Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Wir geben einen festen Top (b 1 , . . . , b 6 ) ab.
Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen Dreier zu erzielen?
Dies entspricht dem Ereignis
A = {(ω 1 , . . . , ω 6 ) | |{ω 1 , . . . , ω 6 } ∩ {b 1 , . . . , b 6 }| = 3}
Es gilt: |A| = ( (
6
3)
·
43
) (
3 , denn es gibt 6
3)
Möglichkeiten, 3 Zahlen aus den
vorgegebenen zu ziehen und ( )
43
3 Möglichkeiten, aus den nicht vorgegebenen
Zahlen die übrigen drei zu ziehen. Damit ist P (A) = |A| 24 692
= . Analog
|Ω| 13 983 816
ergibt sich für k = 4, 5, 6 die Wahrscheinlichkeit für k Richtige als
( 6 (
P (A k ) =
k)
·
43
)
6−k
( 49
)
6
1.5 Spiegelungsprinzip
Das Spiegelungsprinzip ist ein kombinatorisches Hilfsmittel zum Abzählen
von Elementen einer Menge. Betrachte hierzu Gitterpunkte (u, v) ∈ Z ×
Z. Ausgehend von einem Startpunkt (0, a) kann man in n Schritten einen
Punkt (n, a + 2k − n) durch einen Pfad mit k Aufwärtssprüngen und n − k
Abwärtssprüngen erreichen. Sprünge haben nur die Höhe ±1.
Die Anzahl der Pfade, die (0, a) mit (n, a + 2k − n) verbindet, beträgt ( n
( k)
=
n
n−k)
. Seien a > 0 und a + 2k − n > 0.
Frage: Wie viele Pfade gibt es, die (0, a) mit (n, a + 2k − n) verbinden
und dabei die x-Achse erreichen?
Die Anzahl stimmt mit der Anzahl der Pfade, die (0, a) mit (n, −(a + 2k − n))
verbinden, überein und beträgt ( ) (
n
k+a =
n
n−(k+a))
, denn −(a + 2k − n) =
a − 2a − 2k + n = a + 2(n − (k + a)) − n.
1.5.1 Anwendung des Spiegelungsprinzips
Zwei Kandidaten A, B in einer Wahl mit 2n Wahlberechtigten. Nach n ausgezählten
Stimmen führt A mit a Stimmen (0 < a ≤ n).
Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß A bis zum Ende der
Wahl immer führt, also nicht mehr von B eingeholt wird?
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