Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz
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eindeutig gegeben durch seine Verteilungsfunktion F mit F (t) = W ((−∞, t]).<br />
Die empirische Verteilungsfunktion F n ist definiert durch<br />
F n (t) = h((−∞, t], n) = 1 n<br />
n∑<br />
1 (−∞,t] (Y i )<br />
i=1<br />
Als Abbildung ist F n : Ω → {Verteilungsfunktionen auf R}<br />
F n (ω): t ↦→ 1 n<br />
n∑<br />
1 (−∞,t] (Y i (ω))<br />
i=1<br />
Das starke Gesetz der großen Zahlen für relative Häufigkeiten liefert: lim n→∞ F n (t) =<br />
lim n→∞ h((−∞, t], n) = W ((−∞, t]) = F (t) fast sicher für jedes t.<br />
11.6 Das starke Gesetz der Großen Zahlen <strong>von</strong> Kolmogorov<br />
11.6.1 vereinfachte Form des Lemmas <strong>von</strong> Kronecker<br />
Lemma: Sei (a n ) n∈N eine Folge in R. Sei s n = ∑ n a i<br />
i=1 i<br />
(s n ) n∈N konvergiert, so folgt<br />
1<br />
lim<br />
n→∞ n<br />
n∑<br />
a i = 0<br />
i=1<br />
für alle n ∈ N. Falls<br />
Beweis: Da (s n ) n∈N konvergiert, existiert ein s ∈ R mit s = lim n→∞ s n . Es<br />
gilt<br />
1<br />
n<br />
n∑<br />
i=1<br />
=<br />
a n<br />
·n<br />
}{{} n<br />
s n−s n−1<br />
n +<br />
a n−1<br />
·n − 1<br />
}<br />
n<br />
{{<br />
− 1<br />
}<br />
n<br />
s n−1 −s n−2<br />
+ . . . + a 2<br />
2 · 2<br />
n + a 1<br />
1 · 1<br />
n<br />
= s n − 1 n (n − (n − 1))s n−1 − 1 n ((n − 1) − (n − 2))s n−2 − 1 n (2 − 1)s 1<br />
= s n − 1 n s n−1 − 1 n s n−2 − . . . − 1 n s 1<br />
= s n − 1 n<br />
∑n−1<br />
i=1<br />
s i<br />
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