 c · 4ω3 AB
3c 2 〈x 2 AB 〉 (2.94)
angeben, die große Ähnlichkeit mit dem entsprechenden Resultat in der klassichen
Elektrodynamik aufweist. Die für die Berechnung der Rate erforderliche
Kenntnis der atomaren Eigenschaften steckt in der Definition der Größe
50

〈x 2 AB 〉. Das Resultat enthält die Feinstrukturkonstante α = e2 /4πε 0 c. Korrekturen
zur Übergangsrate von der nächsten Ordnung in der Störungsentwicklung,
der Dipolnäherung oder von relativistischen Effekten sind alle
mindestens mit einem Faktor α ≈ 1/137 unterdrückt. Man beachte die
Auswahlregeln für E1-Strahlung: Das Matrixelement 〈B|X i |A〉 ist nur von
Null verschieden, wenn A und B unterschiedliche Parität tragen, weil der
Operator X i Paritäts-ungerade ist, und wenn sich die Bahndrehimpulsquantenzahlen
von A und B um 1 unterscheiden.
Lebensdauer des 2p-Niveaus des Wasserstoffatoms
Als Beispiel berechnen wir die Lebensdauer des 2p-Niveaus des Wasserstoffatoms,
das wegen der Auswahlregeln nur in das 1s-Niveau zerfallen
kann. Da die Spin-Bahn-Kopplung vernachlässigt wird, sind die Wasserstoff-
Energieeigenzustände Produkte aus den nlm l -Zuständen und den Spinzuständen.
Das 2p-Niveau ist sechsfach entartet (dreifach bezüglich m l und
zweifach bezüglich m s ). Wir schreiben Anfangs- und Endzustand also in der
Form |nlm l m s 〉:
|A〉 = |21m l m sA 〉, |B〉 = |100m sB 〉 (2.95)
Die Ortsabhängigkeit ist durch (⃗x = r⃗n, a 0 = /(mcα))
ψ 100 (⃗x) = 2
ψ 21ml (⃗x) =
a 3/2
0
e −r/a 0
Y 00 (⃗n)
r
√ e −r/(2a0) Y
5/2 1ml (⃗n), (2.96)
24a 0
gegeben, der Spinanteil durch den entsprechenden Spinor ξ ms . Wir benötigen
das Matrixelement 〈21m l m sA |X i |100m sB 〉. Mit Y 00 (⃗n) = 1/ √ 4π erhält man
bei gleichzeitiger Ausführung des Radialintegrals
〈21m l m sB |X i |100m sA 〉 = δ msB m sA
∫
d 3 ⃗x x i ψ 21ml (⃗x)ψ 100 (⃗x)
= δ msB m sA
∫ dΩ(⃗n)
√
4π
n i Y 1ml (⃗n)
∫
1 ∞
√ dr r 4 e −3r/(2a 0)
6a
4
0
∫
256a 0 dΩ(⃗n)
= δ msB m sA
81 √ √ n i Y 1ml (⃗n). (2.97)
6 4π
Das Matrixelement ist erwartungsgemäß nur dann von Null verschieden,
wenn die Spinzustände gleich sind, denn die Wechselwirkung ist spin-unab-
0
51

hängig. Damit folgt
〈x 2 AB〉 = 1 ∑ 32768
3∑
∫ 6 19683 a2 0 δ msB m sA dΩ(⃗n)
2
∣ √ n i Y 1ml (⃗n)
m sA ,m sB ,m l
4π
∣ .
Die Winkelintegrale löst man am einfachsten durch Transformation auf die
sphärische Basis durch Verwendung von
3∑
n i n ′ i =
i=1
= 4π 3
( ) (
n1 + in
√ 2 n
′
1 + in ′ ) ∗ ( )(
2 n1 − in
√ 2 n
′
+ √ 1 − in ′ ) ∗
2
√ + n 3 n ′ 3
2 2 2 2
3∑
m=1
i=1
Y ∗
1m(⃗n)Y 1m (⃗n ′ ). (2.98)
Einsetzen liefert
〈x 2 AB〉 = 1 6
∑ 32768 1
19683 a2 0
3
m sA ,m l
3∑
∫
∣
m=1
dΩ(⃗n)Y 1m(⃗n)Y ∗
2
1ml (⃗n)
∣ . (2.99)
Aufgrund der Orthogonalität der Kugelflächenfunktionen ergibt das Winkelintegral
δ mml , so dass
3∑
∫
∣
m=1
dΩ(⃗n)Y 1m ∗ (⃗n)Y 1m l
(⃗n)
∣
2
= 1. (2.100)
Die verbleibende Summation über m sA und m l ergibt einen Faktor 6 und
damit
〈x 2 AB 〉 = 32768
59049 a2 0 . (2.101)
(
Die Frequenz des 2p1s-Übergangs ist ω AB = 3 mc 2
8
). α2 Aus (2.94) folgt
dann die Zerfallsrate
R 2p→1s+γ = 4α
3c 2 ( 3
8
mc 2 α 2
Die Lebensdauer entspricht dem Kehrwert
) 3 32768
59049 a2 0. (2.102)
τ 2p = 6561
256α 5 m e c 2 = 1.59 · 10−9 s. (2.103)
Korrekturen zu diesem Resultat sind von der Ordnung α ≈ 1/137.
52

Bemerkungen zur Multipolentwicklung.
In der Ableitung der Zerfallsrate haben wir eine Multipolentwicklung
e −i⃗ k· ⃗X i
= 1 − i ⃗ k · ⃗X i + ... (2.104)
vorgenommen. Die Eins auf der rechten Seite entspricht der bisher betrachteten
elektrischen Dipolstrahlung (E1). Der nächste Term ⃗ k· ⃗X i ist für die Entstehung
von elektrischer Quadrupolstrahlung (E2) und magnetischer Dipolstrahlung
(M1) verantwortlich. Zu letzterer trägt auch der führende Term in
der Multipolentwicklung der Spinwechselwirkung ∑ i e ⃗ mS i· ⃗B bei. Übergänge,
die nur durch diese Strahlungstypen stattfinden können, sind mit ( ⃗ k a 0 ) 2 unterdrückt
und haben deshalb im Vergleich zu E1-Zerfällen eine den Faktor
(λ/a 0 ) 2 ≈ 1/α 2 längere Lebensdauer. Die Auswahlregeln für elektrische und
magnetische Multipolstrahlung A j ′ → A j + γ in der Ordnung l sind (vgl.
QM I, S.212)
1. Drehimpulserhaltung: |j ′ − l| ≤ j ≤ j ′ + l
2. Paritätserhaltung. Folgende Paritätsänderungen ergeben sich für die
jeweilige Strahlung:
El Ml
l gerade nein ja
l ungerade ja nein
Bezüglich der Multipolentwicklung und den Auswahlregeln gibt es keinen
Unterschied zwischen der Behandlung der Strahlung als klassisches oder
quantisiertes elektromagnetisches Feld, da die entsprechenden Aussagen allein
eine Konsequenz der Rotationssymmetrie sind.
2.2.2 Streuung von Licht an Atomen (Rayleigh- und Thomson-Streuung)
In diesem Abschnitt betrachten wir die Streuung von Photonen an Atomen.
Unter einem Streuprozess verstehen wir hier wie in der folgenden Skizze
dargestellt einen Übergang, bei dem ein Photon im Anfangszustand in ein
Photon im Endzustand übergeht, wobei eine Änderung des Wellenvektors
und der Polarisation stattfinden kann. Dabei ändert sich in der Regel auch
der Quantenzustand des Atoms.
53

γ( ⃗ k,α) + A → γ( ⃗ k ′ ,α ′ ) + B
Es handelt sich also um Prozesse, bei denen ein Photon vernichtet und ein
weiteres Photon erzeugt wird. Analog zur Potentialstreuung von Elektronen
gehen wir davon aus, dass für große Zeiten t → ±∞ die Wechselwirkung
zwischen Projektil (Photon) und Streuzentrum (Atom) vernachlässigbar ist,
so dass Anfangs- und Endzustand des Systems Produkte von Atom- und
Feldzuständen sind.
Tatsächlich ist dies ein subtiler Punkt, weil die elektromagnetische Kraft langreichweitig ist, und
nur wie 1/r abfällt. Die Streuzustände in 1/r-Potentialen sind auch für große r keine ebenen
Wellen. In der hier betrachteten Ordnung der Störungsentwicklung kann dieses Problem jedoch
ignoriert werden.
Wir gehen wieder vom Schrödinger-Bild für die Beschreibung von Atom und
elektromagnetischem Feld aus und betrachten wie zuvor
H int =
Z∑
i=1
( e
m ⃗ A( ⃗ X i ) · ⃗P i + e2
2m ⃗ A( ⃗ X i ) 2 )
(2.105)
als eine kleine Störung. Im Gegensatz zur spontanen Emission werden jetzt
jedoch die quadratischen Terme in e ⃗ A benötigt, da ein Photon vernichtet
und eines erzeugt wird. Die Wechselwirkung e ⃗ A( ⃗ X i )· ⃗P i muss also in zweiter
Ordnung in der zeitabhängigen Störungstheorie behandelt werden. Aus diesem
Grund wird der Übergang zum Wechselwirkungsbild hier noch einmal
explizit vorgeführt (siehe auch QM I, S.138-140).
Als Basiszustände verwenden wir die Schrödingerzustände |A; ⃗ k,α〉 zu einem
festen, frühen Zeitpunkt t i . Zu einem späteren Zeitpunkt t f hat sich der
Zustand |A; ⃗ k,α〉 in den Zustand U(t f ,t i )|A; ⃗ k,α〉 entwickelt, wobei
(
U(t 2 ,t 1 ) = exp − i )
(H 0 + H int )(t 2 − t 1 ) (2.106)
den Zeitentwicklungsoperator bezeichnet. (Es wird verwendet, dass H nicht
explizit von der Zeit abhängt, so dass die angegebene Form die Schrödinger-
Gleichung löst.) Die Übergangsamplitude für den Streuprozess
γ( ⃗ k,α) + A → γ( ⃗ k ′ ,α ′ ) + B (2.107)
54

ist folglich durch das Streumatrixelement
gegeben.
S fi ≡
lim 〈B;⃗ k ′ ,α ′ |U(t f ,t i )|A; ⃗ k,α〉 (2.108)
t i →−∞,t f →∞
Zur Berechnung von S fi wird das Wechselwirkungsbild verwendet. Dazu
definiert man einen neuen Zeitentwicklungsoperator U I durch
U I ≡ U † 0 U (2.109)
mit
(
U 0 (t 2 ,t 1 ) = exp − i )
H 0(t 2 − t 1 ) . (2.110)
Der Operator U I erfüllt die Gleichung
mit der bekannten rekursiven Lösung
i ∂ ∂t U I = U † 0 H int U 0
} {{ }
U I , (2.111)
≡ H I
∫ t
U I (t,t 0 ) = 1 − i dt ′ H I (t ′ ) U I (t ′ ,t 0 )
t
(
0
= 1 + − i )∫ t
dt 1 H I (t 1 )
t 0
(
+ − i ) 2 ∫ t ∫ t1
dt 1 dt 2 H I (t 1 )H I (t 2 ) + .... (2.112)
t 0 t 0
Da der Anfangs- und Endzustand ein Eigenzustand von H 0 und damit U 0
ist, führt die Wirkung von U 0 auf diesen nicht zu einer Zustandsänderung.
Die relevanten Terme in (2.112) sind also die Terme in H int bzw. Potenzen
von H int , die entweder aa † oder a † a enthalten, denn genau diese vernichten
ein Photon und erzeugen ein weiteres. Die gesuchten Produkte findet man
in
(I) in erster Ordnung in H I (t 1 ) in dem Term e2
2m ⃗ A 2 ;
(II) in zweiter Ordnung in H I (t 1 )H I (t 2 ) im Produkt von zwei Wechselwirkungstermen
vom Typ e m ⃗ A · ⃗P.
55

Diese beiden Beiträge bilden die führenden Terme der Entwicklung nach e 2
für die Streuung von Licht an Atomen. Sie sollen nun explizit berechnet
werden. Wir beschränken uns wieder auf das Wasserstoffatom, die Verallgemeinerung
ist unproblematisch.
Der Beitrag (I) zu (2.108) ist
S (I)
fi
= − i ∫ tf
dt 〈B;
⃗ k ′ ,α ′ |U 0 (t f ,t i )U † 0 (t,t i) e2
A(
t i
2m ⃗ X) ⃗ 2 U 0 (t,t i )|A; ⃗ k,α〉
(2.113)
Der Grenzübergang t i,f → ∓∞ wird später durchgeführt. Die Zeitentwicklungsoperatoren
führen auf den Eigenzuständen von H 0 zu den trivialen
Ersetzungen
U 0 (t,t i ) → e − i (E A+ω k )(t−t i ) ,
U † 0 (t,t i) → e i (E B+ω k ′)(t−t i ) ,
U 0 (t f ,t i ) → e − i (E B+ω k ′)(t f −t i ) .
Den Photonanteil des Matrixelements kann man ausrechnen, indem man
die Fourier-Zerlegung des Photonfelds (2.34) einsetzt, und die Vernichtungsoperatoren
unter Verwendung der Vertauschungsregeln nach rechts durchtauscht:
〈 ⃗ k ′ ,α ′ | A ⃗ 2 ( X)| ⃗ ⃗ k,α〉 = ∑ ∫ √ √
d
3 k1 ⃗ d 3 k2 ⃗
α 1 ,α 2
(2π) 3 (2π) 3 2ε 0 ω k1 2ε 0 ω k2
{
× ⃗ǫ (α1) ( k ⃗ 1 )e i⃗ k 1· ⃗X ·⃗ǫ (α1) ( k ⃗ 2 ) ∗ e −i⃗ k 2· ⃗X
=
×〈0|a α ′( ⃗ k ′ )a α1 ( ⃗ k 1 )a † α 2
( ⃗ k 2 )a † α (⃗ k)|0〉
+⃗ǫ (α1) ( k ⃗ 1 ) ∗ e −i⃗ k 1· ⃗X ·⃗ǫ (α1) ( k ⃗ 2 )e i⃗ k 2· ⃗X
× 〈0|a α ′( ⃗ k ′ )a † α 1
( ⃗ k 1 )a α2 ( ⃗ k 2 )a † α( ⃗ }
k)|0〉
√ √
e −i(⃗ k ′ − ⃗ k)· ⃗X · 2 · ⃗ǫ (α′) ( k
2ε 0 ω k 2ε 0 ω ⃗′ ) ∗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k ). (2.114)
k ′
(Hier wird ⃗ k ′ ≠ ⃗ k verwendet.) Beim Durchtauschen bleiben nur die Kommutatorbeiträge
übrig, deren delta-Funktionen die Integrationen über ⃗ k 1 und
⃗ k2 sowie die Polarisationssummen eliminieren.
56

Insgesamt ergibt der Wechselwirkungsterm e2
2m ⃗ A 2 den Beitrag
S (I)
fi
= e − i (E B+ω k ′)t f
e + i (E A+ω k )t i
(
× − i )
e 2
√ ⃗ǫ (α′) ( k
2mǫ 0 ωk ω ⃗′ ) ∗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) 〈B|e −i(⃗ k ′ − ⃗ k)· ⃗X |A〉
k ′
×
∫ tf
t i
dt e i t(E B+ω k ′−(E A +ω k ))
(2.115)
zum Streumatrixelement.
Der Beitrag (II) zum Streuprozess ist Teil des quadratischen Terms aus der
Dyson-Entwicklung (2.112). Er hat die Gestalt
S (II)
fi
=
(
− i ) 2 ∫ tf
∫ t2
dt 1 dt 2 〈B;
⃗ k ′ ,α ′ |U 0 (t f ,t i )
t i t i
× U † 0 (t 1,t i ) e m ⃗ A( ⃗ X) · ⃗P U 0 (t 1 ,t i )
× U † 0 (t 2,t i ) e m ⃗ A( ⃗ X) · ⃗P U 0 (t 2 ,t i )|A; ⃗ k,α〉 (2.116)
Nach Einsetzen des Photonfeldoperators tragen wieder nur die Terme bei,
die je einen Erzeugungs- und einen Vernichtungsoperator enthalten, also nur
a † α ′ ( ⃗ k ′ )a α ( ⃗ k) und a α ( ⃗ k)a † α ′ ( ⃗ k ′ ). Die Faktoren von U 0 können nun nicht trivial
beseitigt werden, da sie teilweise zwischen Orts- und Impulsoperatoren
stehen, mit denen U 0 nicht kommutiert. Deshalb geht man wie folgt vor. Da
H 0 = H 0,Feld + H 0,Atom per Definition in einen Anteil allein des elektromagnetischen
Felds und allein des Atoms zerfällt, die miteinander kommutieren,
gilt für den ungestörten Zeitentwicklungsoperator
Unter Verwendung von
U 0 = U Feld
0 U Atom
0 . (2.117)
†, Feld
U 0 (t,t i )a α ( ⃗ k)U0 Feld (t,t i ) = a α ( ⃗ k,t) = a α ( ⃗ k)e −iω k(t−t i )
(2.118)
kann man nun den Anteil des Matrixelements, welcher mit dem elektromagnetischen
Feld zusammenhängt, explizit auswerten, wobei wieder die
Darstellung des elektromagnetischen Felds durch Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
sowie deren Vertauschungsrelationen verwendet werden.
57

Dies ergibt zunächst den Ausdruck
S (II)
fi
=
(
− i ) 2 ( e
) ∫ 2 tf
∫
√
t1
dt 1 dt 2
m t i t i
{
× e −iω kt 2
e iω k ′t 1
e −i(ω k−ω k ′)t i
√
2ε 0 ω k 2ε 0 ω k ′
e − i (E B+ω k ′)(t f −t i )
†, Atom
× 〈B|U 0 (t 1 ,t i )e −i⃗ k ′· ⃗X P ⃗ ·⃗ǫ
(α ′) ( k ⃗′ ) ∗ U0 Atom (t 1 ,t i ) (∗1∗)
†, Atom
× U 0 (t 2 ,t i )e i⃗ k· ⃗X P ⃗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k )U0 Atom (t 2 ,t i )|A〉
+ e −iω kt 1
e iω k ′t 2
e i(ω k−ω k ′)t i
†, Atom
× 〈B|U 0 (t 1 ,t i )e i⃗ k· ⃗X P ⃗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k )U0 Atom (t 1 ,t i ) (∗2∗)
†, Atom
× U 0 (t 2 ,t i )e −i⃗ k ′· ⃗X P ⃗ ·⃗ǫ
(α ′) ( k ⃗′ ) ∗ }
U0 Atom (t 2 ,t i )|A〉 .
(2.119)
Um die in den verbleibenden Größen U0 Atom steckende Zeitabhängigkeit explizit
zu machen, setzt man an den mit (∗1∗) und (∗2∗) markierten Stellen
ein vollständiges System ∑ N
|N〉〈N| von atomaren Zuständen ein. Die
Summe schließt eine Integration über das kontinuierliche Spektrum (Streuzustände)
ein. Man erhält dann
S (II)
fi
= e − i (E B+ω k ′)t f
e i (E A+ω k )t i
(− i
) 2
e 2
2m 2 ǫ 0
√
ωk ω k ′
∫ tf
t i
dt 1
∫ t1
t i
dt 2
{ ∑
×
N
e i (E B+ω k ′ −E N )t 1
e i (E N −(E A +ω k ))t 2
×〈B|e −i⃗ k ′· ⃗X ⃗P ·⃗ǫ (α′) ( ⃗ k ′ )|N〉〈N|e i⃗ k· ⃗X ⃗P ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k )|A〉
+ ∑ N
e i (E B−ω k −E N )t 1
e i (E N −(E A −ω k ′))t 2
}
× 〈B|e i⃗ k· ⃗X P ⃗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k )|N〉〈N|e −i⃗ k ′· ⃗X P ⃗ ·⃗ǫ
(α ′) ( k ⃗′ )|A〉 . (2.120)
Wir führen nun das Zeitintegral über t 2 aus. Dabei erhält man auch einen
Beitrag von der unteren Integrationsgrenze. Dieser Beitrag ist jedoch ein
Artefakt der Annahme, dass die Störung plötzlich zur Zeit t = t i einsetzt
zusammen mit der Verwendung von ebenen Wellen als Anfangs- und Endzustand.
Ebene Wellen sind räumlich nicht lokalisiert, so dass sich das Photon
selbst für t i → −∞ im Bereich des wechselwirkenden Atoms befindet. Eine
58

saubere Behandlung des Streuprozesses verwendet deshalb als Anfangs- und
Endzustand hinreichend lokalisierte Wellenpakete, die sich in Richtung von
⃗ k bzw. ⃗ k
′
ausbreiten. Hier genügt es jedoch anzunehmen, dass H int adiabatisch
“eingeschaltet” wird (analog zum Eintritt des Wellenpakets in den
Bereich der Wechselwirkung), was durch die Ersetzung
H int (t) → f(t)H int (t) (2.121)
bewerkstelligt wird. f(t) soll für große Zeiten t → ∓∞ in glatter Weise
verschwinden und sonst gleich Eins sein. Dann ist klar, dass die untere Integrationsgrenze
des t 2 -Integrals für t i → −∞ keinen Beitrag liefert. Das
Matrixelement (2.120) wird dann zu
S (II)
fi
= e − i (E B+ω k ′)t f
e i (E A+ω k )t i
(− i ) 2
e 2
i 2m 2 √
ǫ 0 ωk ω k ′
{
〈B|e −i⃗ k ′· ⃗X P ⃗ ·⃗ǫ (α ′) ( k ⃗′ ) ∗ |N〉〈N|e i⃗ k· ⃗X P ⃗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k )|A〉
E N − (E A + ω k )
× ∑ N
+ 〈B|ei⃗ k· ⃗X P ⃗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k )|N〉〈N|e −i⃗ k ′· ⃗X P ⃗ ·⃗ǫ (α ′) ( k ⃗′ ) ∗ }
|A〉
E N − (E A − ω k ′)
∫ tf
× dt e i (E B+ω k ′−(E A +ω k ))t
t i
(2.122)
Zur Berechnung der Übergangsrate muss |S (I)
fi
+ S (II)
fi
| 2 gebildet und durch
t f − t i geteilt werden. Die zeitabhängigen Terme sind beiden Anteilen des
Streumatrixelements gemeinsam. Analog zu (2.81) liefert das quadrierte Zeitintegral
für große t f − t i
1
t f − t i
∣ ∣∣∣
∫ tf
t i
t f −t i →∞
= 2πδ
2
dt e i (E B+ω k ′−(E A +ω k ))t
∣
(
EB
(
+ ω k ′ − EA
) )
+ ω k . (2.123)
Damit erhält man die Übergangsrate in einen Photonzustand im Wellenzahlintervall
[ ⃗ k ′ , ⃗ k ′ + d ⃗ k ′ ] und mit Polarisation α ′ in der Form
R γ( ⃗ k,α)+A→γ( k ⃗ ′ ,α ′ )+B = 2π (
2 |T EB − E A
|2 δ
) d 3⃗ k ′
+ ω k ′ − ω k
(2π)
3. (2.124)
59

Hier haben wir das Übergangsmatrixelement
mit
(
|T | 2 e 2 ) 2
= √ |M| 2 (2.125)
2mε 0 ωk ω k ′
M ≡ 〈B|e −i(⃗ k ′ − ⃗ k)· ⃗X |A〉⃗ǫ (α′) ( k ⃗′ ) ∗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k )
(
− 1 ∑ 〈B|e −i⃗ k ′· ⃗X P ⃗ ·⃗ǫ (α ′) ( k ⃗′ ) ∗ |N〉〈N|e i⃗ k· ⃗X P ⃗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k )|A〉
m
E N − (E A + ω k )
N
+ 〈B|ei⃗ k· ⃗X P ⃗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k )|N〉〈N|e −i⃗ k ′· ⃗X P ⃗ ·⃗ǫ (α ′) ( k ⃗′ ) ∗ )
|A〉
(2.126)
E N − (E A − ω k ′)
für diesen Prozess eingeführt. (Die Einheit von R ist 1/s ·1/m −3 , deshalb ist
R nicht im strengen Sinne eine Übergangsrate. Dies liegt an der Normierung
des einlaufenden Photonzustands auf eine delta-Funktion und wird gleich bei
der Berechnung des Wirkungsquerschnitts korrigiert.) Bis auf einen Normierungsfaktor
ist M gerade die Summe der Beiträge (I) und (II) zur Übergangsamplitude.
Die Interpretation der drei Terme wird durch die folgende
Abbildung veranschaulicht.
⃗ k, α ⃗ k ′ , α ′ A B
⃗ k, α ⃗ k ′ , α ′ A B
⃗ k, α ⃗ k ′ , α ′
N
t 2 t 1
t 2 N t 1
A
B
Der erste Term (von ⃗ A 2 in H int ) beschreibt eine Zwei-Photon-Wechselwirkung
mit dem Atom. Im zweiten Term wird das einlaufende Photon absorbiert
und das Atom geht in den Zwischenzustand |N〉 über. Anschließend
wird das auslaufende Photon emittiert und das Atom befindet sich im Endzustand
|B〉. Im dritten Term wird dagegen das auslaufende Photon zuerst
emittiert, und dann das einlaufende Photon absorbiert. Den Zwischenzustand
N darf man sich dabei nicht als ein “reales” Atom vorstellen (beobachtet
wird nur der Anfangs- und der Endzustand), denn für ihn gilt noch
nicht einmal die Energieerhaltung (E N ≠ E A +ω k , E A −ω k ′). Man spricht
deshalb auch von “virtuellen Zwischenzuständen”.
60

Die interessante physikalische Größe ist nicht R selbst, sondern der differentielle
Wirkungsquerschnitt
dσ
dΩ = Anzahl in dΩ gestreuten Photonen/sec
Anzahl einlaufende Photonen/(sec und Fläche)
R γ+A→γ
=
′ +B
, (2.127)
einlaufender Photonenfluss Φ γ
wobei der einlaufende Photonenfluss durch
Φ γ = Photonenzahl/Volumen ·Geschwindigkeit der Photonen
} {{ } } {{ }
〈 ⃗ k,α|a α ( ⃗ k)a † α( ⃗ k)| ⃗ c
k,α〉/V
∫
= (2π)3 δ (3) (0) d 3 ⃗x
· c = · c = c (2.128)
V V
gegeben ist. Das Volumenelement im Impulsraum wird wieder in der Form
d 3 ⃗ k ′
(2π) 3 = d|⃗ k ′ | ⃗ k ′ | 2 dΩ
(2π) 3 (2.129)
geschrieben. Aus (2.124) folgt dann der differentielle Wirkungsquerschnitt
(ω k ′ = | ⃗ k ′ |c)
∫
dσ d|
dΩ = ⃗ k ′ | | ⃗ k ′ | 2
(2π) 3
(
2π 1
2 c |T |2 δ ω k ′ − ω k + E )
B − E A
=
=
ω 2 k ′
(2πc 2 ) 2 |T |2 ω k ′=ω k − E B −E A
( ) α 2
· ωk ′
· |M| 2 , (2.130)
mc ω k
wobei im Ausdruck (2.126) für M die Frequenz ω k ′ des gestreuten Photons
durch ω k − (E B − E A )/ zu ersetzen ist. Das Matrixelementquadrat |M| 2
ist dimensionslos und von der Größenordnung Eins. Für ω k ′ ≈ ω k ist die
Größenordnung des Wirkungsquerschnitts durch das Quadrat r0 2 des klassischen
Elektronenradius
r 0 ≡ α ·
mc ≈ 2.8 · 10−13 cm (2.131)
bestimmt. Bisher haben wir nicht über die Polarisationen α und α ′ summiert,
d.h. es wurde angenommen, dass die Polarisation des Photons im
61

Anfangs- und Endzustand gemessen wird. Im allgemeinen wird man auch
über entartete Atomzustände summieren bzw. mitteln müssen. Darauf soll
hier nicht weiter eingegangen werden. Wir betrachten nun einige interessante
Grenzfälle von (2.130).
Rayleigh-Streuung
Der Anfangszustand des Atoms, |A〉, sei sein Grundzustand. Das Streuexperiment
werde mit langwelligem Licht durchgeführt, dessen Energie klein
gegen die Anregungsenergie ist, ω k ≪ (E B − E A )/. Deswegen muss das
Atom nach der Streuung im Grundzustand verbleiben: |B〉 = |A〉 und folglich
E A = E B , ω k ′ = ω k . Wegen der großen Wellenlänge muss nur der
Dipolterm in der Multipolentwicklung betrachtet werden, wir setzen also
e ±i⃗ k· ⃗X → 1. Damit vereinfacht sich M zu
M ≈ ⃗ǫ (α′) ( k ⃗′ ) ∗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k )
(
− 1 ∑ 〈A| P ⃗ ·⃗ǫ (α′) ( k ⃗′ ) ∗ |N〉〈N| P ⃗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k )|A〉
m
E N − E A − ω
N
k
+ 〈A|⃗ P ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k )|N〉〈N| P ⃗ ·⃗ǫ (α′) ( k ⃗′ ) ∗ )
|A〉
. (2.132)
E N − E A + ω k
Den ersten Term formen wir mit Hilfe von 〈A|A〉 = 1 und [X i ,P j ] = iδ ij
wie folgt um:
⃗ǫ (α′) ( k ⃗′ ) ∗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) = ⃗ǫ (α′) ( k ⃗′ ) ∗ i ⃗ǫ (α) ( ⃗ 1
k ) j
i 〈A|[X i,P j ] |A〉
= 1 ∑(
〈A| X
i
⃗ ·⃗ǫ (α′) ( k ⃗′ ) ∗ |N〉〈N| P ⃗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k )|A〉
N
− ( X ⃗ ·⃗ǫ (α′) ( k ⃗′ ) ∗ ↔ P ⃗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ )
k ))
= 1 ∑ 1
(
〈A| P
m E N − E ⃗ ·⃗ǫ (α′) ( k ⃗′ ) ∗ |N〉〈N| P ⃗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k )|A〉
A
N
+ ( P ⃗ ·⃗ǫ (α′) ( k ⃗′ ) ∗ ↔ P ⃗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ )
k )) . (2.133)
Beim Übergang zur letzten Zeile wurde wieder die Identität
⃗P = m i
[
⃗X,H0
]
⇒
〈N| X|M〉 ⃗ = i
〈N| P
m E M − E ⃗ |M〉 (2.134)
N
62

verwendet. Damit können beide Terme in (2.132) auf einen gemeinsamen
Nenner gebracht werden:
(
M = − 1 ∑ ω k 〈A| P ⃗ ·⃗ǫ (α′) ( k ⃗′ ) ∗ |N〉〈N| P ⃗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k )|A〉
m (E N − E A )(E N − E A − ω
N
k )
− ω k〈A| P ⃗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k )|N〉〈N| P ⃗ ·⃗ǫ (α′) ( k ⃗′ ) ∗ )
|A〉
(2.135)
(E N − E A )(E N − E A + ω k )
Man beachte, dass der Term N = A in der Summe nicht beiträgt, da das
Matrixelement 〈A| P ⃗ |A〉 verschwindet (Parität). Der Ausdruck (2.135) ist
also trotz des Faktors 1/(E N − E A ) wohl definiert. Da ω k ≪ E N − E A ,
entwickeln wir die Energie-Nenner
1
E N − E A ∓ ω k
=
(
1
1 ± ω k
+ ...
E N − E A E N − E A
Der führende Term kürzt sich in (2.135) heraus, denn
∑
( 〈A| P ⃗ ·⃗ǫ (α ′) ( k ⃗′ ) ∗ |N〉〈N| P ⃗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k )|A〉
N
(E N − E A ) 2
)
. (2.136)
− 〈A|⃗ P ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k )|N〉〈N| P ⃗ ·⃗ǫ (α′) ( k ⃗′ ) ∗ )
|A〉
(E N − E A ) 2
( m 2 ∑(
= −
〈A| ⃗X ·⃗ǫ
i) (α′) ( k ⃗′ ) ∗ |N〉〈N| ⃗X ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k )|A〉
N
−(⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) ↔ ⃗ǫ (α′) ( k ⃗′ ) ∗ )
)
( m
) 2
= − ⃗ǫ
(α ′) ( k
i
⃗′ ) ∗ i ⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) j
〈A|[X i ,X j ] |A〉
= 0 wegen [X i ,X j ] = 0. (2.137)
Das approximative Matrixelement für Rayleigh-Streuung lautet damit
M ≈ − 2 ωk
2 ∑ 1
(
m (E N − E A ) 3 〈A| P ⃗ ·⃗ǫ (α′) ( k ⃗′ ) ∗ |N〉〈N| P ⃗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k )|A〉
N≠A
+〈A| P ⃗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k )|N〉〈N| P ⃗ ·⃗ǫ (α′) ( k ⃗′ ) ∗ )
|A〉
≡
(
ωk
ω αα′
A (Ω) ) 2
, (2.138)
63

wobei die Größe ωA
αα′ (Ω) durch die vorige Zeile definiert wird. Sie ist unabhängig
von der Frequenz (aber nicht der Richtung) des Photons und hat
die Einheit Frequenz, weil M dimensionslos ist. Diese für das atomare Matrixelement
charakteristische Frequenz liegt typischerweise im UV-Bereich,
denn dies ist die für Wasserstoff charakteristische Größe von Energiedifferenzen.
Das Matrixelement muss jetzt nur noch in die allgemeine Form (2.130) des
Wirkungsquerschnitts eingesetzt werden. Da das Atom durch den Streuprozess
nicht angeregt wird, gilt ω k = ω k ′, so dass
( )
dσ
4
dΩ = r2 0 ·
ωk
ωA αα′ (Ω) (2.139)
Dieses Resultat liefert eine quantenmechanische Ableitung der bekannten
Tatsache, dass der Rayleigh-Streuquerschnitt von Licht (im optischen oder
längerwelligen Bereich) an Atomen mit der vierten Potenz der einfallenden
Frequenz anwächst. Die Größe des Wirkungsquerschnitts wird neben r 0
durch das Matrixelement ωA
αα′ bestimmt, welches z.B. für das Wasserstoffatom
numerisch bestimmt werden kann.
Thomson-Streuung
Wir betrachten den entgegengesetzten Grenzfall, dass ω k bedeutend größer
als die atomaren Energiedifferenzen ist. Die Terme in der zweiten und dritten
Zeile des Ausdrucks (2.126) für M sind dann von der Ordnung (atomare
Energien)/ω k und können vernachlässigt werden.
Dieses Argument bedarf besserer Rechtfertigung, das die Summe (das Integal) über N Zwischenzustände
mit beliebig großer Energie E N enthält. Es ist zu zeigen, dass für große E N − E A die
Matrixelemente im Zähler von (2.126) klein werden, so dass der wesentliche Beitrag zur Summe
über N von den niedrig angeregten Zuständen kommt.
Der Wirkungsquerschnitt lautet dann
dσ
dΩ ≈ r2 0 · ∣
∣〈B|e −i(⃗ k ′ − ⃗ k)· ⃗X |A〉 ∣ 2 ∣
· ∣⃗ǫ (α′) ( k ⃗′ ) ∗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) ∣ 2 , (2.140)
wobei wir ω k ′ = ω k −(E B −E A )/ ≈ ω k gesetzt haben. Falls die Wellenlänge
immer noch groß gegen den Atomradius ist, kann wieder die Dipolnäherung
verwendet werden:
∣
∣〈B|e −i(⃗ k ′ − ⃗ k)· ⃗X |A〉 ∣ ≈ |〈A|B〉| = δ AB . (2.141)
64

In dieser Näherung kann das Atom nicht angeregt werden, obwohl die Energie
des Photons sehr groß ist.
Wenn die einlaufenden Photonen nicht polarisiert sind und die Polarisation
der gestreuten Photonen nicht gemessen wird, muss über α gemittelt
und über α ′ summiert werden. Das liefert den unpolarisierten Thomson-
Streuquerschnitt
dσ
dΩ = 1 ∑
r 2 ∣
0 ∣⃗ǫ (α′) ( k
2
⃗′ ) ∗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) ∣ 2
α,α ′
= 1 ∑
r0 2 ⃗ǫ (α′) ( k
2
⃗′ ) ∗ i ⃗ǫ (α′) ( k ⃗′ ) j ⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) ∗ j ⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) i
α,α
(
′ )( )
= 1 2 r2 0 δ ij − k′ i k′ j
| k ⃗′ | 2 δ ij − k ik j
| ⃗ k| 2
= 1 2 (1 + cos2 θ) · r 2 0 , (2.142)
wobei der Streuwinkel θ durch ⃗ k · ⃗k ′ = | ⃗ k|| ⃗ k ′ |cos θ definiert wird. Dieser
Ausdruck, ebenso wie der totale Wirkungsquerschnitt
σ =
∫
dΩ dσ ∫ 1
dΩ = πr2 0 d(cos θ)(1 + cos 2 θ)
−1
= 8πr2 0
3
= 6.65 · 10 −25 cm 2 , (2.143)
sind unabhängig vom Zustand |A〉 des Atoms. Die mikrophysikalischen Eigenschaften
des Atoms spielen hier bemerkenswerterweise keine Rolle, und
deshalb stimmen die Ausdrücke auch mit denen der klassichen Elektrodynamik
überein. In der klassichen Beschreibung wird das Elektron (geladenes
Punktteilchen) durch die einfallende ebene elektromagnetische Welle
zu Schwingungen anregt, welche wiederum zur Aussendung von Strahlung
führen.
Resonanzen
Die soweit entwickelte Theorie versagt, falls es einen diskreten atomaren
Zwischenzustand |I〉 gibt, so dass E A + ω k = E I . Der Ausdruck (2.126),
bzw. |T | 2 und der Wirkungsquerschnitt wird dann formal unendlich. Wenn
der Zwischenzustand im Kontinuum der Atomzustände liegt, gibt es kein
Problem, da dann auf jeden Fall über ein Energieintervall um E I integriert
65

wird, und die Singularität in einem hier nicht näher spezifizierten Sinne
integrierbar ist. Wie betrachten also einen resonanten Zwischenzustand im
diskreten Spektrum. Die Ursache der Divergenz des Wirkungsquerschnitts
ist das Zeitintegral über t 2 in (2.120),
∫ t1
t i
dt 2 e i (E I−E A −ω k )t 2
, (2.144)
für welches der oszillierende Faktor nahe der Resonanz sehr klein wird. Aufgrund
des oszillierenden Integranden stammt der Hauptbeitrag zum Integral
von Werten
t 1 − t 2 <
(2.145)
E I − E A − ω k
nahe der oberen Grenze t 1 . Wenn diese Zeitdifferenz sehr gross wird, kann
man die Lebensdauer des Zustands |I〉 nicht mehr vernachlässigen (vgl. QM
I, S.155-159). Die Zeitabhängigkeit eines zerfallenden Zustands erhält man
in guter Näherung durch die Ersetzungsregel,
e i E It −→ e i E It e −Γ I
2 t = e i (E I+iΓ I /2)t , (2.146)
wobei
τ I ≡ Γ I
(2.147)
die Lebensdauer des Zustands ist. Dies ist aus dem exponentiellen Zerfall
e −Γ It/ des Quadrats ersichtlich. Γ I errechnet man aus der Zerfallswahrscheinlichkeit
für spontane Emission oder andere Prozesse (wie Stöße), die
zum Zerfall führen können. Mit der so heuristisch begründeten Ersetzung
E I → E I + iΓ I /2 erhält man dann
M ≈ − 1 〈B|e −i⃗ k ′· ⃗X P ⃗ ·⃗ǫ (α ′) ( k ⃗′ ) ∗ |I〉〈I|e i⃗ k· ⃗X P ⃗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k )|A〉
m E I − (E A + ω k ) + iΓ I /2
(2.148)
für ω k ≈ E I − E A . Hier wurde verwendet, dass die gesamte Amplitude
(2.126) vom resonanten Zwischenzustand I dominiert wird, weil der Nenner
klein wird (aber endlich bleibt). Es wird vorausgesetzt, dass Γ I ≪ E I . Der
Wirkungsquerschnitt lautet dann
mit
dσ
dΩ = r2 0 · ωk ′ C
·
ω k (E I − (E A + ω k )) 2 + Γ 2 I /4 (2.149)
C = 1 m 2 · |〈B|e−i⃗ k ′· ⃗X ⃗ P ·⃗ǫ
(α ′) ( ⃗ k ′ ) ∗ |I〉| 2 |〈I|e i⃗ k· ⃗X ⃗ P ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k )|A〉| 2 . (2.150)
66

Die Frequenzabhähngigkeit des Wirkungsquerschnitts in der Nähe der Resonanzfrequenz
(E I − E A )/ wird durch den Nenner bestimmt, was die typische
Lorentz-Form einer Resonanzlinie ergibt, welche der (schwächeren)
Energieabhängigkeit der übrigen Terme überlagert ist, wie es nachfolgende
Skizze zeigt. Die Breite und Höhe der Resonanz wird offensichtlich durch Γ I
bestimmt, denn Γ I bestimmt, wie klein der Nenner in (2.149) werden kann.
Für Atome erhält man in der Regel sehr scharfe Resonanzlinien.
dσ
dΩ
Breite Γ I /
ω k = E I − E A
ω k
2.2.3 Streuung von Licht an freien Elektronen (Compton-
Streuung)
Die Streuung an ungebundenen (freien) Elektronen können wir berechnen,
in dem wir die Atomzustände durch die Elektron-Einteilchenzustände mit
definiertem Impuls (ebene Wellen) ersetzen:
|A〉 = |⃗p,s〉 ≃ ξ s e i ⃗p·⃗x (2.151)
〈B| = 〈⃗p ′ ,s ′ | ≃ ξ † s
e − i ⃗p ′·⃗x
′
(2.152)
Für die Rechnung verwenden wir die rechts angegebene Ortsdarstellung der
Impulseigenzustände. Die Elektronen müssen nicht-relativistisch sein, d.h.
|⃗p|, |⃗p ′ | ≪ mc. Die Verallgemeinerung der Compton-Streuung auf relativistiche
Elektronen behandeln wir später im Rahmen der relativistischen Quantenelektrodynamik.
Während bisher die atomaren Matrixelemente nicht explizit ausgewertet
werden konnten, sind die freien Elektronzustände ebenso einfach wie die
freien Photonzustände und die Matrixelemente lassen sich elementar berechnen.
An die Stelle der Summation über die diskreten Atomzustände und die
67

Integration über die Streuzustände muss nun einfach über das Kontinuum
der Elektronzustände mit
∑
∫
d 3 ⃗p
(2π) 3 (2.153)
s=±1/2
integriert werden. Die drei Terme in (2.126) werden dann wie folgt berechnet.
Der erste lautet
∫
〈⃗p ′ ,s ′ |e −i(⃗ k ′ − ⃗ k)· ⃗X |⃗p,s〉 = ξ † s
ξ ′ s d 3 ⃗x e − i (⃗p ′ + ⃗ k ′ −⃗p− ⃗k)·⃗x , (2.154)
und der zweite (hier wird ein vollständiges System |⃗q,t〉 von Elektronenzuständen
eingeschoben)
∑
∫
d 3 ⃗q 〈⃗p ′ ,s ′ |e −i⃗ k ′· ⃗X P ⃗ ·⃗ǫ (α ′) ( k ⃗′ ) ∗ |⃗q,t〉〈⃗q,t|e i⃗ k· ⃗X P ⃗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k )|⃗p,s〉
t
(2π) 3 ( )
⃗q 2
2m − ⃗p 2
2m + ω k
∫
d 3 ∫
∫
⃗q
= δ ss ′
(2π) 3 d 3 ⃗x e − i (⃗p ′ + ⃗ k ′ −⃗q)·⃗x
d 3 ⃗x e − i (⃗q−⃗p−⃗ k)·⃗x
× ⃗q ·⃗ǫ (α′) ( k ⃗′ ) ∗ ⃗p ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k )
⃗q 2
2m − ⃗p 2
2m − ω k
∫
= δ ss ′ d 3 ⃗x e − i (⃗p ′ + ⃗ k ′ −⃗p− ⃗ k)·⃗x ⃗p ′ ·⃗ǫ (α′) ( k ⃗′ ) ∗ ⃗p ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k )
(⃗p ′ + ⃗ . (2.155)
k ′ ) 2
2m
− ⃗p 2
2m − ω k
Ein ähnliches Resultat erhält man für den dritten Term. Insgesamt erhält
man dann:
(
|T | 2 e 2 ) ∣ 2
∣∣∣∣
= δ ss ′ √ ⃗ǫ (α′) ( k
2mε 0 ωk ω ⃗′ ) ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) − 1
k ′
m ×
⎡
⎤
× ⎣ (⃗p ′ ·⃗ǫ (α′) ( k ⃗′ ) ∗ )(⃗p ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k ))
(⃗p ′ + ⃗ + (⃗p ·⃗ǫ (α′) ( k ⃗′ ) ∗ )(⃗p ′ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k ))
2
⎦
k ′ ) 2
2m
− ⃗p 2
2m − ω (⃗p ′ − ⃗ k ′ ) 2
k
2m
− ⃗p 2
2m − ω ∣
k ′
∫
×
∣ d 3 ⃗x e − i (⃗p ′ + ⃗ k ′ −⃗p− ⃗ 2
k)·⃗x
∣
(2.156)
Der letzte Faktor wird analog zu den entsprechenden Zeitintegralen behandelt.
Formal handelt es sich um das undefinierte Quadrat einer Delta-
Distribution, das man durch korrekte Grenzwertbildung definieren müsste.
68

Dazu müsste man mit einem endlichen Volumen und den entsprechenden diskreten,
normierbaren Impulseigenzuständen beginnen. Das kann man (mathematisch
unsauber) umgehen, indem man zuerst nur eines der Integrale
im Quadrat ausführt (Fermi’s Trick), und das Quadrat des Integrals wie
folgt umschreibt:
∫
∣ d 3 ⃗x e − i (⃗p ′ + ⃗ k ′ −⃗p− ⃗ 2
∫
k)·⃗x
∣ = (2π) 3 δ (3) (⃗p ′ + ⃗ k ′ − ⃗p − ⃗ k) d 3 ⃗x
= (2π) 3 δ (3) (⃗p ′ + ⃗ k ′ − ⃗p − ⃗ k) · V. (2.157)
Der Faktor V des Raumvolumens kürzt sich bei der Berechnung des Wirkungsquerschnitts
gegen die Anzahl der einlaufenden Elektronen heraus. Da
die Elektronenzustände im Gegensatz zu den (diskreten) Atomzuständen
nicht auf Eins normiert sind, sondern auf eine Delta-Funktion, erhält man
jetzt statt (2.128)
Φ = Φ γ · N e = c · V, (2.158)
mit dem Faktor V aus dem Skalarprodukt N e = 〈⃗p,s|⃗p,s〉 = (2π) 3 δ (3) (0) =
V .
Wir berechnen nun den Wirkungsquerschnitt im Ruhsystem des Elektrons,
an dem gestreut wird, d.h. ⃗p = 0. Das quadrierte Matrixelement (2.156)
vereinfacht sich dann erheblich und man erhält für den Wirkungsquerschnitt
dσ = d3 k ⃗′
d 3 ⃗
( )
p ′ 1
(2π) 3 (2π) 3 c (2π)3 δ (3) (⃗p ′ + ⃗ k ′ − ⃗ ⃗p
′2
k) δ
2m + ω k ′ − ω k
× 2π (
e 2 ) 2
∣
2 √ δ ss ′ ∣⃗ǫ (α′) ( k
2mε 0 ωk ω ⃗′ ) ∗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k ) ∣ 2 (2.159)
k ′
Im Gegensatz zur Streuung an Atomen gilt nun auch die Impulserhaltung,
da der Hamiltonoperator bei freien Elektronen translationsinvariant ist. Der
Wirkungsquerschnitt kann noch weiter vereinfacht werden. Das Resultat ist
nur für nicht-relativistische Elektronen gültig, d.h. es muss |⃗p ′ | ≪ mc vorausgesetzt
werden. Aufgrund der Energieerhaltung gilt dann
c · (ω k − ω k ′)
} {{ }
=| ⃗ k|−| ⃗ k ′ |
= |⃗p ′ | 2
2m ·
c = |⃗p ′ | |⃗p ′ |
2mc ≪ |⃗p ′ |, (2.160)
so dass die Delta-Funktion für die Impulserhaltung einfach
δ (3) (⃗p ′ + ⃗ k ′ − ⃗ k) ≈ δ (3) (⃗p ′ ) (2.161)
69

ergibt. Damit kann man die Integration ∫ d 3 ⃗p ′ ausführen, und der differentielle
Wirkungsquerschnitt für die nicht-relativistische Elektron-Photon-
Streuung ergibt sich zu
dσ
dΩ = r2 0 δ ss ′
∣
∣⃗ǫ (α′) ( k ⃗′ ) ∗ ·⃗ǫ (α) ( ⃗ k )
∣ 2 . (2.162)
mit ω k ′ ≈ ω k . In diesem Ausdruck wird angenommen, dass die Polarisationen
der Elektronen und Photonen im Anfangs- und Endzustand beobachtet
werden. Das Resultat ist identisch mit dem Wirkungsquerschnitt für die
Thomson-Streuung an Atomen. Zusammen mit der Beobachtung, dass der
Thomson-Querschnitt nicht vom konkreten Atomzustand A abhängt, führt
dies zu dem Schluss, dass unter gewissen Näherungen die Streuung von Photonen
an geladenen Objekten nicht von der konkreten Natur dieses Objekts
abhängt, sondern allein von seiner elektrischen Ladung.
70