Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

10.2.4 Die Varianz der Summen von Zufallsgrößen
Seien X 1 , X 2 , . . . , X n Zufallsgrößen mit endlichen Varianzen. Dann gilt:
( n∑
) ⎛( n∑
( n∑
)) ⎞ 2
Var X i = E ⎝ X i − E X i
⎠
i=1 i=1
i=1
⎛( n∑
) ⎞ 2
= E ⎝ (X i − E(X i )) ⎠
i=1
( n∑
) ( )
∑
= E (X i − E(X i )) 2 + E (X i − E(X i ))(X j − E(X j ))
i=1
i≠j
=
=
n∑
E ( (X i − E(X i )) 2) + ∑ E ((X i − E(X i ))(X j − E(X j )))
i=1 i≠j
n∑
Var(X i ) + ∑ Kov(X i , X j )
i=1 i≠j
Dabei gilt:
Definition: Die Kovarianz von X i und X j ist
Kov(X i , X j ) = E ((X i − E(X i ))(X j − E(X j )))
Der Korrelationskoeffizient von X i und X j ist
Korr(X i , X j ) =
Kov(X i , X j )
√
Var(Xi ) √ Var(X j )
Dabei gilt: |Korr(X i , X j )| ≤ 1 nach der Cauchy-Schwarzschen-Ungleichung 15 .
Die Korrelationskoeffizient ist eine Maßzahl für die gegenseitige Beeinflussung
von X i und X j . Es gilt
Kov(X i , X j ) = E ((X i − E(X i ))(X j − E(X j )))
= E (X i X j − E(X i )X j − X i E(X j ) + E(X i )E(X j ))
= E(X i X j ) − E(X i )E(X j ) − E(X i )E(X j ) + E(X i )E(X j )
= E(X i X j ) − E(X i )E(X j )
15 wende die Ungleichung an auf Z i = X i − E(X i )
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