Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Zu zeigen: (s n ) n∈N konvergiert fast sicher. Seien ε > 0 und m ∈ N. Mit der
Kolmogorov-Ungleichung gilt:
(
) (
∣ )
n∑ ∣∣∣∣
P sup |S n − S m | ≥ ε = P sup
X i ≥ ε
n≥m
n≥m+1 ∣
i=m+1
( {
∣ })
⋃ n∑ ∣∣∣∣
= P sup
X
k≥n≥m+1 ∣ i ≥ ε
k≥n i=m+1
(
∣ )
n∑ ∣∣∣∣
= lim P sup
X i ≥ ε
k→∞ ∣
1
Kolmogorov-Ungleichung ≤ lim
k→∞ ε 2
= 1 ε 2 ∞
∑
i=m+1
k≥n≥m+1
k∑
i=m+1
Var(X i )
i=m+1
Var(X i )
Da ∑ ∞
i=1 Var(X ∑
i) < ∞ ist, folgt: lim ∞
m→∞ i=m+1 Var(X i) = 0 und damit
(
)
0 ≤ lim P sup |S n − S m | ≥ ε ≤ 0
m→∞
n≥m
Somit konvergiert (S n ) n∈N fast sicher.
11.6.4 Das starke Gesetz der Großen Zahlen von Kolmogorov
Satz: Es seien X 1 , X 2 , . . . stochastisch unabhängige quadratintegrierbare
Zufallsgrößen. Es gelte das Kolmogorov-Kriterium:
∞∑
n=1
Var(X n )
n 2
< ∞
Dann folgt:
1
lim
n→∞ n
n∑
(X i − E(X i )) = 0 fast sicher
i=1
Beweis: Ohne Einschränkung sei E(X i ) = 0 für i ∈ N. Setze Y i = X i
i
i ∈ N. Dann gilt
∞∑
Var(Y n ) =
n=1
∞∑
n=1
Var(X n )
n 2
< ∞
für
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