Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Es gilt
1 {U∈Z c } · g(Fn
−1 (U)) −→ 1 {U∈Z c }g(F −1 (U))
Damit ist (da g beschränkt ist und somit der Satz der dominanten
Konvergenz anwendbar ist):
∫
g dW n = Eg(Fn
−1 (U))
= E(1 {U∈Z c } · g(Fn
−1 (U)))
−→ E(1 {U∈Z c }g(F −1 (U)))
∫
= Eg(F −1 (U)) = g dW
Achtung! Hier fehlt eine Vorlesung!
S ∗ n =
∑ n
i=1 (X i−E(X i ))
√ ∑n
i=1 Var(X i)
P S∗ n −→ N(0, 1)
W n −→ W : F n (t) −→ F (t) für alle t mit F stetig in t genau dann, wenn
∫
g dWn −→ ∫ g dW für alle stetigen, beschränkten g
Fouriertranformierte ϕ W (t) = ∫ e itx W (dx) ϕ X (t) = ∫ e itx P X (dx) = Ee itX
Satz: Eindeutigkeitssatz: Seien W, W ′ mit ϕ W = ϕ W ′. Dann gilt: W = W ′ .
Satz: Stetigkeitssatz: Seien W, W 1 , W 2 , . . .. Dann gilt
W n −→ W ⇐⇒ ϕ Wn (t) −→ ϕ W (t) ∀ t
Beweis: Die Richtung „⇒“ ist nach Definition klar, andere Richtung in
mehreren Schritten:
1. W n −→ W genau dann, wenn für jede Teilfolge (n k ) k∈N existiert eine
Teilfolge (m l ) l∈N mit W ml −→ W
2. Satz von Helly: Seien W 1 , W 2 , . . . mit der Eigenschaft der Straffheit, d.h.
Für alle ε > 0 existieren a, b so, daß gilt: W n ([a, b]) ≥ 1 − ε ∀ n
Beweis:
„⇒“ Es existiert (n k ) k∈N mit W nk −→ W . F n (t) mit t ∈ Q, n ∈ N;
Diagonalprinzip: Existiert Teilfolge (n k ) k∈N so, daß (F nk (t)) k∈N
konvergent ist für jedes t ∈ Q.
Sei H(t) = lim k→∞ F nk (t), t ∈ Q. Dann gilt:
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