Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Definition: Seien Z, Z 1 , Z 2 , . . . Zufallsgrößen. Es gilt Z n −→ Z in Verteilung
genau dann, wenn
P (Z n ≤ t) −→ P (Z ≤ t) ∀ t mit P (Z = t) = 0
Entsprechend: W, W 1 , W 2 , . . . seien Wahrscheinlichkeitsmaße auf R. Dann
gilt: W n −→ W in Verteilung genau dann, wenn
W n ((−∞, t]) −→ W ((−∞, t]) ∀ t mit W ({t}) = 0
Satz: W, W 1 , W 2 , . . . seien Wahrscheinlichkeitsmaße auf R. Dann sind äquivalent:
(i) W n −→ W in Verteilung
(ii) ∫ g dW n −→ ∫ g dW für jedes stetige beschränkte g : R → R.
(iii) ∫ g dW n −→ ∫ g dW für jedes stetige beschränkte g : R → R mit der
Eigenschaft, daß lim g(x) existiert für x −→ ±∞
Beweis:
(ii) ⇒ (iii) klar
(iii) ⇒ (i) Für g = 1 (−∞,t] soll gelten (falls W ({t}) = 0):
∫
∫
!
W n ((−∞, t]) = g dW n −→ g dW = W ((−∞, t])
Die Eigenschaft (iii) ist auf g nicht direkt anwendbar, da g nicht stetig
ist, allerdings läßt g einfach durch stetige Funktionen g k approximieren,
auf welche dann (iii) anwendbar ist.
Approximation „von oben“: Dann konvertiert g k gegen 1 (−∞,] = g. Es
gilt: ∫ g k dW n −→ ∫ ∫
g k dW für jedes k mit n −→ ∞; genauso ist
gk dW n −→ ∫ gdW n für jedes n mit k −→ ∞. Also folgt ∫ ∫
g dW n ≤
gk dW n −→ ∫ ∫
g k dW , damit ist lim sup n g dWn ≤ ∫ g k dW für alle k.
Somit gilt insgesamt:
∫
lim sup
n
∫
g dW n ≤ lim
k→∞
∫
g k dW =
g dW
Entsprechend „von unten“: Dann konvergiert g k gegen q (−∞,t) = ĝ. Entsprechend
zu eben folgt ∫ g dW k ≥ ∫ ĝ k dW n −→ ∫ ĝ k dW , also ist
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