Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

4. Zusammenfügen der ersten drei Schritte: Sei (W nk ) k∈N Teilfolge von
(W n ) n∈N . Diese Teilfolge erfüllt gemäßt Schritt 3 die Straffheitsbedingung.
Gemäß Schritt 2 existiert W ∗ und (W ml ) l∈N Teilfolge von (W nk ) k∈N
mit W ml −→ W ∗ . Gemäß Schritt 1 gilt die Behauptung, falls W ∗ = W
nachgewiesen wird.
Aus W ml −→ W ∗ folgt ϕ ml −→ ϕ ∗ , gemäß Voraussetzung gilt ϕ ml −→
ϕ, also ist
ϕ W = ϕ = ϕ ∗ = ϕ W ∗
Mit dem Eindeutigkeittsatz folgt W = W ∗ .
Achtung: Der Eindeutigkeitssatz folgt aber erst aus dem Satz, den wir
hier beweisen wollen. Wir benötigen also noch einen vom Stetigkeitssatz
„unabhängigen“ Beweis des Eindeutigkeitssatzes! Dieser kann gefolgert
werden aus dem Satz von Stone-Weierstraß für trigonometrische
Polynome oder aus der Umkehrformel von Levy.
12.1.1 Anwendung auf Summen unabhängiger Zufallsgrößen
1. Seien X 1 , . . . , X n stochastisch unabhängig. Dann ist
(
(
ϕ X1 +...+X n
(t) = E e it ∑ )
n
∏ n
i=1 X i
= E
=
n∏
E(e itX i
) =
i=1
i=1
n∏
ϕ Xi (t)
i=1
e itX i
Die liefert eine einfache Möglichkeit, die Verteilung von Summen von
Zufallsgrößen zu bestimmen.
2. Betrachte die standadisierte Summe für X 1 , . . . , X n stochastisch unabhängig,
identisch verteilt mit Erwartungswert a und Varianz σ 2 > 0.
Dann ist für Variablen Y i = X i−a
(mit E(Y
σ i ) = 0 und Var(Y i ) = 1):
S ∗ n =
∑ n
i=1 (X i − a)
√
nσ
2
=
∑ n
( Xi
)
−a
i=1 σ
√ = n
∑ n
i=1 Y i
√ n
)
Dann ist
wobei
( ( ))
ϕ S ∗ n
(t) = Ee i √ t ∑ n
n
n i=1 Y i t
= ˆϕ √ n
ˆϕ(t) = Ee it( ( )
X i −a
σ ) = e
− ita t
σ ϕ
σ
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