Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

die Verteilung von X = X 1 + X 2 ? Zu berechnen ist
( )
∑
P (X 1 + X 2 = k) = P {X 1 + X 2 = k | X 1 = j}
j∈Z
= ∑ P (X 1 + X 2 = k, X 1 = j)
j∈Z
= ∑ j∈Z
P (X 2 = k − j, X 1 = j)
= ∑ j∈Z
P (X 2 = k − j) · P (X 1 = j)
Ohne stochastische Unabhängigkeit wird dies zu: ∑ j∈Z P (X 2 = k − j|X 1 = j)·
P (X 1 = j).
10.1 Faltung, Faltungsstabilität
10.1.1 Binomial-Verteilung
Beispiel: Man betrachte zwei Urnen mit schwarzen und weißen Kugeln,
aus beiden wird gleichzeitig mit zurücklegen gezogen. Gefragt ist nach der
Anzahl X 1 + X 2 der gezogenen weißen Kugeln, wobei X 1 , X 2 stochastisch
unabhängig sind. Sei X 1 B(n 1 , p 1 )-verteilt, X 2 entsprechend B(n 2 , p 2 ). Für
k ∈ {0, . . . , n 1 + n 2 } ist
P (X 1 + X 2 = k) =
=
∑n 1
j=0
n 1
∑
j=0
P (X 2 = k − j)P (X 1 = j)
( )
n2
p k−j
2 (1 − p 2 ) n 2−(k−j)
k − j
∑n 1
(⋆) = p k (1 − p) n 1+n 2 −k
=
(
n1 + n 2
k
j=0
(
n2
)
p k (1 − p) n 1+n 2 −k
)(
n1
(
n1
j
)
k − j j
} {{ }
=( n 1 +n 2
k )
)
p j 1(1 − p 1 ) n 1−j
Dabei gilt (⋆) für p 1 = p 2 = p. Also: Falls X i jeweils B(n i , p) verteilt sind
und stochastisch unabhängig sind, so ist ∑ l
i=1 X i B(n 1 + . . . + n l , p)-verteilt.
Bemerkung: Sind X 1 , . . . , X m stochastisch unabhängig, so bezeichnet man
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