Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

12 Verteilungskonvergenz und der zentrale Grenzwertsatz
12.1 Verteilungskonvergenz
Bisher kennengelernt: Z, Z 1 , Z 2 , . . . mit Z n −→ Z fast sicher, d.h. P (lim n→∞ Z n = Z) =
1, dann folgt Z n −→ Z in Wahrscheinlichkeit (d.h. P (|Z n − Z| ≥ ε) −→ 0
für jedes ε > 0).
Frage: Kann man aus Z n −→ Z in Wahrscheinlichkeit (bzw. fast sicher)
Aussagen vom Typ P (Z n ≤ t) → P (Z ≤ t) folgern? Nicht unbedingt, falls
beispielsweise Z n = 1 n und Z = 0 ist, so ist P (Z n ≤ 0) = 0, aber P (Z ≤ 0) = 1!
Dies zeigt, daß dieses nicht für jedes t gefolgert werden kann.
Satz: Seien Z, Z 1 , Z 2 , . . . Zufallsgrößen mit Z n −→ Z in Wahrscheinlichkeit.
Dann gilt für alle t mit P (Z = t) = 0 (d.h. für alle Stetigkeitspunkte der
Verteilungsfunktion):
P (Z n ≤ t) −→ P (Z ≤ t)
Beweis: Es gilt 18 für ein beliebiges ε > 0:
|P (Z n ≤ t) − P (Z ≤ t)|
≤ P (Z n ≤ t, Z > t) + P (Z n > t, Z ≤ t)
= P (Z n ≤ t, Z > t, |Z n − z| < ε) + P (Z n ≤ t, Z > t, |Z n − Z| ≥ ε) +
P (Z n > t, Z ≤ t, |Z n − z| < ε) + P (Z n > t, Z ≤ t, |Z n − Z| ≥ ε)
≤ P (Z n ≤ t, Z > t, |Z n − Z| < ε) + P (|Z n − Z| ≥ ε) +
P (Z n > t, Z ≤ t, |Z n − Z| < ε) + P (|Z n − Z| ≥ ε)
≤ P (t < Z < t + ε) + P (|Z n − Z| ≥ ε) +
P (t − ε < Z n ≤ t) + P (|Z n − Z| ≥ ε)
Sei δ > 0. Wegen P (t < Z < t + ε) −→ 0 und P (z − ε < Z ≤ t) −→
P (Z = t) = 0 (beide für ε −→ 0) existiert ein ˆε mit P (t < Z < t + ˆε) +
P (t − ˆε < Z ≤ t) ≤ δ . Wegen Z 2 n −→ Z in Wahrscheinlichkeit existiert
ein ˆn mit P (|Z n − Z| ≥ ˆε) ≤ δ für alle n ≥ ˆn. Also folgt für n ≥ ˆn:
2
|P (Z n ≤ t) − P (Z ≤ t)| ≤ δ.
Motiviert durch diesen Satz wird daher definiert:
18 mit |P (A) − P (B)| = |P (A ∩ B) + P (A ∩ B c ) − P (A ∩ B) − P (B ∩ A c )| ≤ P (A ∩
B c ) + P (B ∩ A c )
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