Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

1. D ist offensichtlich Dynkin-System
2. R ⊆ D ebenfalls offensichtlich: Sei B = A 1 × A 2 , also
Damit ist
1 B (x 1 , x 2 ) = 1 A1 ×A 2
(x 1 , x 2 ) = 1 A1 (x 1 )1 A2 (x 2 )
{ 0 falls x1 /∈ A
1 B (x 1 , ·) = 1 A1 (x 1 )1 A2 =
1
1 A2 falls x 1 ∈ A 1
Weiter gilt:
∫
{
1 B (x 1 , x 2 )P X 2
(dx 2 ) =
Und es gilt auch:
∫X 1
∫
0 falls x 1 /∈ A 1
P (X 2 ∈ A 2 ) falls x 1 ∈ A 1
1 B (x 1 , x 2 )P X 2
(dx 2 )P X 1
(dx 1 )
X
∫ 2
= P (X 2 ∈ A 2 )1 A1 dP X 1
X 1
= P (X 2 ∈ A 2 )P (X 1 ∈ A 1 )
Unabh.: = P (X 1 ∈ A 1 , X 2 ∈ A 2 )
= P ((X 1 , X 2 ) ∈ B)
= E1 B (X 1 , X 2 )
Mit dem Satz von Dynkin folgt aus den Eigenschaften: C 1 ⊗ C 2 = σ(R) ⊆ D.
Damit ist der Satz von Fubini gültig für alle h der Vorm h = 1 B mit
B ∈ C 1 ⊗ C 2 . Mit der üblichen Vorgehensweise erhält man unter Benutzung
des Satzes von der monotonen Konvergenz, daß der Satz von Fubini gültig
ist für jedes meßbare h ≥ 0
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