Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Einschub: Konvergenzkriterium für reelle Zahlen. Seien a 1 , a 2 , . . . ∈ R.
Dann gilt:
(a n ) n∈N konvergiert in R ⇐⇒ ∀ j ∈ N ∃ m ∈ N: {|a n − a m | | n ≥ m} ≤ 1 j
Als Mengen geschrieben ergibt sich bezüglich Zufallsgrößen Z 1 , Z 2 , . . .: Die
Menge aller ω, für die (Z n (ω)) n∈N konvergiert, ist gleich
⋂ ⋃
{
ω
∣ sup {|Z n(ω) − Z m (ω)| | n ≥ m} < 1 }
j
j∈N m∈N
Kurz geschrieben:
{(Z n ) n∈N konvergiert} = ⋂ j∈N
⋃
m∈N
Die fast sichere Konvergenz bedeutet:
Also ist
⇐⇒ P
{
sup {|Z n (ω) − Z m (ω)| | n ≥ m} < 1 }
j
(Z n ) n∈N konvergiert fast sicher ⇐⇒ P ((Z n ) n∈N konvergiert) = 1
⇐⇒ lim
j→∞
P
P ((Z n ) n∈N konvergiert) = 1
⋃
{
sup {|Z n (ω) − Z m (ω)| | n ≥ m} < 1 } ) = 1
j
( ⋂
j∈N m∈N
( ⋃
{
sup {|Z n (ω) − Z m (ω)| | n ≥ m} < 1 } ) = 1
j
m∈N
( )
⋃
⇐⇒ P {sup {|Z n (ω) − Z m (ω)| | n ≥ m} < ε}
m∈N
= 1 ∀ ε > 0
⇐⇒ lim n(ω) − Z m (ω)| | n ≥ m} < ε})
m→∞
= 1 ∀ ε > 0
⇐⇒ lim n(ω) − Z m (ω)| | n ≥ m} ≥ ε})
m→∞
= 0 ∀ ε > 0
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