Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Hier ist Ω = {(ω 1 , . . . , ω n ) | w i ∈ {−1, +1}} = {−1, +1} n , wobei ω i = 1 eine
Stimme für A, ω i = −1 eine Stimme für B bei der (n + i)-ten Auszählung
bedeutet. Damit ist |Ω| = 2 n , P ({ω}) = 1 = 1 . Der Ergebnisraum ist
|Ω| 2 n
{
m
}
E = ω ∈ Ω
∣ a + ∑
ω i > 0 ∀ 1 ≤ m ≤ n
i=1
E wird disjunkt zerlegt in Ereignisse E k = {ω ∈ E | a + ∑ n
i=1 ω i = a + 2k − n}
für jedes k mit n ≥ k > n−a (d.h. k ist die Anzahl der Stimmen). ω ∈ E
2 k
entspricht einem Ziehungsvorgang, bei dem A immer führt und am Ende
einen Vorsprung von a + 2k − n > 0 hat.
• Für n − k ≥ a entspricht ω ∈ E k genau einem Pfad, der (0, a) und
(n, ( a + 2k − n) verbindet, ohne die x-Achse zu erreichen. Also ist |E k | =
n
(
k)
−
n
a+k
)
und damit
P (E k ) =
( n
(
k)
−
n
)
a+k
2 n
• Für ( n − k < a kann B den Vorsprung nicht mehr einholen und |E k | ist
n
)
k .
Zusammen erhält man:
P (E) =
n∑
k=⌈ n−a
2 ⌉
⎛
⎜
P (E k ) = ⎝
∑n−a
k=⌈ n−a
2 ⌉
⎞
( n∑
⎟
2 n ⎠ +
( n
(
k)
−
n
)
a+k
1.6 Das Nadelproblem von Buffon
k=n−a+1
( n
k) )
Bislang wurden diskrete Zufallsexperimente betrachtet, nun kommen Experimente
mit überabzählbar vielen Ausgängen vor. Betrachte eine Nadel
der Länge 1 und eine Ebene, die durch Parallelen im Abstand 1 in Streifen
unterteilt ist.
Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß bei einem zufälligen
Wurf die Nadel keine der Parallelen trifft?
Beschreibung des Zufallsexperiments durch
• Den Abstand a ∈ [0, 1) des Mittelpunktes der Nadel zur nächstgelegenen
unteren Parallelen; a = 0 bedeutet: Mittelpunkt ist auf einer Parallelen
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