Boolsche und mehrwertige Logiken - Lab4Inf

Fuzzy Logic & Control 

Λογος ist ..., wenn man trotzdem denkt. 

Prof. Dr.-Ing. Doris Danziger 

Prof. Dr. rer. nat. Nikolaus Wulff

Agenda 

• Klassische Mengen 

• Regelbasierte Systeme 

• Mehrwertige Logiken und Fuzzy Logik 

• Fuzzy Mengen, Operationen und Implikationen 

• Fuzzy Mengen und Partitionen 

• Fuzzyfizierung und Defuzzifizierung 

• Fuzzy Pattern Matching 

• Fuzzy Image Processing 

Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff 


2

Soft-Computing 

Unter dem Begriff Soft-Computing werden mehrere 

Teilgebiete der Künstlichen Intelligenz subsummiert: 

• Neuronale Netze 

• Fuzzy-Logik 

• Evolutionäre Algorithmen 

• Schwarm Intelligenz, Ant Colonie ... 

• Bayessche Netzwerke => Wahrscheinlickeitstheorie 

• Chaos Theorie 

Es geht um Relationen/Abbildungen [0,1] n [0,1] m 



3

Klassische Mengen 

• Klassische Mengen erlauben eine klare Einteilung, ob 

ein Element x zu der Menge A gehört oder nicht. 

• Es sei die Grundgesamtheit und A eine nichtleere 

Teilmenge hiervon. 

• Die charakteristische Funktion A 

(Indikatorfunktion) 

beschreibt die Zugehörigkeit eines Elements x ∈ 

zur Menge A 

A : { 0,1 } 

x A x={ 1 x∈ A 

0 otherwise 



4

Klassische Operationen 

• Für klassische Mengen sind die Operationen 

Vereinigung A∪B, Schnitt A∩B und die Negation 

definiert und lassen sich mit Hilfe der Indikatorfunktion 

darstellen. 

• Vereinigung von A und B 

A∪B x=min 1, A x B x 

• Schnitt von A und B 

A∩B x= A x∗ B x 

• Negation von A 

A x=1− A x 

A 

A∩B 

B 

 



5

Boolscher Verband/Algebra 

• Eine nichtleere Menge von Symbolen A, B, C, ... 

versehen mit den Junktoren 

„logisches und“ 

„logisches oder“ 

∧ 

∨ 

„Negation“ ¬ 

bildet die Grundlage der Aussagenlogik. 

• Die Symbole A werden nach ihrem Wahrheitsgehalt 

W(A) aus der Menge W(A)∈{0,1} bewertet. 

• Mit obigen Verknüpfungen ergibt sich die aus der 

Informatik- und Elektrotechnikvorlesung bekannte, 

Boolsche Algebra oder Logik. 



6

Eigenschaften klassischer Mengen 

• Das Komplement des „Universums“ ist die leere 

Menge und vice versa: 

=∅ 

∅= 

• Für jede Menge A gilt der Satz vom ausgeschlossenen 

Dritten („tertium non datur“) 

A∪ A= 

W A∨¬A=1 

• Und der Satz vom Widerspruch 

A∩ A=∅ 

W A∧¬A=0 



7

Klassische Logik 

• Klassische Logik kennt 2 2 n-wertige Funktionen über 

der (Power Set) Menge 2 2 n 

: {0, 1} n {0, 1}. 

• Beispiele für n=2 sind die AND und OR Operationen, 

weniger bekannt ist der logische Schluss (Operator). 

x y x ∧ y x ∨ y x→ y 

0 0 0 0 1 

0 1 0 1 1 

1 0 0 1 0 

1 1 1 1 1 

n 

• Übung: Wie können alle Funktionen für n=2 

dargestellt werden. Welche sind allgemein bekannt? 



8

Regelbasierte Systeme 

• Regelbasierte Expertensyteme bestehen aus einem 

„Langzeitgedächtnis“ dem Wissensspeicher und 

einem „Kurzzeitgedächtnis“ von Fakten/Sätzen. 

• Mit Hilfe von Regeln werden aus den bekannten 

Fakten der „KnowledgeBase“ (KB) neue Fakten als 

Konklusionen gewonnen: 

R k 

: if P k 

then Q k 

gegeben P k 

∈ KB dann KB.insert(Q k 

) 

• Hierbei lassen sich die gewonnen Konklusionen als 

neue Eingaben in weiteren Regeln verwenden. 



9

Vorwärtsverkettung 

Liste conclude(Liste p={P α 

,...,P ζ 

}) { 

KB.insert(p); 

conq = {} 

do { 

temp = {} 

for all R k 

: P k 

=>Q k 

in KB { 

if R k 

(P k 

) is true and new 

temp.insert(Q k 

) 

} 

conq.insert(temp); 

KB.insert(temp); 

} while(temp != empty) 

return conq; 

} 

Eingabe ein Liste 

von Fakten. 

Leer Liste 

von Konklusionen. 

Auffüllen der 

Konklusionsliste 

– Pseudo-Algorithmus der Vorwärtsverkettung. Es werden 

so lange neue Fakten zur KB hinzugefügt, bis keine 

weitere Regeln mehr feuern. 



10

Modus Ponens 

• Die klassische Logik kennt mehre Regeln des 

logischen Schließens, einer der wichtigsten ist der 

sogenannte „Modus ponendo ponens“. 

• Folgt aus der Prämisse P die Konklusion Q und sei 

P als wahr bekannt, so wird auf Q geschlossen. 

formal 

P Q 

Q 

P 

regelbasiert 

R: if P then Q 

gegeben P ∈ KB dann KB.insert(Q) 



11

Modus Tollens 

• Die Verneinung des Modus ponens führt zum 

Widerspruch „Modus tollendo tollens“. 

• Gilt die vorhergehende Regel R des Modus 

ponens, jedoch die Ableitung Q ist nicht wahr, so 

kann auch die Voraussetzung P nicht wahr sein. 

formal 

regelbasiert 

P Q ¬Q 

¬P 

R: if P then Q 

gegeben Q KB dann KB.insert(!P) 


Merke: fehlende Fakten feuern nicht! 


12

Kontraposition 

• Äquivalent zur vorhergehenden Aussage R ist der 

Umkehrschluss, die Kontraposition der Implikation. 

Wenn Q nicht gilt, so kann auch P nicht gültig sein. 

• Die Rollen von Prämisse und Konklusion werden 

also nach vorhergehender Negation vertauscht. 

formal 

regelbasiert 

¬Q ¬P ¬Q 

¬P 

R: if !Q then !P 

gegeben !Q ∈ KB dann KB.insert(!P) 



13

Und Elemenierung 

• Eine weitere praktische boolsche Inferenzregel ist 

die Und-Elemenierung. 

• Aus einer wahren Konjunktion P 1 

∧ P 2 

kann auf 

jedes der Konjunkte geschlossen werden: 

formal P 1 

∧P 2 sowie P 1 

∧P 2 

P 1 

P 2 



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Aussagenlogik 

• Mit Hilfe der Aussagenlogik kann zu einer Menge 

von logischen Formeln F die Lösungsmenge α an 

möglichen Wahrheitswerten ermittelt werden. 

• Ist α zu F passend, d. h. α(F)=1 so heißt α ein 

Modell für F, geschrieben als α╞ F. 

– Ist die Menge der Prämissen klein, so kann dieses 

Modell übersichtlich mit Hilfe einer Wahrheitstafel 

ermittelt werden. Andernfalls muss durch geeignete 

Transformationen systematisch eine Lösungsmenge 

ermittelt werden. 

• Eine Menge F von logischen Formeln heißt 

erfüllbar wenn mindestens ein Modell existiert. 



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Philosophisches 

1. Platon hatte Recht mit seiner Einschätzung des 

Sokrates genau dann, wenn Sokrates kein großer 

Philosoph war. 

2. Wenn Sokrates ein großer Philosoph war, dann 

hatte Aristoteles Recht mit seiner Einschätzung des 

Platon. 

3. Aristoteles hatte nur dann Recht mit seiner 

Einschätzung des Platon, falls Platon Recht hatte 

mit seiner Einschätzung des Sokrates. 

• Übung: Existiert ein lösendes Modell α? 



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Lösungsansatz 

R 1 

P ⇔¬S 

P∧¬S 

R 2 

S A 

⇔ 

¬S∨A 

R 3 

A P 

¬A∨P 

F ≡ P∧¬S ∧¬S∨A∧¬A∨P 

• Sowohl mit einer Wahrheitstabelle als auch mit 

Hilfe von elementaren Umformungen in eine 

disjunktive Normalform (DNF) lässt sich zeigen, 

dass gilt ... 



17

Algorithmus für eine DNF 

1) Eliminiere → und ⇔ durch ihre Definition. 

2) Ersetze jede Teilformel ¬¬G durch G. 

3) Ersetze jede Form ¬(G∧H) durch ¬G∨¬H. 

4) Ersetze jede Form ¬(G∨H) durch ¬G∧¬H. 

5) Entstehen Ausdrücke der Form ¬¬K wende 2) an. 

6) Wiederhole 3) -5) so oft wie möglich. 

7) Ersetze jede Formel der Form G∧(H∨I) durch 

(G∧H)∨(G∧I). 

8) Ersetze jede Formel der Form (G∨H)∧I durch 

(G∧I)∨(H∧I). 

9) Wiederhole 7) und 8) so oft wie möglich. 



18

Klassischer Zusammenbruch 

• Die klassiche Logik gerät schnell in Konflikte mit 

Aussagen wie der des Epimenides: 

Dieser Satz ist falsch, sagt der notorische Lügner. 

– Ist der Satz wahr, hat er nicht gelogen. 

– Hat er jedoch gelogen, so ist der Satz wahr... 

Bob der Friseur rasiert genau die Männer, die sich 

nicht selbst rasieren. 

– Wer rasiert Bob? 

Dieser Satz ist falsch. 

All dies sind Beispiele des „Gödel Dilemmas“. 



19

Dreiwertige Logik 

• Łukasiewicz dreiwertige L 3 

-Logik gilt als Prototyp. 

• Neben 0 und 1 für wahr und falsch gibt es noch den 

Wert ½ für unbestimmt = unbekannt = indifferent. 

AND 0 ½ 1 

OR 0 ½ 1 

0 

0 0 0 

0 

0 ½ 1 

½ 

0 ½ ½ 

½ 

½ ½ 1 

1 

0 ½ 1 

1 

1 1 1 

• Lösungsidee: Die Belegung für 0 und 1 soll die 

klassische Logik widerspiegeln. 



20

Mehrwertige Logik 

• Die Idee drei auf n Wahrheitswerte zu L n 

auszudehnen 

ist eine nahe liegende Verallgemeinerung. 

• Vollkommen analog erhalten wir dann rationale 

Wahrheitswerte der Form {0,½,1}, {0,⅓, ⅔,1}, ... 

{0, 1/(n-1),…,(n-2)/(n-1),1} aus dem Interval [0,1]. 

• Erste Arbeiten hierzu gab es 1922 mit L ℵ 

für die 

rationalen Zahlen und mit L ∞ 

für alle reellen Zahlen 

aus dem Einheitsintervall. 

• Ähnliche Wahrheitswerte sind auch in den Gödel 

Logiken G k 

und G ∞ 

zu finden. Die Definition der 

logischen Operatoren unterscheidet sich... 



21

Natürliche Anforderungen 

• Mehrwertige Logiken dürfen für die Belegungen 0 

und 1 nicht im Widerspruch zur Boolschen Logik 

stehen. 

• Die AND und OR Operatoren sollen „vernünftigen 

algebraischen Anforderungen“ genügen. 

– Monotonie, Kommutativität und Assoziativität. 

– De Morgans Gesetze soll gelten. 

• Der Wahrheitsgehalt p=W(P) der Prämisse darf 

nicht höher sein, als der Wahrheitgehalt der 

Konklusion q=W(Q), d.h. p ≤ q und je wahrer die 

Prämisse, desto wahrer die Konklusion. 



22

Implikationsoperatoren 

• Der Implikationsoperator einer Regel P → Q ist 

eine zweiwertige Funktion I:[0,1]×[0,1] →[0,1]. 

• Seien p und q die Wahrheitswerte von P und Q so 

sind folgende Eigenschaften gewünscht: 

I 0, q = 1 

I 1,q = q 

I p , p = 1 

I p , q ≥ q 

I p , q = 1 ⇔ p≤q 

• Der Wahrheitsgehalt der Konklusion ergibt sich aus 

der Verkettung von Prämisse und Implikation. 



23

Gödel und Łukasiewicz Logik 

• Konjunktion (AND): 

• Disjunktion (OR): 

• Unterschiedlich sind Negation und Implikation. 

• Negation: 

¬ Gö 

x:= 

{ 1 x=0 

0 else 

x∧ y :=min x , y 

x∨ y :=max x , y 

¬ Luka 

x := 1−x 

• Implikation: 

{ 

p Gö 

q:= 1 

q 

p≤q 

else 

p Luka 

q:= min1,1− pq 



24

Implikationen 

• Die Łukasiewicz und Gödel Implikation führen zur 

unterschiedlichen Lösungsmengen. 

• Beispiel Implikationen für L 4 

und G 4 

. 

Luka 

p→q 0 ⅓ ⅔ 1 

Gödel 

p→q 0 ⅓ ⅔ 1 

0 

1 1 1 1 

0 

1 1 1 1 

⅓ 

⅔ 1 1 1 

⅓ 

0 1 1 1 

⅔ 

⅓ ⅔ 1 1 

⅔ 

0 ⅓ 1 1 

1 

0 ⅓ ⅔ 1 

1 

0 ⅓ ⅔ 1 



25

Übungen 

• Wie verhalten sich die Gödel und Łukasiewicz 

Logiken für Werte x,y ∈ {0,1}? 

• Wie verhält sich die doppelte Negation ¬(¬x) in den 

beiden Systemen? 

• Gilt Tertium non datur und Satz vom Widerspruch? 

W ¬x∧x=0 

W ¬x∨x=1 

• Gelten die klassische Implikationsbeziehungen 

p q⇔¬ p∨q⇔¬ p∧¬q 

für p,q ∈ {0,1} und p,q ∈ ]0,1[ , d. h. auf [0,1] ? 



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