Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Versuch: p = 3, dann gilt:
(∣ ∣ )
∣∣∣∣
1
n∑ ∣∣∣∣
P X i ≥ ε ≤
n
i=1
≤
1
n 3 ε 3
n∑
E(|X i | 3 )
i=1
⎛
1
n 3 ε E ⎝
3
( n∑
i=1
|X i |
) 3
⎞
⎠
dabei ist
( n∑
i=1
|X i |
) 3
= ∑ i,j,k
|X i | |X j | |X k |
=
n∑
|X i | 3 + ∑ i≠j
i=1
|X i | 2 |X j | + ∑
i≠j≠k
|X i | |X j | |X k |
Auch das ist unschön, betrachte deswegen eine höhere Potenz, die die Beträge
überflüssig macht:
Dritter Versuch: Setze p = 4, es gilt:
(∣ ∣ )
∣∣∣∣
1
n∑ ∣∣∣∣
P X i ≥ ε ≤
n
i=1
Dabei gilt:
⎛( n∑
) ⎞ 4 ( )
∑
E ⎝ X i
⎠ = E X i X j X k X l
i=1
= E
=
( n∑
i=1
n∑
X 4 i + ∑ i≠j
i=1
E(X 4 i ) + ∑ i≠j
i,j,k,l
X 3 i X j + ∑ i≠j
E(X 2 i )E(X 2 j )
1
n 4 ε 4 E( ( n∑
i=1
X 2 i X 2 j + ∑
i≠j≠k
11.4.2 Starkes Gesetz der großen Zahlen
X i
) 4
)
X 2 i X j X k +
∑
i≠j≠k≠l
X i X j X k X l
)
Satz: Seien X 1 , X 2 , . . . stochastisch unabhängige Zufallsgrößen mit E(X i ) =
0 und sup i∈N E(X 4 i ) = b < ∞. Dann folgt:
1
lim
n→∞ n
n∑
X i = 0 fast sicher
i=1
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