Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

8.4.2 Qebyxev-Ungleichung
Satz: Sei X Zufallsgröße mit endlichem Erwartungswert. Dann gilt für
jedes ε > 0: 14
P (|X − E(X)| ≥ ε) ≤ Var(X)
ε 2
Es gilt:
ε 2 1 {|X−E(X)|≥ε} ≤ (X − E(X)) 2
Dabei ist die linke Seite
{ ε
2
falls |X(ω) − E(X)| ≥ ε
0 falls |X(ω) − E(X)| < ε
dabei ist im ersten Fall (X(ω) − E(X)) 2 ≥ ε 2 , damit gilt die Ungleichung.
Mit der Monotonie des Integrals folgt:
∫
∫
ε 2 1 {|X−E(X)|≥ε} dP ≤ (X − E(X)) 2 dP
⇒ ε 2 P (|X − E(X)| ≥ ε) ≤ Var(X)
14 ausführlich:
P ({ω | |X(ω) − E(X)| ≥ ε}) = P X ({x | |x − E(X)| ≥ ε})
= P X ((−∞, E(X) − ε]) + P X ([E(X) + ε, ∞))
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