Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

10.2.2 Summe zweier unabhängiger Zufallsgrößen
Seien X i : Ω → R stochastisch unabhängige Zufallsgrößen für i = 1, 2. Dann
gilt gemäß dem Korollar:
∫
P (X 1 + X 2 ∈ B) = P (X 1 + x 2 ∈ B)P X 2
(dx 2 )
∫
= P (X 1 ∈ B − x 2 )P X 2
(dx 2 )
Also ist
P (X 1 + X 2 ≤ t) =
=
∫
∫
R
R
P (X 2 ≤ t − x 1 )P X 1
(dx 1 )
P (X 1 ≤ t − x 2 )P X 2
(dx 2 )
Bei Vorliegen einer stetigen Dichte f i für i = 1, 2 ist weiter:
P (X 1 + X 2 ≤ t) =
=
=
∫ ∞ ∫ t−x2
−∞ −∞
∫ ∞ ∫ t
−∞ −∞
∫ t ∫ ∞
−∞
Damit ist h die Dichte von X 1 + X 2 :
h(z) =
∫ ∞
−∞
f 1 (x 1 ) dx 1 f 2 (x 2 ) dx 2
f 1 (x 1 − x 2 ) dx 1 f 2 (x 2 ) dx 2
f 1 (z − x 2 )f 2 (x 2 ) dx 2 dz
−∞
} {{ }
h(z)
f 1 (z − x 2 )f 2 (x 2 ) dx 2
Beispiel: Seien X 1 , X 2 stochastisch unabhängig und N(a, σ 2 )- bzw. N(b, τ 2 )-
verteilt. Was ist die Verteilung von X 1 + X 2 ? Es gilt:
∫ ∞
−∞
1 (z−x−a)2
√ e− σ 2 ·
2πσ
2
1 (x−b)2
√ e− τ 2 dx =
2πτ
2
Damit ist X 1 + X 2 normalverteilt mit N(a + b, σ 2 + τ 2 )
10.2.3 Satz von Fubini - Beweis
1
(z−(a+b))2
√
2π(σ2 + τ 2 e− 2(σ 2 +τ 2 )
)
Beweis der Aussage zunächst für Indikatorfunktion h = 1 B . Definiere dazu:
⎧
∣ ⎫
⎨
∣∣∣∣∣ 1
D =
⎩ B ⊆ X ∫ B (x 1 , ·): X 2 → R meßbar
⎬
1 × X 2 1B (·, x 2 )P X 2
(dx 2 ): X 1 → R meßbar
E1 B (X 1 , X 2 ) = ∫ X 1
∫X 2
1 B (x 1 , x 2 )P X 2
(dx 2 )P X 1
⎭
(dx 1 )
Gewünscht ist: C 1 ⊗ C 2 ⊆ D!
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