Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

9.2.2 Jensensche Ungleichung
Satz: Sei I ⊆ R ein Intervall, f : I → R sei konvex. Dann gilt für jede
Zufallsgröße X : Ω → I:
f(E(X)) ≤ E(f(X))
Beweis: Da X : Ω → I vorliegt, gilt - wie man sich sofort überlegt - E(X) ∈
I. Für alle x ∈ I gilt
f(x) ≥ f(E(X)) + f ′ (E(X)) · (x − E(X))
Durch Integration bezüglich P X gilt:
∫
∫
f(x)P X (dx) ≥ f(E(X)) + f ′ (E(X)) ·
(x − E(X))P X (dx)
also
E(f(X)) =
∫
f(x)P X (dx) ≥ . . .
= f(E(X)) + f ′ (E(X)) · E(X − E(X))
} {{ }
E(X)−E(X)=0
= f(E(X))
Falls f in E(X) nicht differenzierbar ist, so benutze man die bei konvexen
Funktionen stets existierende rechtsseitige Ableitung in E(X).
Anmerkung: Ist g konkav, so ist f = −g konvex und mit obiger Ungleichung
gilt
−g(E(X)) ≤ −E(g(X)) also g(E(X)) ≥ E(g(X))
Damit ist z.B. bei X ≥ 0: log(E(X)) ≥ E(log(X)) und
(E(|Z|)) p { ≤ E(|Z| p ) falls p ≥ 1
≥ E(|Z| p ) falls p ≤ 1
Falls x i = log y i ist für y 1 , . . . , y n > 0, und f(x) = e x , so ist
n∏
= e ∑ n
n∑
i=1 p i log y i
≤ p i y i
i=1
y p i
i
Damit gilt mit p i = 1 die Ungleichung zwischen geometrischen und arithmetischem
Mittel:
n
(
∏ n
) 1
n
y i ≤ 1 n∑
p i
n
i=1
i=1
i=1
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