Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz
Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz
8.4.2 Qebyxev-Ungleichung Satz: Sei X Zufallsgröße mit endlichem Erwartungswert. Dann gilt für jedes ε > 0: 14 P (|X − E(X)| ≥ ε) ≤ Var(X) ε 2 Es gilt: ε 2 1 {|X−E(X)|≥ε} ≤ (X − E(X)) 2 Dabei ist die linke Seite { ε 2 falls |X(ω) − E(X)| ≥ ε 0 falls |X(ω) − E(X)| < ε dabei ist im ersten Fall (X(ω) − E(X)) 2 ≥ ε 2 , damit gilt die Ungleichung. Mit der Monotonie des Integrals folgt: ∫ ∫ ε 2 1 {|X−E(X)|≥ε} dP ≤ (X − E(X)) 2 dP ⇒ ε 2 P (|X − E(X)| ≥ ε) ≤ Var(X) 14 ausführlich: P ({ω | |X(ω) − E(X)| ≥ ε}) = P X ({x | |x − E(X)| ≥ ε}) = P X ((−∞, E(X) − ε]) + P X ([E(X) + ε, ∞)) 63
9 Momente und stochastische Ungleichungen 9.1 Momente, Median Definition: Sei X Zufallsgröße. Dann heißt 1. E(X n ) n-tes Moment 2. E((X − E(X)) n ) n-tes zentriertes Moment Dann ist der Erwartungsmoment das erste Moment, die Varianz das zweite zentrierte Moment und die Schiefe das dritte zentrierte Moment. Eine weitere Kenngröße ist der Median: Definition: Sei X Zufallsgröße. Dann heißt folgende Zahl Median: { med(X) := inf t | P (X ≤ t) ≥ 1 } 2 9.2 Ungleichungen Frage: Wie läßt sich |med(X) − E(X)| abschätzen? Zur Beantwortung dieser Frage wird die folgende Eigenschaft des Medians benötigt: Satz: Sei X Zufallsgröße. Dann gilt: E(|X − med(X)|) ≤ E(|X − a|) ∀ a ∈ R Beweis: Sei a ∈ R, a > med(X) =: m. Dann gilt: |X − a| − |X − m| = 1 {X≤m} · (a − X − (m − X)) + 1 {X≥a} · (X − a − (X − m)) +1 {m
- Seite 17 und 18: 3 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
- Seite 19 und 20: Für N = 5 ist P (B 0 ) = 36.7%, be
- Seite 21 und 22: 1. Da (A i ) i∈N wachsend ist, gi
- Seite 23 und 24: ¨ ¨ ¨ ¨ ¢ 4 Bedingte Wahrschei
- Seite 25 und 26: 4.1.1 Aussagekraft von medizinische
- Seite 27 und 28: Beweis: Es gilt: (( ) c ) P lim sup
- Seite 29 und 30: Das Borel-Cantelli-Lemma liefert 7
- Seite 31 und 32: 5.2 Hypergeometrische Verteilung Qu
- Seite 33 und 34: 5.7 Poisson-Verteilung −β βω F
- Seite 35 und 36: 6 Wahrscheinlichkeitsmaße auf R Be
- Seite 37 und 38: 6.1.2 Dynkin-Systeme Die Dynkin-Sys
- Seite 39 und 40: 6.1.3 Beweis der Eindeutigkeit (kor
- Seite 41 und 42: Falls diese Fragen mit ja! beantwor
- Seite 43 und 44: Die Normalverteilung (Gaußverteilu
- Seite 45 und 46: Die Cantormenge hat die Eigenschaft
- Seite 47 und 48: X -1 (B) X B (Ω, , P) (¡ , ¢ , P
- Seite 49 und 50: Ω A 1 A n A 2 A 3 X { α 1 , α 2
- Seite 51 und 52: 7.4.2 Praktische Erwägungen zur Ve
- Seite 53 und 54: Als mittleren Wert betrachtet man d
- Seite 55 und 56: 8.2 Erwartungswert Definition: Sei
- Seite 57 und 58: (b) Für a, b ∈ R gilt E(aX + bY
- Seite 59 und 60: Es gilt für jedes i = 1, . . . , n
- Seite 61 und 62: (c) Es ist X + Y = X + − X − +
- Seite 63 und 64: folgt: ∑ ∫ n A n X dµ = lim k
- Seite 65 und 66: 8.3.4 Integration bzgl. durch Dicht
- Seite 67: 8.4 Varianz Der Erwatungswert ist a
- Seite 71 und 72: 9.2.2 Jensensche Ungleichung Satz:
- Seite 73 und 74: die Verteilung von X = X 1 + X 2 ?
- Seite 75 und 76: Es ist P ((X 1 , X 2 ) ∈ A) = E(1
- Seite 77 und 78: 10.2.2 Summe zweier unabhängiger Z
- Seite 79 und 80: 10.2.4 Die Varianz der Summen von Z
- Seite 81 und 82: Sei nun X i = 1 {1} (Y i ) (d.h. nu
- Seite 83 und 84: Und für relative Häufigkeiten bei
- Seite 85 und 86: Dies ist wieder eine Umformulierung
- Seite 87 und 88: Beweis: Beachte zunächst mit der J
- Seite 89 und 90: Nun gilt mit dem Grenzwertsatz von
- Seite 91 und 92: Einschub: Konvergenzkriterium für
- Seite 93 und 94: Setze weiter S n = ∑ n i=1 Y i. D
- Seite 95 und 96: Definition: Seien Z, Z 1 , Z 2 , .
- Seite 97 und 98: Es gilt 1 {U∈Z c } · g(Fn −1 (
- Seite 99 und 100: 4. Zusammenfügen der ersten drei S
- Seite 101: Achtung! Hier fehlt noch das Ende d
9 Momente und stochastische Ungleichungen<br />
9.1 Momente, Median<br />
Definition: Sei X Zufallsgröße. Dann heißt<br />
1. E(X n ) n-tes Moment<br />
2. E((X − E(X)) n ) n-tes zentriertes Moment<br />
Dann ist der Erwartungsmoment das erste Moment, die Varianz das zweite<br />
zentrierte Moment und die Schiefe das dritte zentrierte Moment.<br />
Eine weitere Kenngröße ist der Median:<br />
Definition: Sei X Zufallsgröße. Dann heißt folgende Zahl Median:<br />
{<br />
med(X) := inf t | P (X ≤ t) ≥ 1 }<br />
2<br />
9.2 Ungleichungen<br />
Frage: Wie läßt sich |med(X) − E(X)| abschätzen? Zur Beantwortung dieser<br />
Frage wird die folgende Eigenschaft des Medians benötigt:<br />
Satz: Sei X Zufallsgröße. Dann gilt:<br />
E(|X − med(X)|) ≤ E(|X − a|) ∀ a ∈ R<br />
Beweis: Sei a ∈ R, a > med(X) =: m. Dann gilt:<br />
|X − a| − |X − m|<br />
= 1 {X≤m} · (a − X − (m − X)) + 1 {X≥a} · (X − a − (X − m))<br />
+1 {m
Change language