Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

die Verteilung von ∑ n
i=1 X i auch als Faltung der Verteilungen von X 1 , . . . , X n .
Startet man mit Verteilungen aus einer gewissen Familie und bleibt die Faltung
in dieser Familie, so spricht man von Faltungsstabilität (z.B. sind (B(n, p)) n∈N
ist faltungsstabil).
10.1.2 Poisson-Verteilung
Für X 1 , X 2 jeweils P(λ i )-verteilt und stochastisch unabhängig gilt:
P (X 1 + X 2 = k) =
=
∞∑
P (X 2 = k − j)P (X 1 = j)
j=0
∞∑
j=0
e −λ 1
= e −(λ 1+λ 2 )
λ k−j
1
λj
(k − j)! e−λ 2 2
j!
k∑
j=0
λ k−j
1 λ j 2
(k − j)! j!
= (λ 1 + λ 2 ) k
e −(λ 1+λ 2 )
k!
Also ist X 1 + X 2 wieder P(λ 1 + λ 2 )-verteilt.
10.2 Satz von Fubini
Bei diskreten Zufallsgrößen erhält man die Verteilung durch Summation
wie oben beschrieben. Frage: Wie geht dieses allgemein? Vermutung: Im
diskreten Fall gilt
E(h(X 1 , X 2 )) = ∑ x 1 ,x 2
h(x 1 , x 2 )P (X 1 = x 1 , X 2 = x 2 )
= ∑ x 1 ,x 2
h(x 1 , x 2 )P (X 1 = x 1 ) · P (X 2 = x 2 )
= ∑ x 2
P (X 2 = x 2 )E(h(X 1 , x 2 ))
Warum ist die Formel für P (X 1 + X 2 = k) ein Spezialfall hiervon? Mit
h(X 1 , X 2 ) = X 1 + X 2 ist Eh(X 1 , X 2 ) = E(X 1 + X 2 ) = E(X 1 ) + E(X 2 )!
Beachte: h = 1 A bedeutet 1 A ◦ (X 1 , X 2 ) = 1 (X1 ,X 2 ) −1 (A) ergibt E(h(X 1 , X 2 )) =
P ((X 1 , X 2 ) ∈ A), d.h.
X 1 + X 2 = k ⇔ (X 1 , X 2 ) ∈ A k = {(x 1 , x 2 ) | x 1 + x 2 = k}
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