Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Nun gilt mit dem Grenzwertsatz von Cauchy 17 :
(
1
n∑ ( )
lim = lim
n→∞ n
s n −
n→∞
i=1
= s − s = 0
11.6.2 Ungleichung von Kolmogorov
lim
n→∞
1 ∑n−1
n
Satz: Seien X 1 , X 2 , . . . , X n stochastisch unabhängige, quadratintegrierbare
Zuvallsvariablen mit E[X k ] = 0, k = 1, . . . , n. Sei S k := ∑ k
i=1 X i für jedes
k = 1, . . . , n. Dann gilt für jedes ε > 0:
i=1
s i
)
P (max {|S k | | k = 1, . . . , n} ≥ ε) ≤ 1 ε 2
n∑
Var(X k )
k=1
Beweis: Setze
A 1 = {|S 1 | ≥ ε}
A k = {|S 1 | < ε, . . . , |S k−1 | < ε, |S k | ≥ ε} für k = 2, . . . , m
Dann sind diese Ereignisse paarweise disjunkt und es gilt
n∑
A k = {max {|S k | | k = 1, . . . , n} ≥ ε}
k=1
Beachte nun, dass für jedes k die Zufallsgröße 1 Ak S k und S n −S k = ∑ n
i=k+1 X i
stochastisch unabhängig sind, denn 1 Ak S k hängt nur von X 1 , . . . , X k ab und
S n − S k nur von X k+1 , . . . , X n . Damit gilt für alle k:
E[1 Ak S k (S n − S k )] = E[1 A S k ] (S n − S k ) = 0
} {{ }
=0
17 aus lim n→∞ x n = x folgt: lim n→∞
x 1+...+x n
n
= x
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