Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Folglich gilt (wobei (⋆) gilt wegen ∑ n
k=1 A k ⊆ Ω):
(
n∑
n∑
)
Var(X k ) = Var X k
k=1
k=1
= Var(S n ) = E(Sn) 2 − E(S n ) 2
} {{ }
(⋆) ≥
=0
( n∑
)
n∑
E 1 Ak Sn
2 = E ( )
1 Ak Sn
2
k=1
k=1
n∑
= E(1 Ak (S k + (S n − S k )) 2 )
≥
≥
k=1
n∑ ( )
E(1Ak Sk) 2 + 2 E(1 Ak S k (S n − S k ))
} {{ }
=0
n∑
E(1 Ak ε 2 )
k=1
k=1
(
n∑
n∑
)
= ε 2 P (A k ) = ε 2 P A k
k=1
k=1
11.6.3 Konvergenzkriterium
= ε 2 P (max {|S k | | k = 1, . . . , n} ≥ ε)
Satz: Es seien X 1 , X 2 , . . . stochastisch unabhängige, quadratintegrierbare
Zufallsgrößen mit E[X n ] = 0 für n ∈ N. Sei S n = ∑ n
i=1 X i für n ∈ N. Es
gelte ∑ ∞
n=1 Var(X n) < ∞. Dann folgt:
P ((S n ) n∈N konvergiert) = 1
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