Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

∫
lim inf n g dWn ≥ ∫ ĝ k dW für alle k. Somit gilt insgesamt:
∫
∫ ∫
lim inf g dW n ≥ lim ĝ k dW = ĝ dW
n
k→∞
∫
= W ((−∞, t)) = W ((−∞, t]) = g dW
Somit folgt für g:
lim sup
n
∫
∫
g dW n ≤
g dW ≤ lim inf
n
∫
g dW n
Daraus folgt
lim sup
n
∫
∫
g dW n =
g dW = lim inf
n
∫
g dW n
(i) ⇒ (ii) Wahrscheinlichkeitstheoretische Methode:
1. Suche Zufallsgrößen Y, Y 1 , Y 2 , . . . mit P Y = W , P Yn = W n Dann
gilt: ∫ g dW = ∫ g dP Y = Eg(Y ) und ∫ g dW n = ∫ g dP Yn =
Eg(Y n ).
Suche diese derart, daß Eg(Y n ) −→ Eg(Y ) einfach nachzuweisen
ist.
2. Kandidaten für Y, Y 1 , Y 2 , . . . sind: Starte mit U, die R(0, 1)-verteilt
ist, d.h. P (U ≤ t) = t mit t ∈ (0, 1). Seien F, F 1 , F 2 , . . . die Verteilungsfunktionen
zu W, W 1 , W 2 , . . .. Dann besitzen Y = F −1 (U)
und Y n = Fn
−1 (U) die gewünschte Eigenschaft.
3. Zu zeigen ist also:
lim
n→∞
−1
EFn
(U) = EF −1 (U)
Nach Voraussetzung gilt: F n (t) −→ F (t) für alle t mit F stetig in
t. Daraus folgt „leicht“: Fn
−1 (t) −→ F −1 (t) für alle t mit F stetig
in t. Sei Z = {t | F unstetig in t}. Dann ist Z abzählbar, denn
Z = {t | W ({t}) > 0}. Sei g stetig und beschränkt. Dann ist
∫
g dW n = Eg(Fn
−1 (U))
= E(1 {U∈Z c } · g(Fn −1 (U))) + E(1 {U∈Z} · g(Fn
−1 (U)))
} {{ }
=0 wg. P (U∈Z)=0 da Z abzählbar
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