Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Und für relative Häufigkeiten bei Versuchswiederholungen:
h(A, n)) −→ W (A) in Wahrscheinlichkeit
11.3 Fast sichere Konvergenz
Schwache Gesetze in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandeln schwache
Konvergenz, d.h. Konvergenz in Wahrscheinlichkeit, starke Gesetze behandeln
eine stärkere Konvergenzart, die sogenannte fast sichere Konvergenz.
Z, Z 1 , Z 2 , . . . seien Zufallsgrößen. Dann wird definiert: Z n konvergiert fast
sicher, falls P ({ω | lim Z n (ω) = Z(ω)}) = 1.
Danke an unendliches Würfeln Ω = {1, . . . , 6} N , sei h({1}, n)(ω) = |{i ≤ n | ω i = 1}|,
Frage: Gilt ({
P ω | lim h({1}, n)(ω) = 1 })
= 1?
n→∞ 6
11.3.1 Umformulierung der fast sicheren Konvergenz
lim Z n(ω) = Z(ω) ⇐⇒ ∀ l ∈ N: ∃ n l : ∀ m ≥ n l : |Z m (ω) − Z(ω)| ≤ 1
n→∞ l
⇐⇒ ω ∈ ⋂ ⋃ ⋂
{ ∣ ∣∣∣
ω ′ |Z m (ω ′ ) − Z(ω ′ )| ≤ 1 }
l
l∈N n∈N m≥n
Zum Nachweis von Z n −→ Z fast sicher, d.h. zum Nachweis von
ist zu zeigen:
P
( ⋂
l∈N
⋃
P ({ω | lim Z n (ω) = Z(ω)}) = 1
⋂
n∈N m≥n
{
ω ′ ∣ ∣∣∣
|Z m (ω ′ ) − Z(ω ′ )| ≤ 1 l
} ) = 1
Es ist aber
( ⋂ ⋃ ⋂
P
l∈N n∈N m≥n
( ⋃ ⋂
= lim P
l→∞
n∈N
m≥n
{ ∣ ∣∣∣
ω ′ |Z m (ω ′ ) − Z(ω ′ )| ≤ 1 } )
l
{ ∣ ∣∣∣
ω ′ |Z m (ω ′ ) − Z(ω ′ )| ≤ 1 } )
l
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