Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Es ist
P ((X 1 , X 2 ) ∈ A) = E(1 A (X 1 , X 2 ))
= ∑ E(1 A ◦ (X 1 , x 2 ))P (X 2 = x 2 )
x 2
= ∑ P ((X 1 , x 2 ) ∈ A)P (X 2 = x 2 )
x 2
= ∑ P ((x 1 , X 2 ) ∈ A)P (X 1 = x 1 )
x 1
Beachte dabei
P ((X 1 , x 2 ) ∈ A) = P ({ω i | (X 1 (ω), x 2 ) ∈ A})
Anders geschrieben mit Erwartungswert als Integral gilt:
∫
(∫
)
h(X 1 , X 2 ) dP = h(x 1 , x 2 )P
∫X X 1
(dx 1 ) P X 2
(dx 2 )
2 X 1
Vermutung: Es gilt allgemein:
∫ ∫
∫ ∫
Eh(X 1 , X 2 ) = h(x 1 , x 2 )P X 1
(dx 1 )P X 2
(dx 2 ) =
h(x 1 , x 2 )P X 2
(dx 2 )P X 1
(dx 1 )
Das stimmt! Siehe Satz von Fubini. Dies wird „ständig“ in der Wahrscheinlichkeitstheorie
angewandt.
Ziel: Den Satz von Fubini
1. korrekt zu formulieren mit geeigneter Meßbarkeit für h
2. und dann zu beweisen
Definition: (X 1 , C 1 ) und (X 2 , C 2 ) seien meßbare Räume, definiere Rechteckmengen
R := {A 1 × A 2 | A 1 ∈ C 1 , A 2 ∈ C 2 }
Beachte: R ist ∩-stabil, denn (A 1 × A 2 ) ∩ (A ′ 1 × A ′ 2) = (A 1 ∩ A ′ 1) × (A 2 × A ′ 2).
Die Produkt-σ-Algebra wird definiert als
C 1 ⊗ C 2 := σ(R)
Bemerkung: Seien X i : Ω → X i meßbar für i = 1, 2. Dann ist (X 1 , X 2 ): Ω →
X 1 × X 2 meßbar bezüglich C 1 ⊗ C 2 , denn: Für die Menge
D = { B ⊆ X 1 × X 2 | (X 1 , X 2 ) −1 (B) ∈ A }
gilt:
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