Vorabiklausur 2012 - Sporenberg

Vorabiklausur 2012
LK Physik – Sporenberg – 27.02.2012
1. Aufgabe: Das Fadenstrahlrohr
Im Fadenstrahlrohr (siehe Abbildung 1) wird mit Hilfe einer Elektronenkanone ein scharf
gebündelter Elektronenstrahl erzeugt. Die Bahnkurve, auf der sich die Elektronen im
Fadenstrahlrohr bewegen, ist als blau leuchtende Kurve sichtbar. Mit einem
Helmholtzspulenpaar kann ein Magnetfeld zur Ablenkung des Elektronenstrahls erzeugt
werden. Bei geeigneter Justierung des Systems bewegen sich die Elektronen auf einer
Kreisbahn (siehe Abbildung 2).
1.1 a) Skizzieren Sie den Aufbau des Fadenstrahlrohres, insbesondere der
Elektronenkanone mit der entsprechenden elektrischen Schaltung.
Hinweis: Die Helmholtzspulen sowie deren Stromversorgung sollen nicht skizziert werden.
b) Erläutern Sie, wie der Elektronenstrahl erzeugt wird.

c) Erläutern Sie, warum die Bahnkurve, auf der sich die Elektronen bewegen, sichtbar ist.
1.2 Die Abbildung 2 zeigt die Fotografie einer Bahnkurve, auf der sich Elektronen im
Fadenstrahlrohr durch das homogene magnetische Feld des Helmholtzspulenpaares
bewegen.
a) Skizzieren Sie eine kreisförmige Bahnkurve und für ein einzelnes Elektron in einem
beliebigen Punkt dieser Bahnkurve den Geschwindigkeitsvektor → v
wirkende Zentripetalkraft
F →
z
, die auf das Elektron
sowie das für die Kreisbahn erforderliche magnetische Feld.
b) Begründen Sie, warum der Betrag der Geschwindigkeit konstant ist.
c) Begründen Sie, warum sich eine kreisförmige Bahnkurve ergibt.
1 2mU
B
1.3 Der Radius r der kreisförmigen Bahnkurve kann gemäß r = berechnet
B e
werden.
(e bezeichnet die Elementarladung, m die Masse des Elektrons, U B die
Beschleunigungsspannung und B die Stärke des magnetischen Feldes.)
Leiten Sie diese Formel her und erläutern Sie Ihren Ansatz.
1.4 a) Überprüfen Sie, unter welchen Randbedingungen die sachliche Richtigkeit der
folgenden Aussagen zur Bewegung von Elektronen im Fadenstrahlrohr gegeben ist.
(1) „Wird die Beschleunigungsspannung U B vergrößert, so wird die Geschwindigkeit v 0 , mit
der die Elektronen die Elektronenkanone verlassen, größer.“
(2) „Wenn v 0 größer wird, dann wird auch die auf die Elektronen wirkende
Lorentzkraft F L größer.“
(3) „Wenn die Lorentzkraft F L größer wird, wird der Kreisbahnradius r kleiner.“
1.4 b) Werden die Aussagen (1) bis (3) des Aufgabenteils a) hintereinander gelesen, so
legen sie (insgesamt) den folgenden Schluss nahe:
(1) – (3) „Eine Vergrößerung der Beschleunigungsspannung U B hat eine
Verkleinerung des Kreisbahnradius r zur Folge.“
Diskutieren Sie, warum diese Schlussfolgerung falsch ist.
1.5 In einem Experiment ermittelt man bei einer Beschleunigungsspannung von U B = 200 V
den Radius r der kreisförmigen Bahnkurve der Elektronen in Abhängigkeit von der Stärke B
des magnetischen Feldes. Es ergeben sich folgende Messwerte:
B in mT 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
r in cm 4,8 4,0 3,4 3,0 2,6 2,4
a) Ermitteln Sie anhand der Messwerte den Zusammenhang zwischen dem Kreisbahnradius
r und der Stärke B des magnetischen Feldes, indem Sie diese in ein geeignetes Diagramm
eintragen und auswerten.

) Bestimmen Sie anhand der Auswertung der Messwerte und der in Teilaufgabe 1.3
e
angegebenen Beziehung einen Wert für die spezifische Ladung des Elektrons.
m
2π m
1.6 Zeigen Sie, dass die Umlaufzeit T der Elektronen im Fadenstrahlrohr gemäß T =
eB
berechnet werden kann und somit unabhängig von der Geschwindigkeit v der Elektronen
ist.
2. Aufgabe:
I. Hypothetischer Protonenbeschleuniger
In der Quelle Q werden ruhende Protonen mit
Hilfe der Spannung U 0 auf die Geschwindigkeit v 0
= 1,4· 10 5 m/s beschleunigt.
Anschließend treten sie bei A in den
Protonenbeschleuniger ein. Dort werden sie durch
ein homogenes Magnetfeld der Stärke B = 5,0
mT auf die abgebildete Bahn gezwungen. Dabei
sind die beiden Strecken [AB] und [CD]
magnetfeldfrei. Auf diesen beiden Strecken
werden sie durch die Spannungen U AB bzw. U CD so
beschleunigt, dass sich ihre Geschwindigkeiten
jeweils verdoppeln.
Die Bahnabschnitte BC und DA werden als
Kreisbogen mit den Radien r bzw. R angesehen.
Relativistische Effekte sollen bei den
Berechnungen unberücksichtigt bleiben.
a)Bestimmen Sie die Beschleunigungsspannung
U 0 .
Zunächst soll die Bewegung der Protonen im ersten Umlauf betrachtet werden.
b)Ermitteln Sie die Spannung U AB , den Radius r und die Zeit, die ein Proton für den
Kreisabschnitt BC benötigt. Wie ist das Magnetfeld orientiert?
c)Zeigen Sie, dass R = 2· r gelten muss, damit sich die Protonen auf der vorgegebenen
Bahn bewegen.
Nach jeweils einem Umlauf der Protonen muss die magnetische Flussdichte B des
Magnetfeldes nachreguliert werden, damit sich die Protonen weiter auf der Sollbahn
bewegen.
d)Ermitteln Sie den Faktor, um den die magnetische Flussdichte B von Umlauf zu Umlauf
verändert werden muss.
Abschließend soll diskutiert werden, ob dieser Beschleuniger realisierbar ist. Dazu wird der
vierte Umlauf betrachtet.
e)Ermitteln Sie die Geschwindigkeiten der Protonen in den Punkten C und D. Berechnen Sie
die dafür notwendige Beschleunigungsspannung U CD . Interpretieren Sie diese Ergebnisse im
Hinblick auf die Realisierbarkeit dieses Beschleunigers.

II. Massenspektrograph
Eine Ionenquelle liefert Ionen (Masse m; Ladung q > 0; v < 0,1c) unterschiedlicher
Geschwindigkeit. Das Blendensystem im Punkt P 0 lässt nur Ionen in das homogene Kondensatorfeld
(Feldstärke E, Breite d 1 ) eintreten, die sich in Richtung der positiven x-Achse
bewegen.
Das Blendensystem im Punkt P 1 wiederum lässt nur diejenigen aus dem Kondensator
austreten, die um 45° nach unten abgelenkt wurden. Diese Ionen treten dann in einen
Raum mit homogenem Magnetfeld (Flussdichte B, Breite d 2 ) ein. Das Blendensystem im
Punkt P 2 bewirkt, dass der Detektor nur Ionen registriert, deren Geschwindigkeitsvektor in
P 2 mit der x-Achse einen Winkel von 45° einschließt.
a)Weisen Sie durch Rechnung nach, dass das Blendensystem bei P 1 nur solche Ionen
qEd1
durchlässt, die bei P 0 mit der Geschwindigkeit v0 = in das System eintreten.
m
b)Berechnen Sie den Abstand des Punktes P 1 von der x-Achse in Abhängigkeit von d 1 .
c)Zeigen Sie durch Rechnung, dass Ionen der Anfangsgeschwindigkeit v 0 (vgl. Teilaufgabe
a) beim Eintritt in das Magnetfeld im Punkt P 1 die Geschwindigkeit v
1
= v 0
2 haben.
d)Leiten Sie her, wie man aus E, B, d 1 und d 2 die spezifische Ladung q/m jener Ionen
bestimmen kann, die im Detektor nachgewiesen werden.
Hilfsmittel: Taschenrechner und Formelsammlung
Viel Erfolg!!!

Lösung
1.Aufgabe:
1.1 a) Die Skizze zeigt den prinzipiellen Aufbau eines Fadenstrahlrohres mit der darin
befindlichen „Elektronenkanone“. Auf die (Wasserstoff-)Gasfüllung mit geringem
Dampfdruck wird hingewiesen.
Die Anschlüsse und Polungen von U Heizung und U Beschleunigung sowie das Potential
des Fokus sind angegeben.
1.1 b) Ein Netzgerät liefert die Heizspannung, die Spannung für den Fokus und die
Anodenspannung für die Beschleunigung der Elektronen.
Durch die Heizung wird die (Metall-)Kathode zum Glühen gebracht, dadurch
treten Elektronen aus dieser aus (glühelektrischer Effekt). Die aus der Kathode
ausgetretenen Elektronen haben (zunächst) eine vernachlässigbar kleine
Geschwindigkeit v Kathode ≈ 0 . Im elektrischen Feld zwischen (negativer) Kathode
und (positiver) Anode werden die Elektronen beschleunigt, sie fliegen also mit
zunehmender Geschwindigkeit auf die Anode zu. Auf dem Weg von der Kathode
zur Anode werden die Elektronen durch einen negativen Fokushohlzylinder auf
der Mittelachse der Anordnung konzentriert. Wegen dieser Richtungsfokussierung
sowie ihrer hohen Geschwindigkeit „fliegen“ die Elektronen durch die Anodenbohrung
hindurch und verlassen somit (als eng gebündelter Elektronenstrahl) die
Elektronenkanone.
1,1 c) In dem evakuierten Glaskolben befindet sich Wasserstoffgas unter geringem Druck.
Die Gasmoleküle werden durch die Elektronen des Elektronenstrahls durch Stoßanregung
zum Leuchten gebracht. Dadurch wird die Bahn der Elektronen sichtbar.

1.2a)
1.2 b) Auf Elektronen, die sich in einem Magnetfeld bewegen, wirkt die Lorentzkraft.
Nach der „Drei-Finger-Regel“ (oder gemäß
Damit ist
→
v =
const
.
→
F Lorentz
→
→
= e v x B ) gilt stets
→
F Lorentz
⊥
→
v
1.2 c) Da auch |B | = const ist, muss gemäß F Lorentz = e v B sin(90 o ) auch |F Lorentz | = const
sein. Wirkt eine dem Betrage nach konstante Kraft auf ein Teilchen und steht diese
Kraft stets senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor, so bewegt sich das Teilchen auf
einer Kreisbahn, und zwar mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag.
1,3 Da sich das Elektron auf einer Kreisbahn bewegt, muss die Zentripetalkraft F Z mit
2
m v
F Z
= wirken. Diese wird hier durch die Lorentzkraft gestellt. Damit gilt: F Z = F Lorentz .
r
2
m v
m v
Somit folgte: = e v B ⇒ = e B (*)
r
r
Da sich die Geschwindigkeit v des Elektrons auf der Kreisbahn nicht mehr ändert, ist v
gleich der Geschwindigkeit v o , mit der ein Elektron die Elektronenkanone verlässt. Diese
Geschwindigkeit kann mit Hilfe einer Energiebetrachtung ermittelt werden.
W
W
kin,
Kathode
kin,
Anode
=
≈
0
1
2
m v
und
2
o
und
W
pot,
Kathode
W
pot,
Anode
=
=
e U
0
B

Mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes ergibt sich der Ansatz:
1 2
e
mvo
= eU
B
⇒ vo
= 2 U
B
2
m
Mit v = v o und der Gleichung (*) folgt:
e
2 e
m 2 U
B
m 2 U
B
m
m
2 2 m 2 U
B
= e B ⇒
= e B bzw,
= e B
2
2
r
r
r
und
somit
die
gesuchte
Beziehung :
r
=
1
B
2
e
1.4a) zu (1) Diese Aussage ist gemäß v0 = 2 U
B
ohne Einschränkung richtig.
m
zu (2) Diese Aussage ist gemäß F Lorentz = e v B richtig, wenn die Stärke B des
magnetischen Feldes der Helmholtzspulen nicht verändert werden.
2
m v
Zu (3). Da F L hier die Zentripetalkraft stellt, ist die Aussage gemäß F Lorentz
= richtig,
r
solange m und v sich nicht ändern (bzw. solange das Produkt m v 2 nicht stärker wächst als
die Lorentzkraft F L ).
1 2 m U
B
1.4 b) Die Schlussfolgerung ist falsch, denn gemäß r = wird r mit wachsendem
B e
U B größer.
Mit der Vergrößerung von U B wird zwar tatsächlich v o und damit auch F Lorentz größer, es ist
2
m v
aber gemäß F Lorentz
= auch eine größere Zentripetalkraft erforderlich, um das Elektron
r
mit der erhöhten Geschwindigkeit auf die (gleiche) Kreisbahn zu zwingen. Da F Z
quadratische mit v wächst, F Lorentz aber nur linear zu v wächst, kann die schneller
anwachsende Zentripetalkraft nicht mehr von der weniger stark wachsenden Lorentzkraft
gestellt werde; der Kreisbahnradius wird also größer.
m U
1,5 a) Die Anfertigung eines 1/B-r-Diagramms ergibt die folgende Grafik:
e
B
2

Es ergibt sich (näherungsweise) eine Ursprungsgerade. Somit ist r ∼ 1/B.
Die Steigung der Ausgleichsgeraden beträgt
4,8 cm
m =
=
1
1
mT
Also gilt : r =
4,8 ⋅10
− 5
4,8 ⋅10
T ⋅ m
− 5
T ⋅ m ⋅
1
B
1.5 b)
Gemäß
r
=
1
B
2 m U
e
B
ist
die
Steigung
m =
2 m U
e
B
2 m U
B
⇒ m =
=
e
2 m U
B
somit gilt :
e
4,8 ⋅10
− 5
T ⋅ m
= ( 4,8 ⋅10
− 5
T ⋅ m)
2
Mit diesem Ergebnis ergibt sich für die spezifische Ladung ein Wert von
m
2 U
2 ⋅ 200V
=
= 1,74⋅10
− 5 2
5 2
(4,8 ⋅10
T ⋅ m)
(4,8 ⋅10
T ⋅ m)
e B 11
=
−
C
kg
1.6 Da das Elektron eine gleichförmige Kreisbewegung durchläuft, kann die Umlaufdauer T
2 π r
gemäß T = berechnet werden.
v
m v
r
2
= ev B ⇒
m v
r
Einsetzen ergibt : T =
=
e B und damit v =
2 π r m 2 π m
=
r e B e B
r e B
m
2.Aufgabe
I.
a)
b)
Berechnung von U AB :
Die Geschwindigkeit v B bei B ist doppelt so groß wie v 0 : v B = 2· v 0

Somit ist die kinetische Energie bei B viermal so groß wie bei A. Die Spannung U AB muss
also den Zuwachs 3· E kin,A erbringen. Somit gilt
U A,B = 3· U 0 => U A,B ≈ 0,32 kV
Berechnung von r:
Zentripetalkraft = Lorentzkraft
Berechnung der Zeit für einen Viertelkreis:
Mit der UVW-Regel der rechten Hand (Daumen in Bewegungsrichtung, Zeigefinger in
Magnetfeldrichtung, Mittelfinger in Richtung der Zentripetalkraft) ermittelt man, dass da
Magnetfeld senkrecht in die Papierebene gerichtet sein muss.
c) Da die Geschwindigkeit bei D doppelt so hoch sein soll wie bei B, gilt:
d) Damit die Radien eingehalten werden können muss B erhöht werden. Die
Geschwindigkeit bei B beim ersten Umlauf sei v B,1 , beim zweiten Umlauf v B,2 . Dann gilt:
da bei einem Umlauf zwei Geschwindigkeitsverdoppelung stattfinden. Damit der
Radius r festbleiben kann, muss wegen der Quotient konstant bleiben. Dies
bedeutet, dass die Flussdichte von Umlauf zu Umlauf um den Faktor 4 gesteigert werden
muss.
e) Nach drei Runden gilt v A,3 = 4 3· v 0 = 64· v 0
Damit ergibt sich für v C,3 = 2· v A,3 ; v C,3 = 128· 1,4· 10 5 m/s = 1,8· 10 7 m/s
Für v D,3 gilt: v D,3 = 2· v C,3 ; v D,3 = 256· 1,4· 10 5 m/s = 3,6· 10 7 m/s (≈ 0,1· c)
Für die Zunahme der kinetischen Energie von C nach D beim dritten Umlauf gilt:
II.
a) Für x = d 1 ist v x = v y = v o (wegen 45 o – Winkel – gleichschenkliges Dreieck)
v
da v
v
x
0
=
=
x
∆ t
y
; v
=
v
y
x
=
=
q d1
⋅ E ⋅
m v
q
⋅ E ⋅ ∆ t ⇒
m
0
v
0
⇒
ist,
ergibt
v
2
0
=
v
y
=
q
m
sich :
q
⋅ E ⋅ d1
m
⋅ E ⋅
⇒
x
v
x
v
=
o
=
q d1
⋅ E ⋅
m v
x
⇒
q
⋅ E ⋅ d1
m

) y = 0,5 d 1
c) v 12 = v o
2
+ v o2 = 2 v o2 (siehe a) ⇒
v 1 = v o √⋅2
d) Aus der Geometrie der Anordnung (90 o – Ablenkung)
Man hat ein gleichschenkliges Dreieck mit den Basiswinkeln 45 0 , die Basis ist d 2 , die
Schenkel haben die Länge r. Mit Hilfe der Cosinusfunktion erhält man:
d
2
Cos 45 =
2
r
⇒ r =
0 d1
2
d) Außerdem gilt Lorentzkraft = Zentripetalkraft und Ergebnis von a) und c) ergibt

2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
0
1
1
2
1
1
4
:
,
,
2
2
:
,
2
2
:
,
(2)
2
(2)
2
(1)
2
2
(1)
B
d
d
E
m
q
man
erhält
so
steht
m
q
Seite
einen
der
auf
dass
so
um
jetzt
man
Formt
m
d
B
q
m
d
E
q
gilt
so
jetzt
man
Quadriert
d
m
B
q
m
d
E
q
man
erhält
so
ein
in
r
für
dies
man
Setzt
d
r
gilt
Weiter
m
r
B
q
m
d
E
q
in
eingesetzt
m
d
E
q
v
v
und
m
r
B
q
v
r
m v
B
v
q
F
F
Z
L
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
=
=
=
=
=
=
⇒
=
⇒
=