Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz
Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz
Somit ist P ( ⋂ [. . .] l∈N ) = 1 ⇐⇒ P ([. . .]) = 1 ⇐⇒ P ([. . .] c ) = 0 Es gilt also: Z n konvergiert fast sicher gegen Z genau dann, wenn für alle ε > 0 gilt: (( ) c ) ⋃ ⋂ P {ω ′ | |Z m (ω ′ ) − Z(ω ′ )| ≤ ε} = 0 n∈N m≥n D.h. es ist für jedes ε > 0: ( ) ⋂ ⋃ 0 = P {ω ′ | |Z m (ω ′ ) − Z(ω ′ )| > ε} n∈N m≥n ( ) ⋃ = lim P {ω ′ | |Z m (ω ′ ) − Z(ω ′ )| > ε} n→∞ m≥n = P (lim sup {ω ′ | |Z m (ω ′ ) − Z(ω ′ )| > ε}) Dies wird benutzt, um die fast sichere Konvergenz zu untersuchen. 11.3.2 Fast sichere und schwache Konvergenz Satz: Seien Z, Z 1 , Z 2 , . . . Zufallsgrößen Dann gilt: 1. Wenn Z n −→ Z fast sicher, so gilt Z n −→ Z in Wahrscheinlichkeit. 2. Falls ∑ m∈N P (|Z m − Z| > ε) < ∞ für alle ε > 0, so ist Z n −→ Z fast sicher Beweis: 1. Falls Z n −→ Z fast sicher, so ist für alle ε > 0: lim m→∞ P (|Z m − Z| > ε) = 0. Nun folgt die Aussage aus obiger Umformulierung der fast sicheren Konvergenz wegen ( ) ⋃ P (|Z m − Z| > ε) ≤ P {|Z m ′ − Z| > ε} m ′ ≥m 2. Mit dem Borel-Cantelli-Lemma ( ∑ n P (A n) < ∞ ⇒ P (lim sup A n ) = 0) gilt: ∑ P (|Z m − Z| > ε) < ∞ =⇒ P (lim sup{|Z m (ω ′ ) − Z(ω ′ )| > ε}) = 0 m∈N 79
Dies ist wieder eine Umformulierung der fast sicheren Konvergenz von oben. 11.4 Starkes Gesetz der großen Zahlen 11.4.1 Versuch, zu einem Starken Gesetz zu gelangen Seien X 1 , X 2 , . . . stochastisch unabhängige Zufallsgrößen mit E(Xi 2 ) < ∞. Dann ist 1 n∑ X i − 1 n∑ E(X i ) = 1 n∑ (X i − E(X i )) n n n i=1 i=1 Gehe über zu X ′ i = X i − E(X i ), wobei E(X ′ i) = 0 und Var(X ′ i) = Var(X i ), bzw. nehme gleich o.B.d.A. an, daß E(X i ) = 0 vorliegt. ∑ Erster Versuch zum Nachweis von 1 n n i=1 X i −→ 0 fast sicher: Sei ε > 0, betrachte mit der Annahme Var(X 1 ) = Var(X i ) = b > 0 ( {∣ ∣ }) ({∣ ∣ }) ⋃ ∣∣∣∣ 1 m∑ ∣∣∣∣ ∞∑ ∣∣∣∣ 1 m∑ ∣∣∣∣ P X i ≥ ε ≤ P X i ≥ ε m m m≥n i=1 m=n i=1 ∞∑ 1 ∑ m ≤ Var(X m 2 ε 2 i ) ≤ m=n ∞∑ m=n i=1 ≤ b ε 2 ∞ ∑ mb m 2 ε 2 m=n i=1 1 m = ∞ Das klappt so nicht! Zweiter Versuch: Beachte E(X i ) = 0, daher Var(X i ) = E(Xi 2 ); es ist: (∣ ∣ ) ∣∣∣∣ 1 n∑ ∣∣∣∣ P X i ≥ ε ≤ 1 n∑ E(X 2 n n 2 ε 2 i ) = b ε · n i=1 i=1 Möglichkeit, um die Summierung über 1 n zu vermeiden: Denke an P (|Z| ≥ ε) ≤ E(|Z|p ) ε p 80
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Dies ist wieder eine Umformulierung der fast sicheren Konvergenz <strong>von</strong><br />
oben.<br />
11.4 Starkes Gesetz der großen Zahlen<br />
11.4.1 Versuch, zu einem Starken Gesetz zu gelangen<br />
Seien X 1 , X 2 , . . . stochastisch unabhängige Zufallsgrößen mit E(Xi 2 ) < ∞.<br />
Dann ist<br />
1<br />
n∑<br />
X i − 1 n∑<br />
E(X i ) = 1 n∑<br />
(X i − E(X i ))<br />
n n<br />
n<br />
i=1<br />
i=1<br />
Gehe über zu X ′ i = X i − E(X i ), wobei E(X ′ i) = 0 und Var(X ′ i) = Var(X i ),<br />
bzw. nehme gleich o.B.d.A. an, daß E(X i ) = 0 vorliegt.<br />
∑<br />
Erster Versuch zum Nachweis <strong>von</strong> 1 n<br />
n i=1 X i −→ 0 fast sicher: Sei ε > 0,<br />
betrachte mit der Annahme Var(X 1 ) = Var(X i ) = b > 0<br />
( {∣ ∣ })<br />
({∣ ∣ })<br />
⋃ ∣∣∣∣<br />
1<br />
m∑ ∣∣∣∣ ∞∑ ∣∣∣∣<br />
1<br />
m∑ ∣∣∣∣<br />
P<br />
X i ≥ ε ≤ P<br />
X i ≥ ε<br />
m<br />
m<br />
m≥n i=1<br />
m=n<br />
i=1<br />
∞∑ 1 ∑ m<br />
≤<br />
Var(X<br />
m 2 ε 2<br />
i )<br />
≤<br />
m=n<br />
∞∑<br />
m=n<br />
i=1<br />
≤ b ε 2 ∞<br />
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mb<br />
m 2 ε 2<br />
m=n<br />
i=1<br />
1<br />
m = ∞<br />
Das klappt so nicht! Zweiter Versuch: Beachte E(X i ) = 0, daher Var(X i ) =<br />
E(Xi 2 ); es ist:<br />
(∣ ∣ )<br />
∣∣∣∣<br />
1<br />
n∑ ∣∣∣∣<br />
P X i ≥ ε ≤ 1 n∑<br />
E(X 2<br />
n<br />
n 2 ε 2<br />
i ) =<br />
b<br />
ε · n<br />
i=1<br />
i=1<br />
Möglichkeit, um die Summierung über 1 n<br />
zu vermeiden: Denke an<br />
P (|Z| ≥ ε) ≤ E(|Z|p )<br />
ε p<br />
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