Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Für X 1 , X 2 stochastisch unabhängig und integrierbar ist X 1 X 2 integrierbar,
und es gilt:
E(X 1 X 2 ) = E(X 1 )E(X 2 ) und Kov(X 1 , X 2 ) = 0
Beweis: Es gilt:
E(|X 1 X 2 |) =
=
=
∫ ∫
|x 1 | |x 2 | P X 2
(dx 2 )P X 1
(dx 1 )
∫ ∫
|x 1 | |x 2 | P X 2
(dx 2 )P X 1
(dx 1 )
∫
|x 1 | E(|X 2 |)P X 1
(dx 1 )
= E(|X 2 |)E(|X 1 |)
Also ist X 1 X 2 integrierbar, damit läßt sich der Satz von Fubini auf X 1 X 2
anwenden und liefert entsprechend E(X 1 X 2 ) = E(X 1 )E(X 2 ).
Folgerung: Sind X 1 , . . . , X n stochastisch unabhängig mit endlichen Varianzen,
dann gilt: ( n∑
)
n∑
Var X i = Var(X i )
i=1
i=1
11 Gesetze der großen Zahlen
11.1 Motivation zum Gesetz der großen Zahlen
Daraus läßt sich etwas folgern, was unseren Erfahrungsschatz innerhalb des
Begriffsapparats der Wahrscheinlichtkeitstheorie abbildet. Dieses „Etwas“ wird
als Gesetz der großen Zahlen bezeichnet:
Es wird gewürfelt: einmal, zweimal, . . . , n-mal, . . . und der relative Anteil der
1 unter den ersten n Würfen wird registriert. Die Erfahrung besagt: dieser
relative Anteil sollte nahe bei 1 liegen. Wahrscheinlichkeitstheoretische Modellierung
gegeben durch stochastisch unabhängige Y 1 , . . . mit Y i als Ergebnis
6
des i-ten Wurfes. Relativer Anteil der 1 ist gegeben durch
Vermutung für jedes ε > 0:
|{i ≤ n | Y i = 1}|
n
(∣ ∣∣∣
lim P |{i ≤ n | Y i = 1}|
n→∞ n
75
− 1 ) 6∣ ≥ ε = 0