Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Damit ist für a > med(X) (und analog für a < med(X)):
E(|X − a|) ≥ E(|X − med(X)|)
Satz: Sei X Zufallsgröße. Dann gilt
|E(X) − med(X)| ≤ √ Var(X)
Beweis:
|E(X) − med(X)| = |E(X − med(X))| ≤ E(|X − med(X)|)
≤ E(|X − E(X)|) ≤ √ E((X − E(X)) 2 )
= √ Var(X)
9.2.1 Cauchy-Schwarz-Ungleichung
Satz: Seien X, Y Zufallsgrößen mit E(X 2 ) < ∞ und E(Y 2 ) < ∞. Dann
ist XY integrierbar, und es gilt
E(|XY |) ≤ √ E(X 2 )E(Y 2 )
Beweis: Es gilt 0 ≤ (− |X| + |Y |) 2 = X 2 + Y 2 − 2 |X| |Y |, also ist
E(|XY |) ≤ E(X2 ) + E(Y 2 )
2
< ∞
Für jedes c ∈ R gilt: 0 ≤ (−c |X| + |Y |) 2 = c 2 |X| 2 + |Y | 2 − 2c |XY |. Also
folgt mit c = E(|XY |) · E(X 2 ) −1 (falls E(X 2 ) > 0):
0 ≤ c 2 E(X 2 ) + E(Y 2 ) − 2c · E(|XY |) =
E(|XY |)2
E(X 2 )
+ E(Y 2 E(|XY |)2
) − 2
E(X 2 )
Die Behauptung folgt für E(X 2 ) > 0 also aus:
E(|XY |) 2 ≤ E(X 2 )E(Y 2 )
Für E(X 2 ) = 0 folgt P (X = 0) = 1, also P (XY = 0) = 1, also E(|XY |) =
0 = √ E(X 2 )E(Y 2 ).
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