Zinsmodellierung im Solvency II kompatiblen Standardmodell

Zinsmodellierung im Solvency 

II kompatiblen Standardmodell 

– Black Karasinski oder Cox Ingersoll 

Ross? 

Dr. Ulrich Gauß 

Leiter ALM 

Allianz Deutschland AG – Investment Controlling Life/Health

Ziel und Grundideen des Solvency II kompatiblen 

Standardmodells 

Aufsichtsleiter zur Reduktion prozyklischer Handlungen 

• Forderung ASM ≥ SCR, mindestens aber ASM ≥ MCR 

Vorhandene 

Risikomittel 

(ASM: Available 

Solvency Margin) 

Benötigtes Risikokapital 

(SCR: Solvency Capital 

Requirement) 

Aufsichtsleiter 

Minimum Capital 

Requirement (MCR) 

• Zwei unterschiedliche Verfahren zur Berechnung des erforderlichen 

Risikokapitals: Standardansatz versus interne Modelle 

• Förderung der Bedeutung eines aktiven internen Risikomanagements 

11.07.2006© Copyright Allianz 10.07.2006 2 

Universität zu Köln: Zinsmodellierung

Bestimmung des vorhandenen Risikokapitals (ASM) bei Leben 

Eigenkapital 

freie RfB 

ASM als Summe … 

SÜA-Fonds 

Alle passivischen 1) 

und aktivischen stillen 

Reserven 

1) 

Bewertung des versicherungstechnischen Cash-Flow (garantierte 

Leistungen) mit 15jähriger Euro-Swap-Rate 

Berechnung des Marktwertes Passiva mit Hilfe des Durationsansatzes 



Bestimmung des benötigten Risikokapitals (SCR) bei Leben 

G1 

Kapitalanlagenrisiko 

L 

Kalkulationsrisiko 

SCR = 

( G 1 + E 1 ) 2 + L 2 + G 2 

2 

– E 1 

E 1 = erwarteter Ertrag 

innerhalb der G 1 -Risiken 

G2 

Allg. Geschäftsrisiko 

Annahme der Unkorreliertheit führt zu Diversifikationseffekten 



Kapitalanlagerisiko G1 

Kredit- und Bonitätrisiko: 

nur bei Fixed Income Titeln 

Marktänderungsrisiko: Kursänderungsrisiko bei Aktien, Immobilien 

Zinsänderungsrisiko unter ALM-Aspekten 

Fremdwährungsrisiko nur bei Immobilien 

und Fixed Income Titeln unter Annahme 

der Normalverteilung 

Konzentrationsrisiko: analog Grenzen nach Anlageverordnung 

Alle Assetklassen müssen Aktien, Renten oder Immobilien 

zugeordnet werden (analog Stresstest) 



Grundidee zur Modellierung des Zinsänderungsrisikos 

SCR Zinsanstieg 

= Marktwertverlust Aktiva – Marktgewinn Passiva 

bzw. 

+ Stornoquote x stille Reserven Passiva nach Zinsschock 

SCR Zinsrückgang 

= Marktwertverlust Passiva – Marktgewinn Aktiva 

(jeweils im Zinsschock) 

• Bestimmung der Marktwertänderung mit Hilfe des Durationsansatzes: 

Marktwertänderung = Marktwert x Zinsschock x mod. Duration 

• Modellierung des Zinsschockes mit Hilfe eines Zinsmodells nach Black 

Karasinski 



Die Bedeutung des Zinsänderungsrisikos 

- Zerlegung des G1-Risikos 

23 -589 

1.055 

1.000 

297 

147 

68 

G1 

Zinsänderung 

Adressen Immobilien Aktien z. Zt. = Währung Diversifikation 

Zinssenkung 

Zinssenkungsrisiko z.Zt. bei Lebensversicherer dominierend 



Das Modell nach Cox Ingersoll Ross 

dr = κ (µ - r) dt+ σ r 1/2 dZ, Z~N(0,1) 

r t 

= r t-1 + κ (µ - r t-1 ) + σ r t-1 

1/2 

ε t , ε t ~N(0,1) 

κ = Driftrate, µ = langfristiges Mittel 

Stets positive Zinsen 

Unterstellt Mean Reversion 

Schätzung der Parameter z.B. mit Least Square Methode 

Renditen sind „nicht zentral Chi-Quadrat“ verteilt: (r t |r t -1) ~Χ² 

Approximation mit Normalverteilung bei jährlicher Schrittweise 

problematisch 



Ein Ansatz nach Black Karasinski 

dLn(r) = κ (µ - Ln(r)) dt +σ dZ, Z~N(0,1) 

Ln(r t ) = Ln(r t-1 ) + κ (µ -Ln(r t-1 )) + σ ε t , ε t ~N(0,1) 

r t = exp{ Ln(r t-1 ) + κ (µ -Ln(r t-1 )) + σ ε t }, ε t ~N(0,1) 

Stets positive Zinsen, da logarithmisches Modell 

Unterstellt Mean Reversion 

Schätzung der Parameter z.B. mit Least Square Methode 

Renditen sind lognormalverteilt (rechtsschief und heavy-tailed) 

Korrekte Abbildung der Wahrscheinlichkeitsverteilung in Excel 



Ein Ansatz nach Black Karasinski - Beispiel 

ln ( Rendite) 

Mittlerer Zinssatz ln (4,88%) 

ln ( r 0 

) 

ln ( r 0 

) 

Trend 20% 

Vola 19% 

Beispiel 1 Beispiel 2 



Mögliche Parameter bei Black Karasinski 

jährliche REX-Daten (01.01) 

von bis kappa mu sigma exp(mu) 

1971 2005 12,80% -283,6% 15,1% 5,87% 

1972 2005 12,67% -286,0% 15,2% 5,73% 

1973 2005 12,67% -286,0% 15,4% 5,73% 

1974 2005 12,61% -296,7% 15,5% 5,14% 

1975 2005 14,36% -290,6% 15,5% 5,47% 

1976 2005 15,83% -290,7% 15,6% 5,47% 

1977 2005 15,58% -290,7% 15,9% 5,47% 

1978 2005 15,44% -290,6% 16,2% 5,47% 

1979 2005 14,50% -289,5% 16,4% 5,53% 

1980 2005 14,58% -290,7% 16,7% 5,46% 

Prozentwerte, also für den 

1981 2005 15,22% -295,0% 16,6% 5,24% 

1982 2005 18,08% -296,1% 16,5% 5,18% 

1983 2005 23,07% -295,4% 16,3% 5,21% 

1984 2005 18,36% -296,8% 16,5% 5,14% 

1985 2005 21,92% -297,9% 16,4% 5,08% 

1986 2005 19,91% -298,2% 16,8% 5,07% 

1987 2005 19,02% -297,6% 17,2% 5,10% 

1988 2005 18,98% -297,5% 17,7% 5,10% 

1989 2005 19,22% -300,5% 18,0% 4,95% 

1990 2005 20,07% -302,2% 18,5% 4,87% 

1992 2005 30,97% -306,4% 17,3% 4,67% 

1995 2005 44,44% -304,3% 18,9% 4,77% 

2000 2005 99,77% -308,6% 14,7% 4,57% 

Vereinbarung: Wähle 15-Jahreszeitraum und runde Ergebnisse 

der Schätzung auf ganzzahlige 

betrachteten Zeitraum: 

κ = 20% µ = - 302% (exp(µ) = 4,88%) σ = 19% 



Vergleich der Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit 

Parametern für 1990-2005 bei Startzins 3,75% 

100% 

80% 

60% 

Parametrisierung CIR: 

µ = 4,5% σ = 5,0% κ = 15% 

Parametrisierung BK: 

exp(µ) = 4,88% σ = 19% κ = 20% 

40% 

20% 

Black Karasinski 

Cox Ingersoll Ross 

0% 

1,0% 2,0% 3,0% 4,0% 5,0% 6,0% 7,0% 





100,0% 

99,5% 

99,0% 

CIR: 6,36% 

BK: 6,45% 

Black Karas inski 

98,5% 

Cox Ingersoll 

Ros s 

99,5% 

98,0% 

6,0% 6,6% 7,2% 7,8% 8,4% 9,0% 





4,0% 

3,5% 

3,0% 

2,5% 


Cox Ingersoll Ross 

0,50% 

2,0% 

1,5% 

1,0% 

0,5% 

CIR: 1,37% 

BK: 2,42% 

0,0% 

0,0% 0,6% 1,2% 1,8% 2,4% 3,0% 



Entwicklung der Parameter und der Schockzinsen 

von bis κ µ σ exp(µ) Startzins 0,5%-Quantil Diff. 99,5%-Q. Diff. 

01.01.1985 01.01.2000 48% -278% 16% 6,22% 5,73% 3,90% -1,83% 9,09% 3,36% 

01.01.1986 01.01.2001 42% -280% 17% 6,06% 5,50% 3,71% -1,79% 8,86% 3,36% 

01.01.1987 01.01.2002 38% -281% 17% 6,02% 5,25% 3,57% -1,67% 8,56% 3,31% 

01.01.1988 01.01.2003 31% -286% 18% 5,75% 4,40% 3,02% -1,38% 7,56% 3,17% 

01.01.1989 01.01.2004 28% -290% 18% 5,50% 4,39% 2,96% -1,43% 7,38% 2,99% 

01.01.1990 01.01.2005 20% -302% 19% 4,87% 3,75% 2,45% -1,30% 6,37% 2,62% 

01.01.1991 01.01.2006 17% -316% 18% 4,23% 3,45% 2,22% -1,23% 5,72% 2,27% 

Entwicklung der Schockzinsen 

10 

9 

8 

7 

6 

99,5%-Quantil 

Startzins 

0,5%-Quantil 

% 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 



Sensitivitäten bezüglich Startzins für das Modell nach 

Black Karasinski (bei unveränderten Parametern) 

Start 0,5%-Quantil 99,5%-Quantil 

3,75% 2,42% 6,45% 

3,50% 2,29% (- 13BP) 6,10% (- 35BP) 

3,25% 2,16% (- 26BP) 5,75% (- 70BP) 

3,00% 2,03% (- 39BP) 5,39% (- 106BP) 



Sensitivitäten bezüglich Startzins im Vergleich der 

Modelle (bei unveränderten Parametern) 

Start 0,5%-Quantil (BK) 0,5%-Quantil (CIR) 

3,75% 2,42% 1,37% 

3,50% 2,29% (- 13BP) 1,24% (- 13BP) 

3,25% 2,16% (- 26BP) 1,12% (- 25BP) 

3,00% 2,03% (- 39BP) 0,99% (- 38BP) 



Ergebnisse für ein Standardunternehmen im 

Vergleich 

Für ein Standardunternehmen zeigen sich starke Auswirkungen der 

Zinsmodellierung auf die Überdeckung (Ausgangszins: 3,75%) 

Zinsmodell 


Zinsrückg. 

Zinsanst. 

ASM / SCR 

-1,33 + 2,70 187% 

BK Parameter Zeitraum 1.1.89-1.1.04 -1,12 + 2,89 213% 

CIR 1) µ = 4,5% κ = 15% σ = 5% -2,38 + 2,61 113% 

CIR 2) µ = 4,88% κ = 20% σ = 4,95% -2,24 + 2,70 119% 

CIR 3) µ = 5,1% κ = 14,7% σ = 4,84% -2,22 + 2,61 120% 

CIR 4) µ = 5,07% κ = 26% σ = 4,86% -2,08 + 2,77 127% 

1) Vorschlag der GDV-Arbeitsgruppe, basierend auf Zeitraum 

1.1.89 – 1.1.04, µ angepasst 

2) Parameter passend zu BK-Parametrisierung 

3) Parameter gemäß Schätzung 1.1.89 – 1.1.04 

4) Parameter gemäß Schätzung 1.1.90 – 1.1.05 



Danke für Ihre 

Aufmerksamkeit. 

ulrich.gauss@allianz.de

Zinsmodellierung im Solvency II kompatiblen Standardmodell

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