¨Ubungen zur Theoretischen Physik II (Elektrodynamik) bitte wenden
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Übungen <strong>zur</strong> <strong>Theoretischen</strong> <strong>Physik</strong> <strong>II</strong> (<strong>Elektrodynamik</strong>)<br />
Prof. Dr. S. Marculescu, M. Jung, Ch. Klein SoSe 2007<br />
Blatt 3 — Abgabe: 04.05.2007 — Besprechung: Dienstag, 08.05.2007, 10:15 Uhr<br />
Übungsblätter online: http://www.tp1.physik.uni-siegen.de/exercises/<br />
Aufgabe 9: Potenzial einer homogen geladenen Kugel<br />
Bestimmen Sie das elektrostatische Potenzial Φ(r) einer homogen geladenen Kugel<br />
mit Radius R und Ladungsdichte ρ 0 über das Coulombintegral. Legen Sie dazu r in<br />
z-Richtung und führen Sie das Integral in Kugelkoordinaten aus.<br />
Aufgabe 10: Punktladung vor geerdeten Metallplatten<br />
Das Gebiet<br />
B = {r|x ≥ 0, y ≥ 0, −∞ < z < ∞}<br />
sei bei x = 0 und y = 0 durch geerdete Metallplatten begrenzt. Innerhalb von B<br />
befinde sich eine Punktladung q bei (x, y, z) = (a, b, 0).<br />
(a) Bestimmen Sie das Potenzial Φ(r) in B mit Hilfe von drei symmetrisch verteilten<br />
Bildladungen.<br />
(b) Bestimmen Sie die Flächenladungsdichte und die Gesamtladung auf den Platten.<br />
(c) Welche Kraft wirkt auf die Punktladung?<br />
Hinweise:<br />
• Es gilt die Relation<br />
( ( a b<br />
arctan + arctan =<br />
b)<br />
a)<br />
π 2 .<br />
Aufgabe 11: Punktladung vor Metallkugel<br />
Außerhalb einer geerdeten, leitenden Hohlkugel mit Radius R befinde sich eine Punktladung<br />
q im Abstand a zum Mittelpunkt.<br />
(a) Berechnen Sie das Potenzial Φ(r) überall im Raum mit Hilfe der Spiegelladungsmethode.<br />
(b) Bestimmen Sie die Ladungsdichte und die Gesamtladung auf der Oberfläche.<br />
<strong>bitte</strong> <strong>wenden</strong>
(c) Es sei nun die Kugel nicht mehr geerdet, sondern isoliert, und ihre Gesamtladung<br />
verschwinde. Diesem Umstand soll Rechnung getragen werden, indem<br />
eine weitere Spiegelladung q ′′ = −q ′ in der Mitte der Kugel hinzugefügt wird<br />
(q ′ bezeichnet die Ladung der Spiegelladung aus (a)). Geben Sie das Potenzial<br />
in diesem Fall an und berechnen Sie den Wert des Potenzials auf der Kugel.<br />
(d) Mit welcher Kraft zieht die Kugel die Ladung q an?<br />
Hinweise:<br />
• Ver<strong>wenden</strong> Sie Symmetrieargumente, um die Position der Spiegelladung auf eine<br />
Achse festzulegen.<br />
• Die Randbedingung an das Potenzial lässt sich am einfachsten auswerten, wenn<br />
man sie an speziellen Punkten betrachtet.<br />
Aufgabe 12: Randwertproblem mit Metallplatten<br />
Das Gebiet<br />
B = {r|0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, −∞ < z < ∞}<br />
sei durch Metallplatten begrenzt. Die beiden Platten bei x = 0 und x = a seien<br />
geerdet, die beiden anderen bei y = 0 und y = b seien auf dem Potenzial Φ 0 .<br />
(a) Begründen Sie, warum Φ(r) = Φ(x, y) gelten muss.<br />
(b) Lösen Sie die Laplacegleichung im Inneren des Bereiches B mit dem Separationsansatz<br />
Φ(x, y) = X(x)Y (y) und werten Sie die Randbedingungen aus.<br />
(c) Zeigen Sie, dass Sie im Grenzfall b → ∞ die Fourier-Reihe erhalten, die in der<br />
Vorlesung zum Teil behandelt wurde.<br />
(d) Diese Reihe soll aufsummiert werden. Führen Sie dazu die komplexe Variable<br />
Z = exp [ i π(x + iy)] ein und schreiben Sie die Lösung in der Form<br />
a<br />
( )<br />
Φ(x, y) = 4Φ 0 ∑<br />
π Im Z n<br />
.<br />
n<br />
(e) Ver<strong>wenden</strong> Sie nun die Gleichung<br />
∑<br />
2<br />
n=1,3,5,...<br />
n=1,3,5,...<br />
Z n<br />
n = ln 1 + Z<br />
1 − Z<br />
und berechnen Sie das Argument der Zahl 1+Z<br />
1−Z (in der Darstellung z = reiφ für<br />
komplexe Zahlen).<br />
Hinweise:<br />
• Es gilt<br />
∫ a<br />
0<br />
( mπx<br />
)<br />
dx sin =<br />
a<br />
{<br />
0, falls m=2,4,6,...<br />
2a<br />
, falls m=1,3,5,...<br />
πm