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Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

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eindeutig gegeben durch seine Verteilungsfunktion F mit F (t) = W ((−∞, t]).<br />

Die empirische Verteilungsfunktion F n ist definiert durch<br />

F n (t) = h((−∞, t], n) = 1 n<br />

n∑<br />

1 (−∞,t] (Y i )<br />

i=1<br />

Als Abbildung ist F n : Ω → {Verteilungsfunktionen auf R}<br />

F n (ω): t ↦→ 1 n<br />

n∑<br />

1 (−∞,t] (Y i (ω))<br />

i=1<br />

Das starke Gesetz der großen Zahlen für relative Häufigkeiten liefert: lim n→∞ F n (t) =<br />

lim n→∞ h((−∞, t], n) = W ((−∞, t]) = F (t) fast sicher für jedes t.<br />

11.6 Das starke Gesetz der Großen Zahlen <strong>von</strong> Kolmogorov<br />

11.6.1 vereinfachte Form des Lemmas <strong>von</strong> Kronecker<br />

Lemma: Sei (a n ) n∈N eine Folge in R. Sei s n = ∑ n a i<br />

i=1 i<br />

(s n ) n∈N konvergiert, so folgt<br />

1<br />

lim<br />

n→∞ n<br />

n∑<br />

a i = 0<br />

i=1<br />

für alle n ∈ N. Falls<br />

Beweis: Da (s n ) n∈N konvergiert, existiert ein s ∈ R mit s = lim n→∞ s n . Es<br />

gilt<br />

1<br />

n<br />

n∑<br />

i=1<br />

=<br />

a n<br />

·n<br />

}{{} n<br />

s n−s n−1<br />

n +<br />

a n−1<br />

·n − 1<br />

}<br />

n<br />

{{<br />

− 1<br />

}<br />

n<br />

s n−1 −s n−2<br />

+ . . . + a 2<br />

2 · 2<br />

n + a 1<br />

1 · 1<br />

n<br />

= s n − 1 n (n − (n − 1))s n−1 − 1 n ((n − 1) − (n − 2))s n−2 − 1 n (2 − 1)s 1<br />

= s n − 1 n s n−1 − 1 n s n−2 − . . . − 1 n s 1<br />

= s n − 1 n<br />

∑n−1<br />

i=1<br />

s i<br />

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