Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Es folgt mit Qebyxev-Ungleichung:
P (|h(A, n) − W (A)| ≥ ε) ≤
Var h(A, n)
ε 2
= 1 W (A)(1 − W (A))
−→ 0
n ε 2
Satz: Seien Y 1 , Y 2 , . . . stochastisch unabhängig mit P Y i
= P Y 1
= W für alle
i. Dann gilt:
lim P (|h(A, n) − W (A)| ≥ ε) = 0 ∀ ε > 0
n→∞
Beweis: Wie oben mit E(h(A, n)) = W (A) und Var(h(A, n)) =
sowie der Qebyxev-Ungleichung.
W (A)(1−W (A))
n
11.2 Schwaches Gesetz der großen Zahlen
Satz: Seien X 1 , X 2 , . . . stochastisch unabhängige
∑
Zufallsgrößen mit endlichen
Varianzen, für die gelte: lim n 1
n→∞ n 2 i=1 Var(X i) = 0. Dann folgt
(∣ ∣∣∣∣
lim P 1
n→∞ n
n∑
X i − 1 n
i=1
)
n∑
E(X i )
∣ ≥ ε = 0 ∀ ε > 0
i=1
Beweis: Es gilt mit Qebyxev-Ungleichung 16 :
(∣ )
∣∣∣∣
lim P 1
n∑
X i − 1 n∑
E(X i )
n→∞ n n ∣ ≥ ε ≤ 1 n 2
i=1
i=1
n∑
Var(X r )
Die im schwachen Gesetz der großen Zahlen auftretende Konvergenzart wird
als schwache Konvergenz oder Konvergenz in Wahrscheinlichkeit bezeichnet:
Definition: Sind Z, Z 1 , Z 2 , . . . Zufallsgrößen, so wird definiert: Z n konvergiert
schwach oder konvergiert in Wahrscheinlichkeit gegen Z, wenn
lim P (|Z n − Z| ≥ ε) = 0 ∀ ε > 0
n→∞
i=1
Das schwache Gesetz der großen Zahlen besagt also:
1
n
n∑
X i − 1 n
i=1
n∑
E(X i ) −→ 0 in Wahrscheinlichkeit
i=1
16 „Warum heißt es schwaches Gesetz? Weil der Beweis so einfach ist, daß schon ein
schwacher Mathematiker es beweisen kann!“
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