Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

(a) Für g = 1 A steht auf der linken Seite ∫ 1 A (X) dP = ∫ 1 X −1 (A) dP =
P X (A), auf der rechten Seite ∫ 1 A dP X = P X (A)
(b) Für g = ∑ n
i=1 α i1 Ai folgt die Behauptung aus (a) mit der Linearität des
Integrals
(c) Für g ≥ 0: Folgt gemäß (b) aus dem Satz der monotonen Konvergenz
mit einer Folge 0 ≤ g n ↑ g.
(d) Für g benutze (c) mit g = g + − g − .
8.3.6 Anwendungen
1. Sei X N(a, σ 2 )-verteilt. Dann ergibt sich 13 mit g(x) = x:
∫
E(X) = xP X (dx)
∫
= xN(a, σ 2 )(dx)
∫
= xf(x) dx
=
∫
1 (x−a)2
x√ e− 2σ 2 dx
2πσ
2
=
=
= a
∫ +∞
−∞
1
√
2πσ
2
1
(x + a) √
2πσ
2
∫ +∞
xe − x2
2σ 2 dx
−∞
} {{ }
=0
e−
x2
2σ 2 dx
∫ +∞
+a
1
x2
√ e− 2σ 2
−∞ 2πσ
2
} {{ }
=1
2. Allgemein können wir formulieren: Besitzt eine Zufallsgröße X eine
Verteilung mit stetiger Dichte f, so ergibt sich ihr Erwartungswert als
E(X) = ∫ xf(x) dx.
3. Für X R(a, b)-verteilt ist
E(X) = 1
b − a
∫ b
a
13 zur Schreibweise: ∫ X dP = ∫ id dP X = ∫ xP X (dx)
x dx = b + a
2
dx
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