Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

1. D ist σ-Algebra
2. R ⊆ D, denn: (X 1 , X 2 ) −1 (A 1 × A 2 ) = X −1
1 (A 1 ) ∩ X −1
2 (A 2 )
Also ist C 1 ⊗ C 2 = σ(R) ⊆ D.
Wir können präzisieren: Wie berechnen wir P ((X 1 , X 2 ) ∈ B) für B ∈ C 1 ⊗ C 2 ?
Allgemeiner: Wie berechnen wir Eh(X 1 , X 2 ) für h: X 1 × X 2 → R meßbar
bezüglich C 1 ⊗ C 2 ? Das beinhaltet die Antwort auf die erste Frage, denn
P ((X 1 , X 2 ) ∈ B) = E(1 B (X 1 , X 2 ))
10.2.1 Satz von Fubini - Formulierung
Satz: (Satz von Fubini) X i : Ω → X i seien stochastisch unabhängige
Zufallsvariablen für i = 1, 2. Sei h: X 1 × X 2 → R meßbar (bezüglich C 1 ⊗ C 2 ),
h(X 1 , X 2 ) sei regulär. Dann gilt:
∫
Eh(X 1 , X 2 ) = h(x 1 , x 2 )P (X 1,X 2 ) (d(x 1 , x 2 ))
=
=
X 1 ×X 2
∫ ∫X 1
∫X 2
∫
X 2
h(x 1 , x 2 )P X 2
(d(x 2 ))P X 1
(d(x 1 ))
X 1
h(x 1 , x 2 )P X 1
(d(x 1 ))P X 2
(d(x 2 ))
Korollar: X i : Ω → X i seien Zufallsvariablen für i = 1, 2. Dann gilt für
jedes B ∈ C 1 ⊗ C 2 :
∫
P ((X 1 , X 2 ) ∈ B) = P X 1
({x 1 | (x 1 , x 2 ) ∈ B})P X 2
(dx 2 )
X
∫ 2
= P X 2
({x 2 | (x 1 , x 2 ) ∈ B})P X 1
(dx 1 )
X
∫ 1
= P ((X 1 , x 2 ) ∈ B)P X 2
(dx 2 )
X
∫ 2
= P ((x 1 , X 2 ) ∈ B)P X 1
(dx 1 )
X 1
Faustregel: Ersetze ein großes X i durch ein kleines x i und integriere dann
bezüglich P X i
.
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