Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

• Der Winkel ϕ ∈ [− π, π ) der Nadel mit der Senkrechten zur Parallelen,
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die durch den Mittelpunkt geht
Der Ereignisraum ist Ω = [0, 1)×[− π, π ). Naiv gesehen entsprechen Ereignisse
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meßbaren Flächen, die in Ω enthalten sind und zu einem Laplace-Experiment
analog ist die Festlegung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A
P (A) =
Flächeninhalt von A
Flächeninhalt von Ω
Hierzu muß präzisiert werden, was meßbare Flächen und Flächeninhalte sind
(siehe weitere Vorlesung). Die Nadel trifft genau dann eine der Parallelen,
wenn 1 cos ϕ < a und 1 cos ϕ < 1 − a ist, also 1 cos ϕ < min{a, 1 − a}. Das
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Ereignis A = { (a, ϕ) | 1 cos ϕ < min{a, 1 − a}} und das Komplement dazu
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in Ω ist
A c =
{(a, ϕ) | a ≤ 1 }
2 cos ϕ ∪
{(a, ϕ) | a ≥ 1 − 1 }
2 cos ϕ
Der Flächeninhalt von A c ist 2 ∫ π 2 1
−
cos ϕ dϕ = 2, der Flächeninhalt von Ω
π
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ist π. Also gilt P (A c ) = 2 und P (A) = 1 − 2 .
π π
Das Nadelproblem kann zur näherungsweisen Bestimmung der Zahl π benutzt
werden: Werfe hierzu n mal die Nadel. X(n) bezeichne die zufällige Anzahl
der Würfe, die keine der Parallelen treffen. Dann gilt mit dem Gesetz der
großen Zahlen:
X(n)
lim = P (A)
n→∞ n
Somit läßt sich π näherungsweise berechnen durch π ≈ 2·n
n−X(n) .
1.7 Grundbegriffe der Kombinatorik
• Variationen: Die Anzahl der k-Tupel von Elementen aus {1, . . . , n}
beträgt ∣ ∣ {1, . . . , n}
k ∣ ∣ = n k , jedes k-Tupel ist eine Variation.
• Permutationen: Die Anzahl der k-Tupel mit unterschiedlichen Einträgen
aus {1, . . . , n} beträgt n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1) = n! Bei k < n
(n−k)!
spricht man von einer Permutation vom Umfang k, für k = n ist es eine
eigentliche Permutation
• Kombinationen: Für 1 ≤ k ≤ n ist die Anzahl der k-elementigen
Teilmengen von {1, . . . , n} gleich ( )
n
k =
n!
. Dabei ist ( n
(n−k)! k)
der Binomialkoeffizient,
es gilt ( n
0)
= 1. Jede k-elementige Teilmenge entspricht
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