Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

(a) H monoton wachsend
(b) lim t→−∞ H(t) = 0 und lim t→+∞ H(t) = 1
Fortsetzung von H auf R: Definiere
F ∗ : R → [0, 1] mit F ∗ (r) = inf {F (t) | t ∈ Q, t > r}
Offensichtlich gilt: F ∗ ist monoton wachsend, rechtsseitig stetig,
es ist lim r→−∞ F ∗ (r) = 0 und lim r→+∞ F ∗ (r) = 1. Weiter gilt
F ∗ (t) = H(t) mit t ∈ Q und zudem (⋆) F nk (r) −→ F ∗ (r) für r
mit F ∗ stetig in r.
Nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz für ein Wahrscheinlichkeitsmaß
auf R existiert genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß W ∗
mit W ∗ hat Verteilungsfunktion F ∗ . Gemäß (⋆) gilt W nk −→ W ∗ .
3. Seien wieder W, W 1 , W 2 , . . . gegeben mit ϕ n = ϕ Wn −→ ϕ = ϕ W .
Zunächst zu zeigen: „Straffheit“ von (W n ) n∈N .
Betrachte die Funktion ϕ(t) = ∫ e itx W (dx). Dann ist ϕ stetig und
ϕ(0) = 1. Sei nun ε > 0. Dann existiert δ mit
1
δ
∫ δ
−δ
|1 − ϕ(t)| dt ≤ ε 2
Wir schätzen
∫
ab: Wegen ϕ n −→ ϕ existiert n 0 so, daß für alle n ≥ n 0
gilt: 1 δ |1 − ϕ δ −δ n(t)| dt ≤ ε. Weiter ist:
∫
1 δ
− ϕ n (t)) dt =
δ −δ(1 1 ∫ δ
( ∫
)
( 1 − e itx )W n (dx) dt
δ −δ
= 1 ∫ ∫ δ ∫
( 1 − e itx ) dt W n (dx)
δ −δ
∫
= 2(1 − sin(δx) ) W n(dx)
∫
(⋆) ≥ 2
Dabei folgt (⋆) mit sin r
r
≤ 1
W n
([
− 2 δ , 2 δ
{ x | |δx|>2}
δx
≥ W n ({x | |δx| > 2})
(1 − 1
|xδ| ) W n(dx)
für |r| > 2. Somit gilt insgesamt
|r|
])
≥ 1 − ε ∀ n ≥ n 0
Damit gilt die Straffheit von (W n ) n≥n0
von (W n ) n∈N .
und somit auch die Straffheit
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