Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Beweis: Beachte zunächst mit der Jensenschen Ungleichung: (E(Xi 2 )) 2 ≤
E(Xi 4 ). Es gilt:
( {∣ ∣ })
(∣ ∣ )
⋃ ∣∣∣∣
1
m∑ ∣∣∣∣ ∞∑ ∣∣∣∣
1
m∑ ∣∣∣∣
P
X i ≥ ε ≤ P X i ≥ ε
m
m
m≥n i=1
m=n
i=1
⎛( ∞∑
m
) ⎞ 4
1
≤
m 4 ε E ∑
⎝ X 4 i
⎠
siehe dritter Versuch
≤
≤
≤
m=n
∞∑
m=n
∞∑
m=n
∑ ∞
2b
ε 2
(
1 ∑ m
m 4 ε 4
i=1
i=1
E(X 4 i ) + ∑ i≠j
1
(mb + m(m − 1)b)
m 4 ε4 m=n
1
m 2
Dies strebt gegen 0 für n −→ ∞, da ∑ ∞ 1
m=1
< ∞.
m 2
E(X 2 i )E(X 2 j )
11.4.3 Starkes Gesetz der großen Zahlen für relative Häufigkeiten
Satz: Seien Y 1 , Y 2 , . . . stochastisch unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen
(d.h. P Y i
= P Y 1
= W ) mit Y i : Ω → Y. Dann gilt für jedes Ereignis
A ⊆ Y:
lim h(A, n) = W (A) fast sicher
n→∞
Beweis:
∑
Es gilt mit X i = 1 A (Y i ) (und damit E(Xi 4 ) ≤ 1): h(A, n) =
1 n
n i=1 X ∑
1
i, also lim n
n→∞ n i=1 (X i − W (A)) = 0 fast sicher; und damit
lim n→∞ h(A, n) = W (A).
11.5 Empirische Verteilungsfunktion
In der Statistik hat man häufig folgende Situation vorliegen: Beobachtet werden
Zuvallsvariablen Y 1 , Y 2 , . . ., die stochastisch unabhängig sind und jeweils
die Verteilung W = P Y i
besitzen mögen. Situation der Statistik: W ist
nicht oder nur unvollständig bekannt, Aufgabe ist es, aus den Beobachtungen
Aussagen über W zu treffen.
Seien Y 1 , Y 2 , . . . stochastisch unabhängig und identisch verteilt (P Y i
= P Y 1
=
W ), sie mögen Werte in Rannehmen. Das Wahrscheinlichkeitsmaß W ist dann
)
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