Pyramide - problemloesenlernen.de
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Aufgabe 1: Die <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong>n von Gizeh<br />
Nach <strong>de</strong>r so genannten Frühzeit (2850 - 2600 v. Chr.) setzte gleich als erster kultureller Höhepunkt<br />
<strong>de</strong>r Bau <strong>de</strong>r großen <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong>n, welches Grabmäler <strong>de</strong>r altägyptischen Könige (Pharaonen) sind, ein.<br />
Am bekanntesten sind die rechts abgebil<strong>de</strong>ten<br />
<strong>Pyrami<strong>de</strong></strong>n von Gizeh, die zu <strong>de</strong>n sieben Weltwun<strong>de</strong>rn<br />
zählen. Beigesetzt sind hier die<br />
Könige Cheops, Chefren und Mykerinus.<br />
Die größte, interessanteste und auch geheimnisvollste<br />
davon ist die Cheops-<strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> (siehe<br />
Abbildung rechts), die um 2530 v. Chr. von König<br />
Cheops, einem <strong>de</strong>r größten Pharaonen <strong>de</strong>r 4.<br />
Dynastie, auf <strong>de</strong>m Kalkplateau von Gizeh, in <strong>de</strong>r<br />
Nähe <strong>de</strong>s heutigen Kairo, erbaut wur<strong>de</strong>.<br />
Stehst du neben ihr, dann kommst du dir wie eine Ameise vor einem Ameisenhaufen vor und wenn du<br />
um sie herum läufst, musst du ungefähr einen Weg von 921 Meter zurücklegen. Ihre Grundfläche ist<br />
so groß wie neun Fußballfel<strong>de</strong>r und ihre einstige Höhe betrug 146,6 Meter. Heute sind das jedoch<br />
rund 10 Meter weniger, da in <strong>de</strong>n letzten Jahrhun<strong>de</strong>rten viele Steine verwittert sind o<strong>de</strong>r für <strong>de</strong>n Bau<br />
von Palästen und Moscheen gestohlen wur<strong>de</strong>n.<br />
a) Welches Volumen besaß die Cheops- <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> ursprünglich? Fertige hierzu eine<br />
maßstabsgetreue Schrägbildzeichnung an!<br />
b) Welches Volumen besitzt die Cheops- <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> heute? Um wie viel Prozent hat das Volumen<br />
durch die Verwitterung und Räubereien abgenommen?<br />
c) Betrachte <strong>de</strong>n nebenstehen<strong>de</strong>n <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong>nstumpf.<br />
Wie kann ein <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong>nstumpf mit zwei quadratischen Grundflächen<br />
in dir bekannte Teilkörper zerlegt wer<strong>de</strong>n? Skizziere die entstan<strong>de</strong>n<br />
Teilkörper einzeln als Schrägbild!<br />
Kannst du nun eine allgemeine Formel für die Volumenberechnung<br />
dieses <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong>nstumpfes in Abhängigkeit <strong>de</strong>r bei<strong>de</strong>n Grundseiten a<br />
und b und <strong>de</strong>r Höhe h angeben?
Lösung:<br />
Aufgabe 1.a)<br />
U = 921 m = 4⋅<br />
a ⇒ a = 230, 25m<br />
h = 146, 6m<br />
V<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
2<br />
ursprüngli ch<br />
= ⋅G<br />
⋅ h = ⋅a<br />
⋅h<br />
=<br />
2.590.669,39m<br />
Das Volumen <strong>de</strong>r Cheops- <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> betrug 2.590.669,39m³.<br />
3<br />
Eine mögliche Variante ist die Folgen<strong>de</strong> im Maßstab 100m = 1cm:<br />
Aufgabe 1.b)<br />
Bei <strong>de</strong>r heutigen Cheops-<strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> han<strong>de</strong>lt es sich nur noch um einen <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong>nstumpf. In <strong>de</strong>r<br />
Lösung <strong>de</strong>r Frage 1 haben wir bereits das Volumen <strong>de</strong>r ursprünglichen <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> berechnet.<br />
Subtrahieren wir nun die kleine <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> von <strong>de</strong>r Ursprünglichen, so ergibt sich das gesuchte<br />
Volumen <strong>de</strong>s Stumpfes.<br />
Mit Hilfe <strong>de</strong>s Strahlensatzes kann die Grundseite <strong>de</strong>r kleinen <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong><br />
berechnet wer<strong>de</strong>n:<br />
a x<br />
2 = 2<br />
h −10<br />
10<br />
mit a = 230,25m und h = 146,6m folgt daraus:<br />
a<br />
230,25m<br />
x<br />
115,125 m<br />
⇒ = 10⋅<br />
2 = 10m<br />
⋅ 2 = 10m⋅<br />
= 8,43m<br />
2 h −10<br />
146,6m<br />
−10m<br />
136,6m<br />
⇒<br />
x = 8 ,43m<br />
⋅ 2 = 16, 86m<br />
1<br />
3<br />
2<br />
V klein<br />
= ⋅ x ⋅10<br />
=<br />
947,53m<br />
Vheute = Vursprünglich<br />
−Vklein<br />
=<br />
3<br />
2.589.721,86<br />
m<br />
3<br />
Die Cheops-<strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> besitzt heute ein Volumen von 2.589.721,86m.<br />
Mit Hilfe <strong>de</strong>s Dreisatzes folgt nun:<br />
2.589.721,86 m<br />
3<br />
947,53m = x%<br />
3 =<br />
3<br />
947,53m<br />
x =<br />
2.589.721,86 m<br />
100%<br />
3<br />
⋅100%<br />
= 0,04%<br />
Die Cheops- <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> ist noch zu 99,96% erhalten und 0,04% von ihr wur<strong>de</strong> durch Verwitterung und<br />
Räubereien abgetragen.
Aufgabe 1.c)<br />
Ein <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong>nstumpf kann wie folgt (siehe Abb.34 und Abb.35) in bekannte Teile zerlegt wer<strong>de</strong>n:<br />
V = V + V + V<br />
Qua<strong>de</strong>rMitte<br />
Qua<strong>de</strong>rAußen<br />
Pyrmi<strong>de</strong>Eckteile<br />
Zerlegung <strong>de</strong>s <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong>nstumpfes:<br />
= + + +<br />
Allgemeine Formel für die Volumenberechnung dieses <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong>nstumpfes:<br />
V = V + V + V<br />
= b<br />
= b<br />
= b<br />
=<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
⋅ b<br />
3<br />
Qua<strong>de</strong>rMitte<br />
Qua<strong>de</strong>rAußen<br />
a − b 1<br />
⋅h<br />
+ 2 ⋅ ⋅b<br />
⋅h<br />
+ ⋅<br />
2 3<br />
⋅ h + a ⋅ b ⋅ h − b<br />
⋅ h + a ⋅ b ⋅ h − b<br />
2<br />
⋅ h +<br />
1<br />
3<br />
2<br />
2<br />
1<br />
⋅ h +<br />
3<br />
⋅ h +<br />
⋅ a ⋅ b ⋅ h +<br />
2<br />
2<br />
( b + a ⋅b<br />
a )<br />
1<br />
= h ⋅ +<br />
3<br />
1<br />
3<br />
Pyrmi<strong>de</strong>Eckteile<br />
2<br />
( a − b) ⋅ h<br />
1<br />
3<br />
⋅<br />
⋅ a<br />
2<br />
2<br />
( a − 2 ⋅ a ⋅ b + b ) ⋅ h<br />
⋅ a<br />
2<br />
2<br />
⋅ h<br />
1<br />
= ⋅ h ⋅ ( Ggroß<br />
+ Ggroß<br />
⋅ Gklein<br />
+ G<br />
3<br />
⋅ h −<br />
klein<br />
2<br />
3<br />
)<br />
⋅ a ⋅ b ⋅ h +<br />
1<br />
3<br />
⋅ b<br />
2<br />
⋅ h
Aufgabe 2: Stufenpyrami<strong>de</strong><br />
Die „Schule auf <strong>de</strong>r Aue“ möchte auf ihrem Pausenhof eine Sitzgelegenheit für ihre Schüler/innen<br />
schaffen. Diese soll möglichst wenig Platz <strong>de</strong>s Pausenhofs in Anspruch nehmen, jedoch möglichst<br />
viele Sitzplätze für alle bereitstellen.<br />
Der Architekt Herr Ludwig, <strong>de</strong>r durch die Besichtigung <strong>de</strong>r <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong>n von Gizeh in seinem Ägypten-<br />
Urlaub inspiriert wur<strong>de</strong>, rät <strong>de</strong>r Schule <strong>de</strong>n Bau einer quadratischen Stufenpyrami<strong>de</strong> aus Leichtbeton.<br />
a) Wie viele Steine wer<strong>de</strong>n für das Stapeln einer<br />
sechsstufigen <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> benötigt? Und wie viele<br />
Schüler/innen können min<strong>de</strong>stens auf ihr sitzen?<br />
Hinweis: Ein Stein soll einem Sitzplatz entsprechen.<br />
b) Welche Maße sollte ein Steinqua<strong>de</strong>r besitzen, damit ein<br />
Mensch darauf bequem sitzen kann?<br />
c) Ein m³ Leichtbeton kostet 97,80 €. Mit welchen Materialkosten muss die Schule bei <strong>de</strong>m Bau <strong>de</strong>r<br />
<strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> rechnen?<br />
d) Ist Herrn Ludwigs Urlaubsinspiration sinnvoll o<strong>de</strong>r gibt es noch eine bessere Möglichkeit, bei <strong>de</strong>r<br />
die Steine auf <strong>de</strong>r gleichen Grundfläche an<strong>de</strong>rs angeordnet wer<strong>de</strong>n, so dass mehr Schüler/innen<br />
darauf Platz fin<strong>de</strong>n? Notiere <strong>de</strong>ine Argumente!<br />
Lösung:<br />
Der Grundriss einer<br />
sechsstufigen <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong>:<br />
Die einzelnen Steinschichten einer sechsstufigen <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong>:
Aufgabe 2.a)<br />
Die sechsstufige <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> besitzt<br />
1+ 9 + 25+ 49 + 81 + 121 = 286 Steine.<br />
Auf ihr können min<strong>de</strong>stens<br />
1 + 8 + 16 + 24 + 32 + 40 = 121 Menschen sitzen.<br />
Aufgabe 2.b)<br />
Eine mögliche Lösungsvariante ist die Folgen<strong>de</strong>: Ein Steinqua<strong>de</strong>r besitzt eine Grundfläche von<br />
0,36 m² (a = 0,6 m) und eine Höhe von 40 cm.<br />
Begründung: Auf <strong>de</strong>r Sitzfläche sollte sowohl Platz zum Sitzen als auch für die Füße <strong>de</strong>s Sitzen<strong>de</strong>n<br />
darüber sein. Daraus folgt, dass <strong>de</strong>r Stein min<strong>de</strong>stens 60 cm breit sein sollte.<br />
Aufgabe 2.c)<br />
Ein Stein besitzt ein Volumen von<br />
V Stein<br />
=<br />
Das Gesamtvolumen <strong>de</strong>r 286 Steine beträgt<br />
2<br />
3<br />
= a ⋅ h 0,144<br />
m .<br />
V<br />
Stein =<br />
= 3<br />
286 ⋅ V 41,184 m .<br />
3<br />
Die Materialkosten betragen somit K = 41,184 m ⋅97,80€<br />
= 4.027,80€<br />
.<br />
Aufgabe 2.d)<br />
Herrn Ludwigs Inspiration ist die beste Lösung, da sie die meisten Sitzplätze für die Schüler und<br />
Schülerinnen bietet. Es wäre aber <strong>de</strong>nkbar, die Stufenzahl <strong>de</strong>r Sitzpyrami<strong>de</strong> zu erhöhen. Hierbei muss<br />
jedoch beachtet wer<strong>de</strong>n, dass aufgrund <strong>de</strong>r steigen<strong>de</strong>n Verletzungsgefahr mit steigen<strong>de</strong>r Höhe eine<br />
gewisse Höhe <strong>de</strong>r <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> nicht überschritten wer<strong>de</strong>n darf.
Aufgabe 3: Ferrero Küsschen<br />
Zu Weihnachten soll eine Son<strong>de</strong>rverpackung für Ferrero Küsschen<br />
angefertigt wer<strong>de</strong>n. Diese soll die Form einer <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> besitzen und<br />
zwischen 30 und 40 Ferrero Küsschen beinhalten. Welche Maße<br />
könnte diese Verpackung besitzen? Argumentiere sinnvoll! Erarbeite<br />
jedoch zunächst Fragen, die sich bei <strong>de</strong>r obigen Problemstellung<br />
ergeben können!<br />
Zusatz: Diskutiere die Vor- und Nachteile <strong>de</strong>r Son<strong>de</strong>rverpackung im<br />
Vergleich zur herkömmlichen Verpackung (Prisma mit einer sechseckigen<br />
Grundfläche und 28 Ferrero Küsschen)!<br />
Lösung:<br />
Klären <strong>de</strong>r folgen<strong>de</strong>n Fragen:<br />
• Welche Form hat die Verpackung? (in unserem Fall nun eine <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong>)<br />
• Wie viel Gramm Schokola<strong>de</strong>/Ferrero Küsschen soll die Verpackung beinhalten? (zwischen 30<br />
und 40 Ferrero Küsschen)<br />
• Welche Maße besitzt ein Ferrero Küsschen? (h~ 1,5cm und b~ 2,5cm)<br />
• Wie sollen die Ferrero Küsschen in <strong>de</strong>r Verpackung angeordnet wer<strong>de</strong>n? (Die bei<strong>de</strong>n<br />
sinnvollsten Anordnungen sind die Folgen<strong>de</strong>n!)<br />
<strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> 1 (Draufsicht)<br />
o<strong>de</strong>r<br />
<strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> 2 (Draufsicht)<br />
1 + 9 + 25 = 35 Ferrero Küsschen 1 + 4 + 9 + 16 = 30 Ferrero Küsschen<br />
größere Grundfläche als <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> 2 kleinere Grundfläche als <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> 1<br />
niedrigere Höhe als <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> 2 höhere Höhe als <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> 1<br />
Welche <strong>de</strong>r bei<strong>de</strong>n Anordnungen ist sinnvoller? Begrün<strong>de</strong>!<br />
Und welche Maße folgen dann für die Verpackungspyrami<strong>de</strong>?<br />
<strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> 1:<br />
Höhe <strong>de</strong>r Verpackung = 5,25 cm<br />
Breite <strong>de</strong>r Verpackung = 17,5 cm<br />
Um die Oberfläche <strong>de</strong>r <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> 1<br />
berechnen zu können, müssen wir<br />
zunächst die Höhe <strong>de</strong>r Dreiecke mit<br />
Hilfe <strong>de</strong>s Satzes von Pythagoras<br />
bestimmen!
h<br />
h<br />
O<br />
V<br />
2<br />
Dreieck<br />
Dreieck<br />
= h<br />
=<br />
<strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> 1<br />
<strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> 1<br />
2<br />
<strong>Pyrami<strong>de</strong></strong><br />
⎛ a ⎞<br />
+ ⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
104,125cm<br />
2 1<br />
= a + 4⋅<br />
⋅a<br />
⋅h<br />
2<br />
1 2 1<br />
= ⋅a<br />
⋅ h = ⋅<br />
3 3<br />
2<br />
2<br />
=<br />
2<br />
( 5,25cm)<br />
= 10,2cm<br />
Dreieck<br />
=<br />
( 17,5cm)<br />
2<br />
⎛17,5cm<br />
⎞<br />
+ ⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
2<br />
3<br />
( 17,5cm) ⋅5,25cm<br />
= 535,94cm<br />
2<br />
= 104,125cm<br />
1<br />
+ 4⋅<br />
⋅17,5cm<br />
⋅10,2cm<br />
= 663,25cm<br />
2<br />
2<br />
2<br />
<strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> 2:<br />
Höhe <strong>de</strong>r Verpackung = 7,5 cm<br />
Breite <strong>de</strong>r Verpackung = 12,5 cm<br />
Auch bei <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> 2 müssen wir, bevor wir die<br />
Oberfläche berechnen können, zunächst die<br />
Höhe <strong>de</strong>r Dreiecke mit Hilfe <strong>de</strong>s Satzes von<br />
Pythagoras bestimmen!<br />
h<br />
h<br />
O<br />
V<br />
2<br />
Dreieck<br />
Dreieck<br />
= h<br />
=<br />
<strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> 2<br />
<strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> 2<br />
2<br />
<strong>Pyrami<strong>de</strong></strong><br />
95,31cm<br />
⎛ a ⎞<br />
+ ⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
2<br />
2<br />
=<br />
= 9,76cm<br />
( 7,5cm)<br />
2<br />
2<br />
⎛12,5cm<br />
⎞<br />
+ ⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
= 95,31cm<br />
2 1<br />
2 1<br />
= a + 4⋅<br />
⋅ a ⋅hDreieck<br />
= (12,5cm<br />
) + 4⋅<br />
⋅12,5cm<br />
⋅9,76cm<br />
= 400,25cm<br />
2<br />
2<br />
1 2 1<br />
2<br />
3<br />
= ⋅a<br />
⋅h<br />
= ⋅(12,5cm<br />
) ⋅7,5cm<br />
= 390,63cm<br />
3 3<br />
2<br />
2<br />
<strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> 2 ist die sinnvollere Verpackung, da sie einen geringeren Materialverbrauch 1 aufweist<br />
(O <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> 2 < O <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> 1 ), die Verpackung das kleinere Volumen 2 besitzt (V <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> 2 < V <strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> 1 ) und sie<br />
zu<strong>de</strong>m optisch ansprechen<strong>de</strong>r ist!<br />
Zusatz:<br />
Analoges Vorgehen wie oben! (28 Ferrero Küsschen in zwei Schichten) Berechne <strong>de</strong>n<br />
Oberflächeninhalt und das Volumen <strong>de</strong>r herkömmlichen Verpackung. Tipp: Zerlege die Grundfläche<br />
<strong>de</strong>s Prismas in sechs gleichschenklige Dreiecke.<br />
Vergleiche und interpretiere abschließend <strong>de</strong>ine Ergebnisse mit <strong>de</strong>r Oberfläche und <strong>de</strong>m Volumen <strong>de</strong>r<br />
<strong>Pyrami<strong>de</strong></strong> 2!<br />
1 Je geringer <strong>de</strong>r Materialverbrauch einer Verpackung ist, <strong>de</strong>sto kostengünstiger ist es, sie zu produzieren.<br />
2 Je kleiner das Verpackungsvolumen einer Verpackung ist, <strong>de</strong>sto kostengünstiger ist es, sie zu transportieren, da<br />
mehr Verpackungen in einer Fracht beför<strong>de</strong>rt wer<strong>de</strong>n können.