Informatik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

2. ∀x ∈ X : x ∈ T Σ (X)
3. ∀f/n ∈ Σ, t 1 ...t n ∈ T Σ (X) : (ft 1 ...t n ) ∈ T Σ (X)
• Terme sind Konstanten, Variablen und Kombinationen mit richtiger
Argumentzahl.
⋆ Induktive Definition: Rückführung von komplexen Fällen auf einfachere
(zentral in der Informatik)
Beispiel:
• Σ = {+/2, −/2, ∗/2, quadrat/1, quadratsumme/2, 1, 2, 3, ...}
• X = {x, y, z}
4. Ein Programm ist ein Tripel (Σ, X, R) mit:
1. Signatur Σ
2. Variablenmenge X disjunkt zu Σ
3. Menge von Regeln R in der Form (fx 1 ...x n ) → r mit f/n ∈
Σ; x 1 , ..., x n ∈ X und r ∈ T Σ ({x 1 , ..., x n })
• häufig: höchstens eine Regel für jede Funktion (Funktionen ohne
Regeln: Konstruktoren für Datenstrukturen, siehe (3))
• rechte Regelseite (r) darf nur Parameter der Regel enthalten
• manchmal: linke Seite ist ein Term (→ patternmatching, Termersetzungssystem)
• Zusammenhang zu Scheme: Definitionen (define (f (x1 ... xn)
r) entspricht obiger Regel
5. Eine Substitution σ ist eine Funktion σ : X ↦→ T Σ (X), die jeder Variablen
einen Term zuordnet. Anwendung einer Substitution Σ mit Term
t ∈ T Σ (X) geschrieben tσ, ist induktiv wie folgt definiert:
1. Falls t ∈ X, dann tσ := σ(t)
2. Falls t/0 ∈ Σ, dann tσ := t
3. Falls t = (ft 1 ...t n ), dann tσ = (ft 1 σ...t n σ)
• Beispiel: σ(x) = 2, σ(y) = (+z1), σ(z) = z, dann (∗x(+yz))σ =
(∗2(+(+z1)z)).
6. Eine Position identifiziert eindeutig eine Stelle im Term. Ist t ein Term,
dann ist P os(t) die Menge aller Positionen im Term t.
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