Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

10 Stochastische Unabhängigkeit
Ereignisse A, B sind stochastisch unabhängig, falls P (A ∩ B) = P (A) · P (B).
Definition: Seien X 1 : Ω → X 1 und X 2 : Ω → X 2 Zufallsvariablen. X 1
und X 2 heißen stochastisch unabhängig, falls für alle meßbaren D 1 ⊆ X 1 und
D 2 ⊆ X 2 gilt:
P (X 1 ∈ D 1 , X 2 ∈ D 2 ) = P (X 1 ∈ D 1 ) · P (X 2 ∈ D 2 )
Bemerkung: Beachte dabei
{X 1 ∈ D 1 , X 2 ∈ D 2 } = {ω | X 1 (ω) ∈ D 1 , X 2 (ω) ∈ D 2 }
= {ω | X 1 (ω) ∈ D 1 } ∩ {ω | X 2 (ω) ∈ D 2 }
= X −1
1 (D 1 ) ∩ X −1
2 (D 2 )
Also: X 1 , X 2 sind stochastisch unabhängig genau dann, wenn sämtliche Ereignisse
der Form X1 −1 (D 1 ), X2 −1 (D 2 ) stochastisch unabhängig sind. Diese
Definition läßt sich wie folgt erweitern:
Definition: X i : Ω → X i für i = 1, . . . , n heißen stochastisch unabhängig,
falls für alle meßbaren D i ⊆ X i gilt:
P (X i ∈ D i , . . . , X i ∈ D i ) =
n∏
P (X i ∈ D i )
i=1
Dies läßt sich wiederum schreiben als:
( n
)
⋂
P X −1
i (D i ) =
i=1
n∏
i=1
P (X −1
i (D i ))
Eine (beliebige) Familie (X i ) i∈I von Zufallsvariablen heißen stochastisch
unabhängig, falls (X j ) j∈J stochastisch unabhängig ist für jedes endliche J ⊆ I.
Stochastisch Unabhängig heißt die Möglichkeit, Wahrscheinlichkeiten, die
sich durch Zusammenwirken verschiedener Zufallsgrößen ergeben, einfach zu
errechnen.
Beispiel: X 1 , X 2 : Ω → Z seien stochastisch unabhängig. Frage: Was ist
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