Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Somit ist
P
( ⋂
[. . .]
l∈N
)
= 1 ⇐⇒ P ([. . .]) = 1 ⇐⇒ P ([. . .] c ) = 0
Es gilt also: Z n konvergiert fast sicher gegen Z genau dann, wenn für alle
ε > 0 gilt:
(( ) c )
⋃ ⋂
P
{ω ′ | |Z m (ω ′ ) − Z(ω ′ )| ≤ ε} = 0
n∈N m≥n
D.h. es ist für jedes ε > 0:
( )
⋂ ⋃
0 = P {ω ′ | |Z m (ω ′ ) − Z(ω ′ )| > ε}
n∈N m≥n
( )
⋃
= lim P {ω ′ | |Z m (ω ′ ) − Z(ω ′ )| > ε}
n→∞
m≥n
= P (lim sup {ω ′ | |Z m (ω ′ ) − Z(ω ′ )| > ε})
Dies wird benutzt, um die fast sichere Konvergenz zu untersuchen.
11.3.2 Fast sichere und schwache Konvergenz
Satz: Seien Z, Z 1 , Z 2 , . . . Zufallsgrößen Dann gilt:
1. Wenn Z n −→ Z fast sicher, so gilt Z n −→ Z in Wahrscheinlichkeit.
2. Falls ∑ m∈N P (|Z m − Z| > ε) < ∞ für alle ε > 0, so ist Z n −→ Z fast
sicher
Beweis:
1. Falls Z n −→ Z fast sicher, so ist für alle ε > 0: lim m→∞ P (|Z m − Z| >
ε) = 0. Nun folgt die Aussage aus obiger Umformulierung der fast
sicheren Konvergenz wegen
( )
⋃
P (|Z m − Z| > ε) ≤ P {|Z m ′ − Z| > ε}
m ′ ≥m
2. Mit dem Borel-Cantelli-Lemma ( ∑ n P (A n) < ∞ ⇒ P (lim sup A n ) = 0)
gilt:
∑
P (|Z m − Z| > ε) < ∞ =⇒ P (lim sup{|Z m (ω ′ ) − Z(ω ′ )| > ε}) = 0
m∈N
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