Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Sei nun X i = 1 {1} (Y i ) (d.h. nur gleich 1, falls Y i = 1 ist, sonst 0), also ist
|{i ≤ n | Y i = 1}| = ∑ n
i=1 X i.
11.1.1 Versuchswiderholungen und relative Häufigkeiten
Seien Y 1 , Y 2 , . . . Zufallsvariablen mit Werten in Y. Für A ⊆ Y sei
h(A, n) = |{i ≤ n | Y i ∈ A}|
n
= 1 n
n∑
1 A (Y i )
i=1
Wir sprechen von einer Versuchswiederholung, falls Y 1 , Y 2 , . . . stochastisch
unabhängig sind und P Y i
= P Y 1
= W für alle i gilt (beim Würfelwurf:
W ({l}) = 1 für l = 1, . . . , 6). Beachte:
6
{ 1 falls Yi ∈ A
1 A (Y i ) =
0 falls Y i /∈ A
, also ist für X i = 1 A (Y i ) (mit X 2 i = X i ):
Damit folgt:
E(X i ) = P (Y i ∈ A) = W (A)
Var(X i ) = E(X 2 i ) − (E(X i ) 2 ) = W (A)(1 − W (A))
E(|{i ≤ n | Y i ∈ A}|) = E
Var(|{i ≤ n | Y i ∈ A}|) = Var
( n∑
i=1
X i
)
=
( n∑
i=1
X i
)
=
n∑
E(X i ) = nW (A)
i=1
n∑
Var(X i )
i=1
= nW (A)(1 − W (A)) ≤ n 4
Damit ist E(h(A, n)) = W (A) und Var(h(A, n)) = 1 W (A)(1 − W (A)).
n
Exkurs: Seien nun X 1 , . . . , X n nicht notwendig stochastisch unabhängig
mit EX i = a und Var(X i ) = b > 0 und Kov(X i , X j ) = c ≠ 0, dann ist
( ) (
1
n∑
n∑
Var X i = 1 Var(X
n
n 2 i ) + ∑ )
Kov(X i , X j )
i=1
i=1
i≠j
= b n
+
n(n − 1)
n 2 c =
b + (n − 1)c
n
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