Informatik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

(define (kleinster-teiler n)
(define (finde-teiler test)
(cond ((> (quadrat test) n) n)
((teilt? test n) test)
(else (finde-teiler (+ test 1)))))
(finde-teiler 2))
(define (teilt? a b) (= (remainder b a) 0))
(define (primzahl n) (= (kleinster-teiler n) n))
• Ergebnis aus Zahlentheorie: kleiner Fermatscher Satz: Wenn n Primzahl
ist, dann 0 < a < n ⇒ a n mod n = a. Falls n also keine Primzahl
ist, dann gibt es gibt es mit großer Wahrscheinlichkeit viele Zahlen
0 < a < n mit a n mod n ≠ a. Teste also a n mod n = a für zufällige
Zahlen a, je mehr positive Tests, um so wahrscheinlicher ist n eine
Primzahl. Schnelle Funktion für Potenz mit Modulo:
(define (potmod b e n)
(cond ((= e 0) 1)
((gerade? e) (remainder (quadrat (potmod b (/ e 2) n)) n))
(else (remainder (* b (potmod b (- e 1) n)) n))))
Zum testen: Wähle Zufallszahl a mit 2 ≦ a ≦ n−1, teste a n mod n = a.
(define (fermat-test n)
(define a (+ 2 (random (- n 2))))
(= (potmod a n n) a))
Dieser Test soll x-mal ausgeführt werden:
(define (fast-prime? n x)
(cond ((= x 0) \#t)
((fermat-test? n) (fast-prime? n (- x 1)))
(else \#f)))
Besonderheit: Probalistische Methode: falls Ergebnis true ist die Zahl sicher
keine Primzahl, andernfalls ist sie wahrscheinlich eine Primzahl - je mehr
Tests, umso höher die Wahrscheinlichkeit.
Argument für probalistische Algorithmen: Auch völlig korrekte Algorithmen
können eventuell falsch sein, es gibt eben ohnehin nur mit einer gewissen
Wahrscheinlichkeit eine richtige Lösung.
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